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专题 01 二次根式基本性质的运用
专题说明
二次根式的性质运用是本章节考试必考考点。主要在选择题、填空题、解答
题中至少必有一处出现。这个专题难度不大，但很重要，必须确保学生们不丢
分。
【考点刨析】
考点1： 二次根式的双重非负性
1.二次根式具有双重非负性，即
2.几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
考点2：
【典例分析】
【考点1： 二次根式的双重非负性】
【典例 1】（2020•浙江自主招生）已知非零实数 a，b 满足|2a﹣4|+|b+2|+
+4＝2a，则a+b的值
【答案】1
【解答】解：由题设知 a≥3，所以，题设的等式为 ，于
是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1．
故选：a+b=1
【变式 1-1】（2020 秋•水城县校级月考）已知 x，y 为实数，且满足|x﹣3|+
＝0，则（ ）2015的值为 ．【答案】-1
【解答】解：∵|x﹣3|+ ＝0，
∴x＝3，y＝﹣3，
则（ ）2015＝（﹣1）2015＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【变式1-2】（2021春•东莞市期末）已知|x+1|+（y﹣3）2＝0，则xy＝ ．
【答案】 ﹣ 3
【解答】解：∵|x+1|+（y﹣3）2＝0，|x+1|≥0，（y﹣3）2≥0，
∴x+1＝0，y﹣3＝0，
解得x＝﹣1，y＝3，
∴xy＝（﹣1）×3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【变式1-3】（2020春•广陵区校级期中）已知 a，b分别为等腰三角形的两条
边长，且a，b满足b＝3+ ，求此三角形的周长．
【答案】8
【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a＝2，
则b＝3，
∵2+2＝4＞3，
∴2、2、3能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+2+3＝7，
∵3+3＝6＞2，
∴2、3、3能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+3+3＝8．
】
【考点2：
【典例2】（2022秋•南湖区校级期中）已知y＝ + +4，yx的平方根是（ ）
A．16 B．8 C．±4 D．±2
【答案】C
【解答】解：∵y＝ + +4，
∴ ，
解得x＝2，
∴y＝4，
∴yx＝42＝16．
∴yx的平方根是±4．
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•邢台期末）已知x，y为实数，且 ，则
xy的值是 ．
【答案】
【解答】解：依题意得： ，
解得x＝3．
则y＝﹣2，
所以xy＝3﹣2＝ ．
故答案为： ．
【变式2-2】（2022秋•碑林区校级期末）若y＝ + +4，则x2+y2的平方
根是 ．
【答案】±2
【解答】解：∵2﹣x≥0，x﹣2≥0，
∴x＝2，
∴y＝4，故x2+y2＝22+42＝20，
∴x2+y2的平方根是：± ＝±2 ．
故答案为：±2 ．
【典例3】（2022春•东平县校级月考）如果1＜a＜ ，那么 +|a﹣2|
的值是（ ）
A．6+a B．1 C．﹣a D．﹣6﹣a
【答案】B
【解答】解：∵1＜a＜ ，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴原式＝ +（2﹣a）
＝a﹣1+2﹣a
＝1．
故选：B．
【变式3-1】（2022•南谯区校级模拟）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣ 的结果为（
）
A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3
【答案】B
【解答】解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|﹣
＝3﹣a﹣（﹣a）
＝3﹣a+a
＝3，
故选：B．
【变式3-2】（2022春•灵宝市校级月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 + ﹣ 的结果是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
【答案】A
【解答】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a
＝0．
故选：A．
【变式3-3】（2022秋•崇川区校级月考）若2、5、n为三角形的三边长，则化
简 + 的结果为（ ）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【答案】A
【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，
∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，
原式＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）
＝﹣3+n+8﹣n
＝5，
故选：A．
【夯实基础】
1．（2022秋•郸城县期中）计算 的结果为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【答案】B【解答】解：（﹣ ）2＝6，
故选：B．
2．（2022秋•南关区校级期中）满足 ＝3﹣a的正整数a的所有值的和
为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．15
【答案】B
【解答】解：∵ ＝3﹣a，
∴3﹣a≥0，解得a≤3，
则正整数a的值有1、2、3三个，
∴1+2+3＝6．
故选：B．
3．（2021秋•沭阳县校级期末）若 ＝2﹣x成立，则x的取值范围是（
）
A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数
【答案】A
【解答】解：∵ ＝|x﹣2|＝2﹣x，
∴x﹣2≤0，
∴x≤2，
故选：A．
4．（2022春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式 + 的
值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【答案】A
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故选：A．
5．（2022秋•卧龙区校级月考）若 +b﹣3＝0，则b的取值范围是（
）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【答案】D
【解答】解：∵ +b﹣3＝0，即|3﹣b|＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，
即b≤3，
故选：D．
6．（2022秋•禅城区校级月考）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，
则化简 的结果为（ ）
A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b
【答案】B
【解答】解：∵实数a、b在轴上的位置可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+b﹣a
＝b﹣2a，
故选：B．
7．（2022 秋•北碚区校级期中）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简
结果为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝ +
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
8．（2021春•宾阳县期中）实数a在数轴对应点的位置如图所示，则
﹣|3﹣a|＝（ ）
A．5 B．﹣5 C．﹣1 D．2a﹣5
【答案】C
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣2＜0，3﹣a＞0，
原式＝|a﹣2|﹣|3﹣a|
＝2﹣a﹣（3﹣a）
＝2﹣a﹣3+a
＝﹣1．
故选：C．
9．（2022秋•安岳县期末）已知实数 a在数轴上的位置如图所示，则化简：
的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6
【答案】A
【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，
即：﹣2＞0，a﹣4＜0，
故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．
故选：A．10．（2021春•海淀区校级期中）已知 +|y﹣3|＝0，则xy＝ ．
【答案】 ﹣ 3
【解答】解：由题意可知：x+1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣1，y＝3，
∴xy＝﹣1×3＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11.（2020•中山市一模）若x，y为实数，且|x+1|+ ＝0，则（xy）2020的值是
．
【答案】1
【解答】解：∵x，y为实数，且|x+1|+ ＝0，
∴x+1＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，y＝1，
则（xy）2020＝1．
故答案为：1．
12 ． （ 2022• 南 京 模 拟 ） 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则
化简后为（ ）
A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．2a﹣9
【答案】C
【解答】解：由数轴得5＜a＜10，
所以原式＝|a﹣3|﹣|a﹣12|
＝a﹣3+a﹣12
＝2a﹣15．
故选：C．
13．（2022秋•丰泽区校级期末）已知x，y都是实数，且y＝ + +4，
则y＝ ．【答案】4
【解答】解：∵y＝ +4，
∴ ，
解得x＝3，
∴y＝4，
故答案为：4．
14．（2022 秋•平谷区期末）实数 m 在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果为 ．
【答案】1
【解答】解：由数轴得：0＜m＜1，
∴m﹣1＜0，
∴
＝﹣（m﹣1）+m
＝﹣m+1+m
＝1．
故答案为：1．
15．（2022 秋•丰泽区校级期末）当 a＞3 时，化简：|a﹣2|﹣ ＝
．
【答案】1
【解答】解：∵a＞3，
∴a﹣2＞0，a﹣3＞0，
∴原式＝a﹣2﹣（a﹣3）
＝a﹣2﹣a+3
＝1．
故答案为1．16．（2022秋•渝中区校级期中）如图，实数 a在数轴上的位置如图所示，则
化简后为 ．
【答案】7
【解答】解：∵5＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝|a﹣4|+|a﹣11|＝a﹣4+11﹣a＝7．
故答案为：7．
17．若x，y是实数，且y＝ + +3，求3 的值．
【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，
解得，x＝ ，
则y＝3，
则3 ＝3× ＝ ．
18．（2022春•澄迈县期末）已知﹣1＜a＜3，化简 ．
【解答】解：∵﹣1＜a＜3，
∴a+1＞0，a﹣4＜0，
∴原式＝a+1﹣（4﹣a）
＝2a﹣3．
【能力提升】
19．（2022 秋•如东县期末）x，y 为实数，且 ，化简：
＝ ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，∴x≥1，x≤1，
∴x＝1，
又∵y＜ + +3，
∴y＜3，
∴|y﹣3|﹣ ＝3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．
故答案为﹣1．
21．（2022秋•兴庆区校级月考）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则
化简 ﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．
【答案】0
【解答】解：∵c＜b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．
故答案为：0．
22．（2022春•梁山县期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简
代数式： ﹣|a+c|+ ﹣|﹣b|．
【解答】解：由数轴可知：a＜c＜0＜b＜﹣a，
∴a+c＜0，c﹣b＜0，﹣b＜0，
∴原式＝2+（a+c）+|c﹣b|﹣b
＝2+a+c﹣c+b﹣b
＝2+a．
