文档文本内容
A
版
高
考
数 学
／
６２
５．４ 解三角形
§
在锐角三角形ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ａ Ｂ π
（４） ，ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ⇔ ＋ ＞ ；
２
在斜 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ
（５） △ ，ｔａｎ ＋ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ ·ｔａｎ ·ｔａｎ ；
考点一 正弦定理和余弦定理 有关三角形内角的常用三角恒等式 Ａ Ｂ Ｃ
（６） ：ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ；
１．正弦定理和余弦定理 ( ) Ａ Ｂ
Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ π ＋
ｃｏｓ（ ＋ ）＝ －ｃｏｓ ；ｔａｎ（ ＋ ）＝ －ｔａｎ ＋ ≠ ；ｓｉｎ ＝
正弦定理 余弦定理 ２ ２
Ｃ Ａ Ｂ Ｃ
ａ ｂ ｃ ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ ＋ ．
Ｒ ＝ ＋ －２ ·ｃｏｓ ｃｏｓ ；ｃｏｓ ＝ｓｉｎ
内容
ｓｉｎ
Ａ＝
ｓｉｎ
Ｂ＝
ｓｉｎ
Ｃ＝２ ｂ２
＝
ｃ２
＋
ａ２
－２
ｃａ
·ｃｏｓ
Ｂ ２
三角
２
形中的射
２
影定理．
（
Ｒ为
△
ＡＢＣ外接圆半径
）
ｃ２
＝①
ａ２
＋
ｂ２
－２
ａｂ·
ｃｏｓ
Ｃ
ａ
（７）
ｂ Ｃ ｃ Ｂ
ａ Ｒ Ａ ｂ Ｒ Ｂ ｃ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ，
（１） ＝２ ｓｉｎ ， ＝２ ｓｉｎ ， ＝ ｂ ａ Ｃ ｃ Ａ
Ｒ Ｃ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ，
２ ｓｉｎ ； ｃ ａ Ｂ ｂ Ａ．
ａ ｂ ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ
Ａ Ｂ Ｃ
（２）ｓｉｎ ＝
２
Ｒ，ｓｉｎ ＝
２
Ｒ，ｓｉｎ
Ａ
ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
° ６－ ２ ° ６＋ ２ ° ．
ｃ ｃｏｓ ＝ ｂｃ ； （８）ｓｉｎ１５ ＝ ，ｃｏｓ１５ ＝ ，ｔａｎ１５ ＝２－ ３
２ ４ ４
变形 ＝
２
Ｒ；
Ｂ
ｃ２
＋
ａ２
－
ｂ２
形式 ａ ｂ ｃ Ａ Ｂ ｃｏｓ ＝ ｃａ ； 考点二 解三角形及其综合应用
（３） ∶ ∶ ＝② ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ ２
∶ ｓｉｎ Ｃ ； Ｃ ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ １．有关概念
ａ ｂ ｃ ｃｏｓ ＝ ａｂ
＋ ＋ ２ 仰角和俯角
（４） Ａ Ｂ Ｃ （１）
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰
ａ ，
＝③ Ａ ＝④ ２ Ｒ 角 在水平线下方的角叫俯角 如图 ．
ｓｉｎ ， （ ａ）
已知两角和任意一边 求
（１） ， 已知三边 求各角
解决的 另一角和其他两条边 （１） ， ；
； 已知两边和它们的夹
问题 已知两边和其中一边的对 （２）
（２） 角 求第三边和其他两个角
角 求另一边和其他两角 ，
，
２．解三角形
利用余弦定理求边长 实质是解一元二次方程 解出后 方位角
（１） ， ， （２）
可根据已知条件对方程的根进行取舍． 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角 如
，
在 ＡＢＣ中 已知ａ ｂ和Ａ 利用正弦定理解三角形时 Ｂ点的方位角为α 如图 ．
（２） △ ， ， ， ， （ ｂ）
会出现解不确定的情况 一般可根据三角形中 大边对大角和三 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 ．
， “ （３） ： （ ｃ）
角形内角和定理 来取舍．在 ＡＢＣ中 已知ａ ｂ和Ａ时 具体解 北偏东α° 指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
” △ ， ， ， ａ． ：
的情况如下表 东北方向 指北偏东 °方向．
： ｂ． ： ４５
Ａ为锐角 Ａ为钝角或直角
图形
关系式 ａ ｂ Ａ ｂ Ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角 如图 角
＝ ｓｉｎ ｓｉｎ ＜ ＜ ≥ ＞ （４） ： （ ｄ，
解的 θ为坡角 ．
）
一解 两解 一解 一解
个数 坡度 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度 或坡比
： （ ）
上表中 若Ａ为锐角 则当ａ ｂ Ａ时无解 若Ａ为钝角或 如图 ｉ为坡比 ．
（ ｄ， ） ， ， ＜ ｓｉｎ ；
直角 则当ａ ｂ时无解．
２．三角形的面积公式
， ≤
３．三角形中常用的结论
已知三角形一边及该边上的高 利用Ｓ １ ａｈ ｈ表示边
（１） ， ＝ （
在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 常见的结论有 ２
△ ， ， ， ， ，， ：
ａ上的高
（１） Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝π； ）； (
（２） 在 △ ＡＢＣ中 ， 大角对大边 ， 大边对大角 ， 如 ： ａ ＞ ｂ ⇔ Ａ ＞ Ｂ ⇔ （２） 已知三角形的两边及其夹角 ， 利用 Ｓ ＝ １ ａｂ ｓｉｎ Ｃ Ｓ ＝ Ａ Ｂ ２
ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ； )
任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边
１ ａｃ Ｂ Ｓ １ ｂｃ Ａ ． （３） ， ； ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ
２ ２
专
题
五
三
角
函
数
／
６３
知识拓展 已 知 三 角 形 的 三 边 利 用 Ｓ ｒ为三角形的内切圆半径 ．
（１） ， ＝ （ ）
ｐ （ ｐ － ａ ）（ ｐ － ｂ ）（ ｐ － ｃ ） ( 其中ｐ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ) ． （３） Ｓ ＝ ａｂ Ｒ ｃ ＝２ Ｒ２ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ （ Ｒ为 △ ＡＢＣ外接圆的半径 ） ．
４
２
已知三角形的三边及内切圆半径 利用Ｓ １ ａ ｂ ｃ ｒ
（２） ， ＝ （ ＋ ＋ ）
２
( )
π ＡＢＤ ＡＢＤ ２ ＡＢＤ ２ ７．
ｓｉｎ －∠ ＝ｃｏｓ∠ ＝ １－ｓｉｎ ∠ ＝
２ ７
( )
考法一 利用正弦、余弦定理解三角形 ＤＢＣ π ＡＢＤ ＡＢＤ ２１．
ｃｏｓ∠ ＝ｃｏｓ －∠ ＝ｓｉｎ∠ ＝
２ ７
例１ 在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ 若ａ ( )
△ ， ， ， ， ， ， 则 ＢＤＣ （ ＢＣＤ ＤＢＣ） π ＤＢＣ
ｃ Ｂ ° 则 Ｃ ． ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ π－∠ －∠ ＝ｓｉｎ －∠ ＝
＝１， ＝４ ２， ＝４５ ， ｓｉｎ ＝ ３
解析 由已知条件ａ
＝１
，ｃ
＝４ ２
，Ｂ
＝４５
°及余弦定理可得，ｂ２
３ ＤＢＣ １ ＤＢＣ ７．
ｃｏｓ∠ － ｓｉｎ∠ ＝
２ ２ １４
ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ ２ ，即ｂ ．所以由正弦 ＢＣ ＢＤ
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝１＋３２－２×１×４ ２× ＝２５ ＝５ 在 ＢＣＤ中，由正弦定理得 ，
２ △ ＢＤＣ＝ ＢＣＤ
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
２
ｃ· Ｂ ４ ２× ７
定理得 Ｃ ｓｉｎ ２ ４ ． ＢＤ ＢＤＣ ７×
ｓｉｎ ＝ ｂ ＝ ＝ 可得ＢＣ ｓｉｎ∠ １４ ３．
５ ５ ＝ ＢＣＤ ＝ ＝
答案 ４ ｓｉｎ∠ ３ ３
２
５
方法总结 １．已知两角 Ａ Ｂ 与一边 ａ 由 Ａ Ｂ Ｃ 及
例２ 如图 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＤＡＢ π ＡＤ 、 ， ＋ ＋ ＝π
， ，０＜∠ ＜ ， ＝ ａ ｂ ｃ
２ 可先求出角Ｃ 再求出ｂ ｃ．
Ａ＝ Ｂ＝ Ｃ， ， 、
ＡＢ ＡＢＤ的面积为３ ３ ＡＢ ＢＣ． ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
２， ＝３，△ ， ⊥ ２．已知两边ｂ ｃ及其夹角Ａ 由ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ 先求出
２ 、 ， ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ，
求 ＡＢＤ的值 ａ 再由正弦定理求出角Ｂ Ｃ．
（１） ｓｉｎ∠ ； ， 、
３．已知三边ａ ｂ ｃ 由余弦定理可求出角Ａ Ｂ Ｃ．
若 ＢＣＤ ２π 求ＢＣ的长． 、 、 ， 、 、
（２） ∠ ＝ ， ａ ｂ
３ ４．已知两边ａ ｂ及其中一边ａ的对角Ａ 由 可求
、 ， Ａ＝ Ｂ
解析 （ ）因为 ＡＢＤ的面积Ｓ １ ＡＤ·ＡＢ ＤＡＢ １ ｓｉｎ ｓｉｎ
１ △ ＝ ｓｉｎ∠ ＝ × ａ
２ ２ 出另一边ｂ 的对角 Ｂ 由 Ｃ Ａ Ｂ 可求出 Ｃ 再由
， ＝π－（ ＋ ） ， Ａ＝
ＤＡＢ ３ ３，所以 ＤＡＢ ３． ｓｉｎ
２×３ｓｉｎ∠ ＝ ｓｉｎ∠ ＝ ｃ ａ ｂ
２ ２ 可求出ｃ 而通过 求Ｂ时 可能有一解 两解或
Ｃ ， Ａ＝ Ｂ ， 、
又 ＤＡＢ π，所以 ＤＡＢ π， ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
０＜∠ ＜ ∠ ＝ 无解．
２ ３
经典例题教师用书
由余弦定理得ＢＤ ＡＤ２ ＡＢ２ ＡＤ·ＡＢ ＤＡＢ ，
＝ ＋ －２ ｃｏｓ∠ ＝ ７ 例 （２０１８河南开封模拟，８）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对
ＡＤ ＤＡＢ △ ， ， ，
由正弦定理得 ＡＢＤ ｓｉｎ∠ ２１． ２Ｃ
ｓｉｎ∠ ＝ ＢＤ ＝ 边分别为ａ ｂ ｃ．若Ａ π ３ｓｉｎ Ａ Ｂ 且ｂ 则ｃ
７ ， ， ＝ ， Ｃ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ， ＝６， ＝
３ ｃｏｓ
（ ）解法一：因为ＡＢ ＢＣ，所以 ＡＢＣ π，所以 ＤＢＣ
２ ⊥ ∠ ＝ ｓｉｎ∠ （ ）
２
( ) Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６
＝ｓｉｎ π ２ －∠ ＡＢＤ ＝ｃｏｓ∠ ＡＢＤ ＝ １－ｓｉｎ ２ ∠ ＡＢＤ ＝ ２ ７ ７． 解析 在 △ ＡＢＣ中，Ａ ＝ π，ｂ ＝６ ，
３
在
△
ＢＣＤ中，由正弦定理得 ＣＤ
ＤＢＣ＝
ＢＤ
ＤＣＢ
，可得ＣＤ
＝ ∴
ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
－２
ｂｃ
ｃｏｓ
Ａ，
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠ 即ａ２ ｃ２ ｃ ，
＝３６＋ －６ ①
ＢＤ
ｓｉｎ∠
ＤＢＣ
４ ３． 又３ｓｉｎ
２Ｃ
Ａ Ｂ， ３
ｃ２
ａｂ，
ＤＣＢ ＝ Ｃ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ∴ Ｃ＝２
ｓｉｎ∠ ３ ｃｏｓ ｃｏｓ
由余弦定理得 ＤＣ２
＋
ＢＣ２
－２
ＤＣ·ＢＣ
ｃｏｓ∠
ＤＣＢ
＝
ＢＤ２，可得
即 Ｃ ３
ｃ２ ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
，
３
ＢＣ２
＋４ ３
ＢＣ
－５＝０
， ｃｏｓ ＝
２
ａｂ＝
２
ａｂ
ａ２ ｃ２ ，
∴ ＋３６＝４ ②
解得ＢＣ ３或ＢＣ ５ ３（舍去）．故ＢＣ的长为 ３． 由 解得ｃ 或ｃ （不合题意，舍去）．
＝ ＝－ ①② ＝４ ＝－６
３ ３ ３ ｃ ．故选
∴ ＝４ Ｃ．
解法二：因为 ＡＢ ＢＣ，所以 ＡＢＣ π，所以 ＤＢＣ ⊥ ∠ ＝ ｓｉｎ∠ ＝ 答案 Ｃ
２
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学
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６４
例 （２０１８北京朝阳二模，２）在 △ ＡＢＣ中 ， ＡＢ ＝１， ＡＣ ＝ ２， 所以 Ｂ Ｃ ，Ｃ π，则 ＡＢＣ 是直角三角形；对于 ，把
ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０ ＝ △ Ｄ
Ｃ π 则 Ｂ ２
∠ ＝ ６ ， ∠ ＝ （ ） Ａ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ， Ｂ ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ 代入 ｃ ａ Ｂ （ ａ ｂ） Ａ
ｃｏｓ ＝ ｂｃ ｃｏｓ ＝ ａｃ － ｃｏｓ ＝ ２ － ｃｏｓ
２ ２
π π或π ３π π或３π
Ａ． ４ Ｂ． ４ ２ Ｃ． ４ Ｄ． ４ ４ 中，得 ｃ２ － ａ２ ｃ ＋ ｂ２ ＝ ２ ａ · ｂ２ ＋ ｃ ｂ ２ ｃ － ａ２ － ｂ２ ＋ ｃ２ ｃ － ａ２ ， 即 ｃ２ － ａ ａ ２ ｃ ＋ ｂ２ ＝
ＡＢ ＡＣ ２ ２ ２
解析 由正弦定理得
Ｃ＝ Ｂ
，即 １
＝
２
Ｂ
， ｃ２
－
ａ２
＋
ｂ２
，解得ａ ｂ或ｃ２ ａ２ ｂ２ ，则 ＡＢＣ为等腰三角形或直
ｓｉｎ ｓｉｎ π ｓｉｎ ｂｃ ＝ － ＋ ＝０ △
ｓｉｎ
６ 角三角形．故选 ．
ＢＣＤ
Ｂ ２． Ｂ （ ， ），ＡＣ ＡＢ， Ｂ Ｃ． Ｂ 答案 （ ）Ｄ （ ）ＢＣＤ
∴ ｓｉｎ ＝ ∵ ∠ ∈ ０ π ＞ ∴ ∠ ＞∠ ∴ ∠ ∈ １ ２
２
( ) 方法总结 要判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关
π，５π ． Ｂ π或３π．故选 ． ，
∴ ∠ ＝ Ｄ 系进行思考 主要看其是不是等边三角形 等腰三角形 直角三
６ ６ ４ ４ ， 、 、
答案 Ｄ 角形 钝角三角形 等腰直角三角形或锐角三角形 要特别注意
、 、 ，
等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别．依据
“ ” “ ”
易错警示 由 Ｂ ２仅得出Ｂ π，而错选 ． 已知条件中的边角关系判断时 主要有以下两条途径
ｓｉｎ ＝ ＝ Ａ ， ：
２ ４
通过正弦定理 余弦定理化边为角 利用三角恒等变换
（１） 、 ，
考法二 三角形形状的判断 得出三角形内角之间的关系进行判断
；
利用正弦定理 余弦定理化角为边 通过代数恒等变换
例３ （２０１９豫北名校１月联考，８）在 ＡＢＣ中 ａ （２） 、 ， ，
（１） △ ， ，
求出三条边之间的关系进行判断．
ｂ ｃ分别表示三个内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 如果 ａ２ ｂ２ Ａ Ｂ
， ， ， ， （ ＋ ）ｓｉｎ（ － ）＝ 经典例题教师用书
ａ２ ｂ２ Ａ Ｂ 则 ＡＢＣ的形状为
（ － ）ｓｉｎ（ ＋ ）， △ （ ） 例 （２０１９河南济源第一次质检，６）若在 ＡＢＣ中 Ａ
等腰三角形 直角三角形 △ ，ｓｉｎ（ ＋
Ａ．
等腰直角三角形
Ｂ．
等腰三角形或直角三角形
Ｂ
）·ｓｉｎ（
Ａ
－
Ｂ
）＝ｓｉｎ
２Ｃ
，
则此三角形的形状为
（ ）
Ｃ． Ｄ． 等腰三角形 直角三角形
已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 下列 Ａ． Ｂ．
（２） △ ， ， ， ， ， 等边三角形 等腰直角三角形
条件中可以得到 ＡＢＣ为直角三角形的是 Ｃ． Ｄ．
Ｂ
△
Ｂ
（ ） 解析
∵ ｓｉｎ
（Ａ
＋
Ｂ）
ｓｉｎ
（Ａ
－
Ｂ）
＝ｓｉｎ
２Ｃ，
Ａ
．ｓｉｎ
Ｃ＝
ｃｏｓ
Ｃ Ｂ．
ｂ２
ｔａｎ
Ａ
＝
ａ２
ｔａｎ
Ｂ
（Ａ Ｂ） （Ａ Ｂ） ２（Ａ Ｂ），
ｓｉｎ ｃｏｓ ∴ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ＋
Ｂ ａ ｃ （Ａ Ｂ） （Ａ Ｂ） ２（Ａ Ｂ） ，
２ ＋ ｃ ａ Ｂ ａ ｂ Ａ ∴ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － －ｓｉｎ ＋ ＝０
Ｃ．ｃｏｓ ＝ ｃ Ｄ． － ｃｏｓ ＝（２ － ）ｃｏｓ （Ａ Ｂ）［ （Ａ Ｂ） （Ａ Ｂ）］ ，
２ ２ ∴ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ － －ｓｉｎ ＋ ＝０
解析 （
１
）解法一：已知等式可化为ａ２［
ｓｉｎ
（Ａ
－
Ｂ）
－ｓｉｎ
（Ａ
＋
即
ｓｉｎ
（Ａ
＋
Ｂ）
ｃｏｓ
Ａ
ｓｉｎ
Ｂ
＝０
．
又 （Ａ Ｂ） ， Ｂ ， Ａ ．
Ｂ）］ ＝ ｂ２［ －ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｂ） －ｓｉｎ （Ａ － Ｂ）］， ∵ ｓｉｎ ＋ ≠０ ｓｉｎ ≠０ ∴ ｃｏｓ ＝０
ａ２ Ａ Ｂ ｂ２ Ｂ Ａ． Ａ π．根据题意推不出ＡＢ ＡＣ，
∴２ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝２ ｃｏｓ ｓｉｎ ∴ ＝ ＝
由正弦定理，得 ２Ａ Ａ Ｂ ２Ｂ Ｂ Ａ， ２
ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ＡＢＣ是直角三角形．故选 ．
Ａ Ｂ（ Ａ Ａ Ｂ Ｂ） ， ∴ △ Ｂ
∴ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０
Ａ，Ｂ均为 ＡＢＣ的内角， Ａ ， Ｂ ， 答案 Ｂ
∵ △ ∴ ｓｉｎ ≠０ ｓｉｎ ≠０
Ａ Ｂ ，即 Ａ Ｂ．
∴ ｓｉｎ２ －ｓｉｎ２ ＝０ ｓｉｎ２ ＝ｓｉｎ２ 考法三 与三角形的面积、范围有关的问题
由Ａ，Ｂ （ ， ）得 Ａ ， Ｂ ，得 Ａ Ｂ或 Ａ
∈ ０ π ０＜２ ＜２π ０＜２ ＜２π ２ ＝２ ２ ＋
例４ 已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别
Ｂ ，即Ａ Ｂ或Ａ Ｂ π． （１） △ ， ，
２ ＝π ＝ ＋ ＝ 为ａ ｂ ｃ 若ｂ ｃ 且 Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ 则
２ ， ， ， ＝１， ＝ ３， ２ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ ＝１－２ｃｏｓ ｓｉｎ ，
ＡＢＣ为等腰三角形或直角三角形，故选 ． ＡＢＣ的面积是
∴ △ Ｄ △ （ ）
解法二：（同解法一）可得 ａ２ Ａ Ｂ ｂ２ Ｂ Ａ．
２ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝２ ｃｏｓ ｓｉｎ ３ １ ３或 ３ １ 或 １
ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２ ｂ２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
由正弦、余弦定理，可得ａ２· ＋ － ·ｂ ｂ２· ＋ － · ４ ２ ４ ２ ４ ２
ｂｃ ＝ ａｃ （２０２０浙江名校新高考研究联盟（ ２０名校联盟）第一
２ ２ （２） Ｚ
ａ． ∴ ａ２（ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２） ＝ ｂ２（ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２），即（ａ２ － ｂ２）（ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２） ＝０ ． ∴ ａ 次联考，１８）在 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别为 ａ ｂ ｃ 且
△ ， ， ， ， ， ，
ｂ或ａ２ ｂ２ ｃ２， ＡＢＣ为等腰三角形或直角三角形．故选 ．
＝ ＋ ＝ ∴ △ Ｄ Ａ Ａ ａ ．
Ｂ Ｂ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝２， ＝４
（ ）对于 ，因为ｓｉｎ ｃｏｓ ，所以 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 求角Ａ的值
２ Ａ Ｃ＝ Ｃ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ ① ；
ｓｉｎ ｃｏｓ 求ｂ ｃ的取值范围．
，即 （Ｂ Ｃ） ，所以Ｂ Ｃ，所以 ＡＢＣ一定是等腰三角形； ② ＋
０ ｓｉｎ － ＝０ ＝ △ 解析 （ ）因为 （Ｂ Ｃ） Ｃ Ａ Ｃ，
对于 ，由ｂ２ Ａ ａ２ Ｂ、正弦定理及同角三角函数基本关系 １ ２ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝１－２ｃｏｓ ｓｉｎ
Ｂ ｔａｎ ＝ ｔａｎ 所以 Ａ Ｃ Ａ Ｃ，
２Ｂ Ａ ２Ａ Ｂ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝１－２ｃｏｓ ｓｉｎ 可得ｓｉｎ ｓｉ Ａ ｎ ＝ ｓｉｎ ｓｉ Ｂ ｎ ，即 ｓｉｎ ２ Ａ ＝ｓｉｎ ２ Ｂ，故 ２ Ａ ＝２ Ｂ或 ２ Ａ ＋ 所以 ２ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｃ ＋２ｃｏｓ Ａ ｓｉｎ Ｃ ＝１ ，
ｃｏｓ ｃｏｓ
所以 （Ａ Ｃ） ，所以 Ｂ ，
Ｂ ，即Ａ Ｂ或Ａ Ｂ π，所以 ＡＢＣ是等腰三角形或直角三 ２ｓｉｎ ＋ ＝１ ２ｓｉｎ ＝１
２ ＝π ＝ ＋ ＝ △ ２ 所以 Ｂ １ ．
ｓｉｎ ＝
Ｂ ａ ｃ Ｂ
角形；对于 Ｃ ，因为 ｃｏｓ ２ ＝ ＋ ｃ ，所以由正弦定理得，１＋ｃｏｓ ＝ 因为ｂ ｃ，所以 ２ Ｂ Ｃ，所以角Ｂ为锐角，
２ ２ ２ ＜ ＜
Ａ Ｃ
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ，整理得 Ｂ Ｃ Ａ，即 Ｂ Ｃ （Ｂ Ｃ）， 所以 Ｂ ２Ｂ ３，所以由余弦定理 ｂ２ ａ２ ｃ２
Ｃ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ＝ ＋ －
２ｓｉｎ ２
专
题
五
三
角
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６５
解析 设 ＡＢＣ α， ＡＣＢ β，则在 ＡＢＣ中，由余弦定理，
ａｃ Ｂ，可得 ａ２ ａ ３， ∠ ＝ ∠ ＝ △
２ ｃｏｓ １＝ ＋３－２× × ３×
２
ＡＣ２
＝１０－６ｃｏｓ
α．
整理可得 ａ２ ａ ，解得 ａ 或 ａ ．故当 ａ 时， ＡＢ ＡＣ α
－３ ＋２＝０ ＝１ ＝２ ＝１ 由正弦定理， ，即 β ｓｉｎ ，
β＝ α ｓｉｎ ＝ ＡＣ
ＡＢＣ的面积Ｓ １ ａｃ Ｂ １ １ ３；当 ａ 时， ｓｉｎ ｓｉｎ
△ ＝ ｓｉｎ ＝ ×１× ３× ＝ ＝２
２ ２ ２ ４ ＡＣＤ °， ＣＤＡ °， ＣＤ ３ＡＣ，
∵ ∠ ＝９０ ∠ ＝６０ ∴ ＝
ＡＢＣ的面积Ｓ １ ａｃ Ｂ １ １ ３．故选 ． ３
△ ＝ ｓｉｎ ＝ ×２× ３× ＝ Ｃ 在 ＢＣＤ 中，由余弦定理，ＢＤ２ ＢＣ２ ＣＤ２ ＢＣ·ＣＤ·
２ ２ ２ ２ △ ＝ ＋ －２
( ) （ ° β），
（ ） Ａ Ａ Ａ π ， ｃｏｓ ９０ ＋
２ ①∵ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ ＝２
６ 即ＢＤ２ １ （ α） ３ＡＣ ｓｉｎ α ３７ α
＝９＋ １０－６ｃｏｓ ＋２×３× × ＡＣ ＝ －２ｃｏｓ ＋
Ａ π π，即Ａ π． ３ ３ ３
∴ ＋ ＝ ＝ ( )
６ ２ ３
ａ ｂ ｃ ２ ３ｓｉｎ
α
＝
３７
＋４ｓｉｎ
α
－
π ．
∴
当α
＝
２π时，ＢＤ２ 最大，最大值为
解法一：由正弦定理得 ８ ， ３ ６ ３
② Ａ＝ ３＝ Ｂ＝ Ｃ
ｓｉｎ ３ ｓｉｎ ｓｉｎ
３７ ４９，则ＢＤ的最大值为７ ３．
ｂ ｃ ８ （ Ｂ Ｃ）． ＋４＝
∴ ＋ ＝ ３ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ３ ３ ３
３
( ) 答案 ７ ３
Ｂ Ｃ Ｂ ２ Ｂ ３ Ｂ ３ Ｂ
∵ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ π－ ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ３
３ ２ ２ 例 （２０１９四川绵阳一诊，１９） ＡＢＣ中 ａ ｂ ｃ分别是角
( ) △ ， ， ，
Ｂ π ， Ａ Ｂ Ｃ所对的边 且 ｃ Ｂ ａ Ａ．
３ｓｉｎ ＋ ， ， ， ２ ｓｉｎ ＝３ ｔａｎ
６
( ) ( ) ( ] 求
ｂ２
＋
ｃ２
的值
又 Ｂ ，２π ， Ｂ π １ ， ， ｂ ｃ （ ， ］． （１） ａ２ ；
∵ ∈ ０ ∴ ｓｉｎ ＋ ∈ １ ∴ ＋ ∈ ４ ８
３ ６ ２ 若ａ 求 ＡＢＣ面积的最大值．
（２） ＝２， △
解法二：在 △ ＡＢＣ中，由于ａ ＝４ ，Ａ ＝ π， 解析 （ １ ） ∵２ ｃ ｓｉｎ Ｂ ＝３ ａ ｔａｎ Ａ，
３
∴
由余弦定理ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
－２
ｂｃ
ｃｏｓ
Ａ得，
∴２
ｃ
ｓｉｎ
Ｂ
ｃｏｓ
Ａ
＝３
ａ
ｓｉｎ
Ａ．
由正弦定理得 ｃｂ Ａ ａ２，
（ｂ ｃ）２ ｂｃ ｂｃ π， ２ ｃｏｓ ＝３
１６＝ ＋ －２ －２ ｃｏｓ ｂ２ ｃ２ ａ２
３ 由余弦定理得 ｃｂ· ＋ － ａ２，化简得ｂ２ ｃ２ ａ２，
∴
（ｂ
＋
ｃ）２
－３
ｂｃ
＝１６
， ２
２
ｂｃ ＝３ ＋ ＝４
又 ｂｃ
（ｂ
＋
ｃ）２
（ｂ ，ｃ ），
ｂ２
＋
ｃ２
．
∵ ≤ ＞０ ＞０ ∴ ａ２ ＝４
４
（ｂ ｃ）２ ｂｃ ３
（ｂ
＋
ｃ）２
，当且仅当ｂ ｃ时取“ ”，
（
２
）
∵
ａ
＝２
，由（
１
）知ｂ２
＋
ｃ２
＝４
ａ２
＝１６
，
∴ ＋ －１６＝３ ≤ ＝ ＝ ｂ２ ｃ２ ａ２
４ 由余弦定理， Ａ ＋ － ６ ，
（ｂ ｃ）２ ，即ｂ ｃ ， ∴ ｃｏｓ ＝ ｂｃ ＝ｂｃ
∴ ＋ ≤６４ ＋ ≤８ ２
又ｂ ｃ ａ ，因此 ｂ ｃ ， ｂ ｃ （ ， ］． 根据基本不等式有ｂ２ ｃ２ ｂｃ，
＋ ＞ ＝４ ４＜ ＋ ≤８ ∴ ＋ ∈ ４ ８ ＋ ≥２
答案 （ ）Ｃ 即 ｂｃ，当且仅当ｂ ｃ时“ ”成立．
１ ８≥ ＝ ( ＝ )
方法总结 １．与三角形面积有关的问题主要有两种 一是 Ａ ６ ３ ，Ａ ，π ．
： ∴ ｃｏｓ ≥ ＝ ∈ ０
求三角形面积 二是给出三角形的面积 求其他量．解题时主要应 ８ ４ ２
； ，
由 Ａ ６ ，得ｂｃ ６ ，
用三角形面积公式Ｓ １ ａｂ Ｃ １ ａｃ Ｂ １ ｂｃ Ａ 此公式 ｃｏｓ ＝ｂｃ ＝ Ａ
＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ， ｃｏｓ
２ ２ ２
既与边长的乘积有关 又与角的三角函数值有关 由此可以与正 ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ６ Ａ Ａ．
， ， ∴ △ ＝ ｓｉｎ ＝ × Ａ×ｓｉｎ ＝３ｔａｎ
弦定理 余弦定理综合起来求解． ２ ２ ｃｏｓ
、 ２Ａ ２Ａ ２Ａ
２．解与三角形中边角有关的量的取值范围时 ， 主要是利用 ∵１＋ｔａｎ ２Ａ ＝１＋ ｓｉｎ ２Ａ＝ ｃｏｓ ＋ ２ ｃ Ａ ｏｓ ＝ １ ２Ａ ，
ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ
已知条件和有关定理 将所求的量用三角形的某个内角或某条
，
边表示出来 结合三角形边角取值范围等求解即可． Ａ １ １６ ７．
， ∴ ｔａｎ ＝ ２Ａ－１≤ －１＝
经典例题教师用书 ｃｏｓ ９ ３
Ｓ Ａ ．
例 （２０１９四川成都石室中学４月月考，１６）四边形ＡＢＣＤ ∴ ＝３ｔａｎ ≤ ７
ＡＢＣ的面积的最大值为 ．
中 ＡＢ ＢＣ ＡＣＤ ° ＣＤＡ ° 则 ＢＤ 的最大值为 ∴ △ ７
， ＝１， ＝３，∠ ＝９０ ，∠ ＝６０ ，
．
