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5.3 平面向量的应用（精练）（基础版）
题组一 证线段垂直
1．（2022·全国·高一课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，
DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则 AMN的形状是( )
△
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
2．（2022·新疆）在△ABC中，若 ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（2021·浙江）在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.5．（2022·湖南）如图所示，在等腰直角三角形ACB中， ， ，D为BC的中点，E是
AB上的一点，且 ，求证： .
6．（2022·浙江）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
7．（2022·浙江）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，BD，AC相交于点O，
M为BO中点．设向量 ， ．
（1）求 的值；（2）用 ， 表示 和 ；
（3）证明： ．
题组二 夹角问题
1．（2022·云南） 中，若 ， ，点 满足 ，直线 与直线
相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西）已知菱形 中， ， ，点 为 上一点，且 ，则 的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏）（多选）已知向量 ，记向量 的夹角为 ，则（ ）
A． 时 为锐角 B． 时 为钝角
C． 时 为直角 D． 时 为平角
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若向量 与
的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．5．（2022·四川省平昌中学）已知 ，且 的夹角为钝角，则实数 的范围_______
6．（2022·全国·期末）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形
（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知 分米， 分
米，点 在正方形 的四条边上运动，当 取得最大值时， 与 夹角的余弦值为
___________.
7（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知 ， ， 均为单位向量，且 ，则 与 夹角的余弦
值为______．
8．（2022·安徽·池州市第一中学）如图，在 中，已知 ， ， ， ，
，线段AM，BN相交于点P，则 的余弦值为___________.
9．（2021·湖南）已知平面四边形 中， ， ， ， ， ，
则 _______.10．（2022·湖北）已知 ＝(1，2)， ＝(1， )，分别确定实数 的取值范围，使得：
（1） 与 的夹角为直角；
（2） 与 的夹角为钝角；
（3） 与 的夹角为锐角．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足 ，且 · ＝3， 与 的夹
角为θ.求 与 夹角的取值范围 ．
题组三 线段长度
1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中，点 ， 满足 ， ，且
，设 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·湖南）（多选）已知 分别是三棱锥 的棱 ， 的中点， ．若异面直
线 与 所成角的大小为60°，则线段 的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2022·全国·信阳高中）已知四边形 是矩形， ， ， ， ，
，则 （ ）A． B． C． D．
4．（2022·山东济宁）已知两点 分别是四边形 的边 的中点，且 ， ，
， ，则线段 的长为是___________
5（2022·全国·高三专题练习）如图， ， 分别是四边形 的边 ， 的中点， ， ，
， ，则线段 的长是___________.
6．（2021·上海市市西中学）空间四边形 中， 分别是 边的中点，且
，则 ____________.
7．（2022·上海理工大学附属中学）如图，定圆 的半径为3，A，B为圆 上的两点，且 的最
小值为2，则 ______．题组四 几何中的最值
1．（2022·河南南阳·高一期末）已知 是 的边 上一点，且 ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，若
M，N是线段BC上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南）线段 是圆 的一条直径，直线 上有一动点 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东广州·）平面四边形 中， ，则 最小值
（ ）
A． B． C． D．5．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹角的
最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
7．（2022·浙江丽水）已知平面向量 ，若 ， ， ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南）已知点 是圆： 上的动点，点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，
且 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题组五 三角的四心
1．（2022·湖北武汉）在三棱锥 中.作 平面 ，垂足为 .
①若三条侧棱 与底面 所成的角相等，则 是 的（ ）心；
②若三个侧面 与底面 所成的二面角相等，则 是 的（ ）心：③若三组对棱 与 与 与 中有两组互相垂直，则 是 的（ ）心
以上三个空依次填（ ）
A．外，垂，内 B．内，外，垂 C．垂，内，外 D．外，内，垂
2．（2022·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件
，则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
3．（2022·重庆市长寿中学校）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积
分别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是
的垂心，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
4．（2022·重庆市实验中学）在平面上有 及内一点O满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有
则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．（2022·浙江省杭州第二中学）在 中， ， 为 的重心，若 ，则
外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6（2022·四川达州）在 中， 为重心， ， ，则 ___________.
题组六 三角形的面积
1．（2022·河南·新密市第一高级中学）若点M是 ABC所在平面内的一点，且满足3 － － ＝
△
，则 ABM与 ABC的面积之比为（ ）
A．1△∶2 △ B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
2．（2022·江西宜春）已知 ，点M是△ABC内一点且 ，则△MBC的面积为
（ ）
A． B． C． D．
3（2022·广东·东莞市东华高级中学）已知 是 内部（不含边界）一点，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
4．（2021·安徽·合肥一中）点P是菱形 内部一点，若 ，则 的面积与
的面积的比值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．155．（2022·河北）设点O在 的内部，且 ，则的面积 与 的面积之比是
___________
6．（2022·福建）点M在 ABC内部，满足 ，则 ____________．
△
7．（2022·全国·专题练习）设 、 为 内的两点，且满足 ， ，
则 __．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 的面积为2022，E为 边上一点， ， ，
的重心分别为 ， ， ，那么 的面积为___________．
9．（2022·福建厦门）点 为 内一点， ，则 的面积之比是
_____.
10．（2022·江苏）设 为 内一点，且满足关系式 ，则
__．
