文档内容
第2讲 三角恒等变换与解三角形（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】三角恒等变换................................................................................................................3
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用....................................................................................5
【考点三】解三角形的实际应用.....................................................................................................7
【专题精练】.................................................................................................................................9
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，
将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.
2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高考真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
3-❑√5
A． B． C． D．
8
6．（2023·全国·高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，
则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形， ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于D，
则 ．
三、解答题
9．（2024·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
10．（2023·全国·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
11．（2023·全国·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
12．（2023·全国·高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
考点突破
【考点一】三角恒等变换
一、单选题
1．（2023·江苏·三模）已知 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C． 是函数 图象的一条对称轴
D．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ，则（ ）
A．y=f (x)的最大值为2
B．y=f (x)的图象关于点 对称
C．y=f (x)在 上单调递增
D．直线 是y=f (x)图象的一条对称轴
三、填空题
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在 中，角 的对边分别为 ，已知
．则角 .
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学科网（北京）股份有限公司6．（2024·吉林白山·一模）化简 ．
核心梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用
一、单选题
1．（2024·广东江门·一模）在 中， ， ，则角A的大小为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和
游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线
长为 m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为 的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高二上·浙江·期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，
，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 是锐角三角形
D． 的最大内角是最小内角的 倍
4．（23-24高一下·江苏南京·期中）对于 有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若 ，则 为钝角三角形
B．若 ，则 的面积为
C．在锐角 中，不等式 恒成立
D．若 且 有两解，则 的取值范围是
三、填空题
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆 ， 、 分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长
轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得 平分 ．过点D作 、 的垂线，垂足分别为A、
B．则 的最大值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为 ，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁
从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 ．
四、解答题
7．（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
8．（23-24高三下·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
9．（2024·北京东城·一模）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 为 边的中点，且 ，求 的值.
核心梳理：
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin
C等．
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学科网（北京）股份有限公司2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
【考点三】解三角形的实际应用
一、单选题
1．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2024·广东梅州·一模）已知 是锐角三角形，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为
的面积， ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． 的三边 一定构成等差数列
B． 的三边 一定构成等比数列
C． 面积的最大值为
D． 周长的最大值为
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学科网（北京）股份有限公司4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形 置于平面直角坐标系中， ， 为 轴
上方一点，设 中 的对边分别为 且 ，则 的外心纵坐标可能落
在以下（ ）区间内.
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 通过路口 后转向西北方向 ，
围绕道路 打造了一个半径为 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道 ，则 的
最小值为 ．
6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位： )进行测量，方案如下：如
图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角 和 ( )，多次测量相关数
据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 ；多次测量取平均值是
中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差 近似满足 ，
为使误差 在 的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占 ，
则 .
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学科网（北京）股份有限公司核心梳理：
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解
够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程
(组)得出所要求的解．
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形实际问题的步骤
专题精练
一、单选题
1．（2023·江苏南通·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
3．（2023·河南·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位
长度后得到函数 的图象．若 是函数 的一个极值点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若角A的内角平分线AD的长为3，则 的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
6．（2023·青海·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若 的面积是
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三·湖南娄底·阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， ，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A
处测得 ，沿土坡向坡顶前进 后到达D处，测得 ．已知旗杆
，土坡对于地平面的坡角为 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·广东广州·一模）已知函数 的图像关于直线 对称，则（ ）
A．函数 的图像关于点 对称
B．函数 在 有且仅有2个极值点
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则
10．（2023·湖南·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于直线 轴对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的所有零点为
D． 是以 为周期的函数
11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 在 上有两个零点
B． 在 上单调递增
C． 在 的最大值是1
D． 的图像可由 向右移动 得到
三、填空题
12．（22-23高三下·福建南平·阶段练习）已知 为锐角， ，则 ．
13．（2023·江苏·三模）如图，在 ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形
△
BCHG．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知 ，且asinA＋csinC＝
4asinCsinB，则FH＝ ．
14．（2024·广东·一模） 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且 ，D为边
AB上一点，CD平分 ， ，则 ．
四、解答题
15．（2021·天津·高考真题）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ，
．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（III）求 的值．
16．（2024·河北·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
17．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C；
(2)求 的取值范围.
18．（2023·广东广州·二模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
19．（2023·江苏南通·一模）在 中， 的对边分别为 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的平分线 交 于点 ，求 长度的取值范围.
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