北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.4 解三角形
一、选择题
1.(2021江西九江重点中学调研,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=2√6,b=4,则B=( )
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上都不对
√3
2√6 4 4× √2
答案 C 依题意,得 = ,所以sin B= 2 = ,又因为0°<B<180°,所以B=45°或135°,
sin60° sinB 2
2√6
又因为a>b,所以A>B,即B<60°,所以B=45°,故选C.
2. (2022届豫南九校联考(二),7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin B+3bcos A=0,
则tan A=( )
1 1
A.3 B. C.- D.-3
3 3
答案 D 由asin B+3bcos A=0,结合正弦定理得sin Asin B+3sin Bcos A=0,即sin B(sin A+3cos A)=0,因
为0<B<π,所以sin B≠0,所以sin A+3cos A=0,所以tan A=-3.故选D.
3.(2022届四川南充调研,5)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.有解但解的个数不确定
√3
b c bsinC 40×
答案 C 在△ABC中,b=40,c=20,C=60°.由正弦定理得 = ,∴sin B= = 2 =√3>1,
sinB sinC c
20
与sin B≤1相矛盾,∴∠B不存在,即满足条件的三角形不存在,故选C.
4.(2022届安徽淮南一中月考三,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=c,a2=2b2(1-√3sin A),则A=(
)
π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
答案 A 由b=c及余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2b2-2b2cos A=2b2(1-cos A),∵a2=2b2(1-√3sin A),
√3 π
∴cos A=√3sin A,又∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos A≠0,∴tan A= ,∴A= .故选A.
3 6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.(2022届湘豫名校联盟11月联考,8)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2ccos B=2a-b,且c=
√13,b=3,则△ABC的面积为( )
A.2√3 B.3√3 C.4√3 D.6√3
答案 B 由正弦定理及已知得2sin Ccos B=2sin A-sin B,∵在△ABC中,A=π-(B+C),
1 π
∴sin B=2sin(B+C)-2sin Ccos B=2sin Bcos C,又∵sin B>0,∴cos C= ,而C∈(0,π),故C= .
2 3
1
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得13=a2+9-2a·3× ,即a2-3a-4=0,解得a=4(舍负),
2
1
∴S = absin C=3√3.故选B.
△ABC
2
6.(2021全国名校联盟4月联考,9)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,
(b+c)·sin(A+C) S
=
△ABC,则C=(
)
2 b-c
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A 依题意,得(b+c)(b-c)·sin B=2S
△ABC
,则(b2-c2)·sin B=acsin B,即ac=b2-c2①,而b2=a2+c2-
a2+b2-c2 4c2+3c2-c2 √3
2accos B=a2+c2-ac,则b2-c2=a2-ac②.由①②得a=2c,b=√3c,故cos C= = = ,又
2ab 2×2c×√3c 2
0°<C<180°,所以C=30°,故选A.
7.(2021长春第二次质量检测,9)现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较
√5-1
短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为 .
2
(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.
(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin 126°=( )
√5-1 √5+1 √5-1 √5+1
A. B. C. D. 答案 D 由题意,设△ABC为黄金三角形,其
2 2 4 4
a √5-1 √5-1
内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=36°,当b=c时,由黄金三角形的定义有 = ,即a= b,由余弦
b 2 2
定理的推论知cos A=cos
36°=b2+c2-a2
=
2b2- (√5-1 b ) 2 =√5+1.当a=b时,由黄金三角形的定义
2
2bc 4
2b2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
c2
a √5-1 √5-1 c2+b2-a2
有 = ,即b=a= c,由余弦定理的推论知cos A=cos 36°= = √5-1 =
c 2 2 2bc 2· c2
2
√5+1 √5+1 √5+1
.同理可得当a=c时,cos 36°= ,所以sin 126°=sin(90°+36°)=cos 36°= ,
4 4 4
故选D.
8. (2022届兰州西北师大附中期中,5)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=
asin A,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案 B 由正弦定理及已知得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,由B+C=π-A,可得
π
sin A=sin2A,因为sin A≠0,所以sin A=1,因为0<A<π,所以A= ,所以△ABC是直角三角形.故选B.
2
A
9. (2021黑龙江省实验中学1月联考,10)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若sin cos
2
A
=
2
sin C,且a2=b2(1-2cos A)+c2(1+4cos A),则△ABC的形状是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
A A
答案 D ∵sin cos =sin C,∴sin A=2sin C,由正弦定理得a=2c.
2 2
又a2=b2(1-2cos A)+c2(1+4cos A),
b2-2c2-bc (b+c)(b-2c)
∴2(b2-2c2)cos A=b2+c2-a2,∴ ·(b2+c2-a2)=0,∴ ·(b2+c2-a2)=0,∴b2+c2=a2或
bc bc
b=2c,又a=2c,∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.故选D.
10.(2021河南部分重点中学3月联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos A=(3b-a)cos C.若
△ABC的面积为3√2,则c的最小值是( )
A.2 B.2√3 C.4 D.12
答案 B 因为ccos A=(3b-a)cos C,所以sin Ccos A=3sin B·cos C-sin Acos C,
即sin Ccos A+sin Acos C=3sin Bcos C.因为sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 2√2 1 √2
所以sin B=3sin B·cos C,所以cos C= ,则sin C= .因为△ABC的面积为3√2,所以 absin C=
3 3 2 3
2 4
ab=3√2,则ab=9.由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C=a2+b2- ab≥ ab=12(当且仅当a=b时,等号成立),则c≥2
3 3
√3.故c的最小值为2√3.
11.(2021皖北教研联合体4月联考,10)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则
b+c
的取值范围为( )
a
A.(√2+1,√3+2) B.(√2+1,3)
C.(3,√3+2) D.(3,+∞)
b+c sinB+sinC sinB+sin(A+B) sin2A+sin(A+2A)
答案 A 由正弦定理得 = = = =
a sin A sin A sin A
sin2A+sin Acos2A+cosAsin2A
=2cos A+cos 2A+2cos2A=4cos2A+2cos A-1,因为△ABC为锐角
sin A
π
{ 0<A< ,
2
三角形,所以 0<B=2A< π , 所以 π<A<π,所以√2<cos A<√3,所以4cos2A+2cos A-1=4
2 6 4 2 2
π
0<C=π-3A< ,
2
( 1) 2 -5∈( +1, +2),即b+c的取值范围为( +1, +2),故选A.
cosA+ √2 √3 √2 √3
4 4 a
12.(2022届山西长治第二中学月考,12)在△ABC中,D、E分别是边AC、AB的中点,若BD⊥CE,则cos A的
最小值为( )
4 3
A. B.
5 4
2 1
C. D.
3 2
答案 A 依题意,建系,如图,设C(0,c),B(b,0)(b>0,c>0),北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∵D为AC的中点,E为AB的中点,∴A(-b,-c),D( - b ,0 ),E 0,- c ,则 ⃗AC =(b,2c), ⃗AB =(2b,c),则cos A=
2 2
2(b2+c2)
⃗AB·⃗AC = 2(b2+c2) ≥ =4(b2+c2)=4,当且仅
(4b2+c2)+(b2+4c2)
|⃗AB|·|⃗AC| √4b2+c2·√b2+4c2 5(b2+c2) 5
2
4
当b=c时等号成立,因此cos A的最小值为 .故选A.
5
二、填空题
2π
13.(2022届兰州西北师大附中期中,14)在△ABC中,AB=√3,AC=1,且∠C= ,则BC= .
3
答案 1
2π
解析 由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C及已知得3=1+BC2-2BC·cos ,化简得BC2+BC-2=0,又
3
BC>0,∴BC=1.
1 4
14.(2022届河南段考三,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin A= ,cos B= ,a=5,则△ABC的面
3 5
积为 ,其内切圆的半径为 .
答案 6+9√2;√2
解析 由cos B= 4 ,知B为锐角,可得sin B=
√1-cos2B
=√
1-
(4) 2 = 3 ,因为sin A= 1 ,a=5,所以由正弦
5 5 5 3
定理得b= asinB =9,因为a<b,所以A<B,所以cos A=
√1-sin2A
=√
1-
(1) 2 =2√2,所以sin
sin A 3 3
1 4 2√2 3 4+6√2
C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= × + × = ,
3 5 3 5 15北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
asinC 1 1 4+6√2
由正弦定理可得c= =4+6√2,所以△ABC的面积为 absin C= ×5×9× =6+9√2,周长为
sin A 2 2 15
1
a+b+c=5+9+4+6√2=18+6√2,设其内切圆的半径为r,则 (18+6√2)r=6+9√2,解得r=√2.
2
15.(2021河南名校联盟联考,14)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b2+c2=a2+bc,且cos Bcos
C+cos A=sin2A,则△ABC的形状是 .
答案 等边三角形
b2+c2-a2 1
解析 因为b2+c2=a2+bc,所以由余弦定理的推论得cos A= = ,又0°<A<180°,所以A=60°.因为
2bc 2
cos Bcos C+cos A=sin2A,所以cos Bcos C-cos(B+C)=sin2A,即sin B·sin C=sin2A,由正弦定理得bc=a2,代入
b2+c2=a2+bc得b2+c2=2bc,所以b=c,又A=60°,所以△ABC的形状是等边三角形.
π
16.(2022届江西十七校期中,16)在四边形ABCD中,AC2=AB·BC,B= ,D为△ABC外一点,AD=3,CD=2,则四
3
边形ABCD面积最大时角D= .
5π
答案
6
AB2+BC2-AB·BC 1
解析 在△ABC中,由已知条件及余弦定理的推论得cos B= = ,即(AB-BC)2=0,
2AB·BC 2
π 1 π √3 1
所以AB=BC.因为B= ,所以△ABC为等边三角形,设其边长为b,则S = b2sin = b2,S = ×3×2sin
3 △ABC 2 3 4 △ACD 2
D=3sin D.
在△ACD中,AC=b,AD=3,CD=2,由余弦定理得b2=32+22-2×2×3cos D=13-12cos D,
√3
所以S =S +S = b2+3sin D
四边形ABCD △ABC △ACD
4
√3 13√3
= (13-12cos D)+3sin D= -3√3cos D+3sin D
4 4
=6sin( π)+13√3,因为D∈(0,π),所以当D=5π时,四边形ABCD的面积取得最大值.
D-
3 4 6
三、解答题
17.(2022届银川一中月考,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-b)·sin A+(2b-a)sin
B=2csin C.
(1)求角C的大小;北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2√7
(2)若cos A= ,求sin(2A-C)的值.
7
a2+b2-c2 1
解析 (1)由已知条件及正弦定理可得(2a-b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+b2-c2=ab,∴cos C= = ,
2ab 2
π
∵0<C<π,∴C= .
3
2√7 √21 4√3 1
(2)由cos A= ,可得sin A= ,∴sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= ,∴sin(2A-C)=sin
7 7 7 7
4√3 1 1 √3 3√3
2Acos C-cos 2Asin C= × - × = .
7 2 7 2 14
25a-7b
18.(2022届河南重点中学调研一,20)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos B= .
25c
(1)若点A,B是函数f(x)=2sin(π π)-1的图象在某个周期内的最高点与最低点,求△ABC面积的最大值;
x+
3 3
1 1 8
(2)若角C的平分线与AB交于点D,且CD=5,求证: + = .
a b 25
25a-7b a2+c2-b2 25a-7b 14
解析 (1)由cos B= 及余弦定理的推论得 = ,整理得a2+b2-c2= ab,则
25c 2ac 25c 25
2π
a2+b2-c2 7 (π π)
cos C= = .易知f(x)=2sin x+ -1的最大值与最小值之差为4,最小正周期T= π =6,则
2ab 25 3 3
3
c=AB=√
42+
(T) 2 =5,于是得52=c2=a2+b2-14ab≥2ab-14ab=36ab,当且仅当a=b时取“=”,因此ab≤625.
2 25 25 25 36
24 1 1 625 24 25
由sin C>0,得sin C=√1-cos2C= ,所以△ABC的面积S= absin C≤ × × = ,所以△ABC面
25 2 2 36 25 3
25
积的最大值为 .
3
