曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.4 解三角形
三年模拟
一、选择题
1.(2022昆明三诊一模,8)在△ABC中,AB=3,AC=2,cos∠BAC=
1 4√3
,点D在BC边上且AD= ,则sin∠ADC=( )
3 3
√6 1 √3 2√2
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 A 在△ABC中,由余弦定理得BC=
√ 1
√AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC= 9+4-2×3×2× =3.
3
∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,∴sin∠BAC=sin∠BCA=
4√3
√ 1 2√2 AD AC 3 2 √6
1- = ,又 = ,即 = ,∴sin∠ADC= ,
9 3 sin∠DCA sin∠ADC 2√2 sin∠ADC 3
3
故选A.
2.(2022河南天一大联考阶段测试六,7)已知在锐角△ABC中,2AC·sin A-√3BC=0,点M在
边AC上,若∠MBC=∠MBA,AB=4,BC=3,则BM=( )
6 12 6√3 12√3
A. B. C. D.
7 7 7 7
答案 D 依题意,由正弦定理可得2sin∠ABC·sin A-√3sin A=0,由A为锐角可得
sin∠ABC=√3,因为∠ABC∈(
0,
π),所以∠ABC=π.而S
△ABC
=S
△ABM
+S
△BCM
,故1BA·BC·sin
2 2 3 2
π 1 π 1 π 12√3
= BA·BM·sin + BC·BM·sin ,解得BM= .
3 2 6 2 6 7
3.(2022贵阳五校联考,8)在△ABC中,∠B=120°,AB=√2,∠A的平分线AD的长为√3,则
AC=( )
A.2 B.3 C.√6D.2√3
AD AB √3 √2
答案 C 在△ABD中,由正弦定理得 = ,即 = ,
sinB sin∠BDA sin120° sin∠BDA
√2
∴sin∠BDA= ,∴∠BDA=45°,
2
∴∠BAD=180°-120°-45°=15°,则∠BAC=30°,∴∠C=30°,∴BC=AB=√2.在△ABC中,由正弦
AC BC
定理得 = ,∴AC=√6.故选C.
sinB sin∠BAC
4.(2022哈尔滨三中二模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积
2S 1
为S,若sin(A+C)= ,则tan A+ 的取值范围为( )
b2-a2 3tan(B-A)
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A.[2√3 ) [2√3 4]
,+∞ B. ,
3 3 3
C.(2√3 4) [2√3 4)
, D. ,
3 3 3 3
1
答案 C 在△ABC中,sin(A+C)=sin B,S= acsin B,
2
2S
故由sin(A+C)= 得b2-a2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得c=2acos B+a,
b2-a2
又由正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
故sin(B-A)=sin A,
故B-A=A或B-A=π-A(舍去),得B=2A.
又△ABC为锐角三角形,故
π
{ 0<A< ,
2
π π π √3 1 1
0<2A< , 解得 <A< ,故 <tan A<1,故tan A+ =tan A+
2 6 4 3 3tan(B-A) 3tan A
π
0<π-3A< ,
2
∈(2√3 4),故选C.
,
3 3
5.(2022广西桂林、崇左、贺州3月联考,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,b=asin C,c=acos B,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
a2+c2-b2 a2+c2-b2
答案 D 在△ABC中,cos B= ,又知c=acos B,∴c=a· ,即2c2=a2+c2-
2ac 2ac
b2,∴b2+c2=a2,∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形,∴sin C=
c c
,又b=asin C,∴b=a× =c,∴△ABC为等腰直角三角形,故选D.
a a
6.(2022成都二诊,12)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
c=1,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,则tan A的最大值为( )
√7 √7 3√7 4√7
A. B. C. D.
4 3 7 7
答案 C 由4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,c=1,得4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2,由正弦定理得
4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C,所以4sin2A(cos2B+sin2B)=3sin2B-3sin2C,即
4sin2A=3sin2B-3sin2C,由正弦定理可得4a2=3b2-3c2,即a2=
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3b2-3c2 b2+c2-a2 b2+7 b 7
,所以cos A= = = + ≥2
4 2bc 8b 8 8b
√b 7 √7 b 7
· = ,当且仅当 = ,即b=√7时等号成立.因为cos A>0,所以A∈
8 8b 4 8 8b
( π) √7 3 3√7
0, ,所以当cos A取得最小值时,tan A取得最大值,又当cos A= 时,sin A= ,所以(tan A)max=
2 4 4 7
,故选C.
7.(多选)(2022山东平邑一中开学收心考,10)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且c-b=2bcos A,则下列结论正确的有 ( )
A.A=2B
B.B的取值范围为( π)
0,
4
a
C. 的取值范围为(√2,2)
b
D. 1 1 (5√3 )
- +2sin A的取值范围为 ,3
tanB tan A 3
答案 AD 对于A,由正弦定理及c-b=2bcos A得sin C-sin B=2sin Bcos A,把sin
C=sin(A+B)=sin Acos B+cos A·sin B代入整理得,sin(A-B)=sin B,解得A-B=B或A-
B+B=π,即A=2B或A=π(舍去).A中结论正确.对于B,因为△ABC为锐角三角形,A=2B,所
以C=π-3B.
π
{ 0<B< ,
2
由
0<2B<
π
,
解得B∈(π
,
π),B中结论错误.
2 6 4
π
0<π-3B< ,
2
对于C,a
=
sin A
=
sin2B=2cos B,因为B∈(π
,
π),所以2cos B∈(
√2,√3
),
b sinB sinB 6 4
a
即 的取值范围是(√2,√3).C中结论错误.
b
1 1 sin(A-B) 1
对于D, - +2sin A= +2sin A= +2sin A.
tanB tan A sin AsinB sin A
因为B∈(π
,
π),所以A=2B∈(π
,
π),sin A∈(√3
,1
).
6 4 3 2 2
令t=sin A,t∈(√3
,1
)
,则f(t)=2t+
1
.易知函数f(t)=2t+
1
在
(√3
,1
)上单调递增.
2 t t 2
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因为f(√3)
=
5√3, f(1)=3,所以f(t)∈
2 3
(5√3 ) 1 1 (5√3 ).D中结论正确.故选
,3 .即 - +2sin A的取值范围为 ,3
3 tanB tan A 3
AD.
sin A sinB sinC
8.(多选)(2020山东百师联盟测试三,12)已知△ABC的三个内角满足 = =
6 8 m
(m∈N*),则当m取不同值时,关于△ABC的形状,说法正确的是( )
A.当m=2时,△ABC为锐角三角形
B.当m=4时,△ABC为钝角三角形
C.当m=6时,△ABC为等腰三角形
D.当m=10时,△ABC为直角三角形
答案 BCD 设角A、B、C的对边分别为a、b、c,
sin A sinB sinC a b c
由 = = 得 = = ,
6 8 m 6 8 m
a b c
令 = = =t(t>0),则a=6t,b=8t,c=mt,
6 8 m
当m=2时,a=6t,b=8t,c=2t,a+c=b,不能构成三角形,所以A中说法不正确;
1
当m=4时,a=6t,b=8t,c=4t,由余弦定理的推论得cos B=- <0,即B为钝角,所以B中说法
4
正确;
当m=6时,a=6t,b=8t,c=6t,即a=c,所以C中说法正确;当m=10时,a=6t,b=8t,c=10t,即
a2+b2=c2,所以D中说法正确.故选BCD.
二、填空题
9.(2022宁夏六盘山二模,15)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin
a
2A=3asin B,c=2b,则 = .
b
答案 √2
解析 由条件可得4bsin Acos A=3asin B,
由正弦定理得4sin Bsin Acos A=3sin Asin B,
由角A,B是△ABC的内角,得sin A>0,sin B>0,
3
所以4cos A=3,即cos A= .
4
3 a
由c=2b及余弦定理可知a2=b2+4b2-4b2× ,即a2=2b2,所以 =√2.
4 b
10.(2022陕西省西安中学二模,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面
a2+b2-c2
积为 ,则C= .
4
π
答案
4
a2+b2-c2
解析 由余弦定理的推论得cos C= ,所以a2+b2-c2=2abcos C,
2ab
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1 a2+b2-c2 2abcosC
△ABC的面积为S= absin C= = ,
2 4 4
所以sin C=cos C,即tan C=1,又0<C<π,
π
所以C= .
4
11.(2022豫北重点高中4月联考,15)蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启
元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江
西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度,如图,
选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=35√7米,
∠CAD=45°,∠CBD=30°,∠ADB=150°,则蜚英塔的高度CD是 米.
答案 35
解析 设CD=h米.
在Rt△ACD中,∠CAD=45°,所以AD=CD=h米.
在Rt△BCD中,∠CBD=30°,所以BD=√3CD=√3h米.
在△ABD中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即(35√7)2=h2+(√3h)2-2h·
h·( √3),解得h=35.
√3 -
2
所以蜚英塔的高度CD是35米.
12.(2022山西朔州怀仁第一中学二模,16)锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
√3a
=tan B+tan C,若c=2√3,D为AB的中点,则中线CD的范围为 .
c·cosB
答案 (√7,3]
√3a
解析 由 =tan B+tan C,得
c·cosB
√3sin A sinB sinC sinB·cosC+cosB·sinC sin(B+C) sin A
= + = = =
sinC·cosB cosB cosC cosB·cosC cosB·cosC cosB·cosC
,
π
则sin C=√3cos C,C∈(0,π),则tan C=√3,C= .
3
1 1 1
∵⃗CD= (⃗CA+⃗CB),∴⃗CD2= (⃗CA+⃗CB)2,即CD2= (a2+b2+ab),
2 4 4
由余弦定理有c2=a2+b2-ab,即12=a2+b2-ab,
1 1
所以CD2= (12+2ab)=3+ ab,
4 2
a b 2√3
= =
由正弦定理得sin A sinB √3 =4,则a=4sin A,b=4sin B,
2
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CD2=3+
1 (2π ) (√3 1 ) ( π)
ab=3+8sin Asin B=3+8sin Asin -A =3+8sin A cosA+ sin A ,即CD2=5+4sin 2A-
2 3 2 2 6
,因为△ABC为锐角三角形,所以0<A<π
且A+C>
π,则A∈(π
,
π),∴CD2 ∈(7,9],∴CD∈(
2 2 6 2
√7,3].
13.(2022陕西榆林二模,14)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
5 c
4sin2C=sin2A,cos B=- ,则 = .
16 b
2
答案
5
解析 ∵4sin2C=sin2A,∴ 4c 2 =a 2 , 即 a=2c .
∵cos B=a2+c2-b2 5 4c2+c2-b2 5 c 2.
=- ,∴ =- ,解得 =
2ac 16 4c2 16 b 5
14.(2022广西3月适应性测试,15)2021年9月17日,搭载着3名英雄航天员的神舟十二
号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场,标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假
设返回舱D是垂直下落于点C的,某时刻地面上A、B观测点观测到点D的仰角分别为
45°、75°,若A、B间的距离为10千米(其中向量⃗CA与
⃗CB同向),则估算该时刻返回舱距离地面的高度|CD|约为千米(结果保留整数,参考数据:√3
≈1.732).
答案 14
解析 如图,
依题意知∠CBD=75°,∠CAD=45°,AB=10千米,则∠ADB=30°,在△ABD中,
AB BD AB·sin∠BAD 10sin45°
由 = ,得BD= = =10√2(千米),在
sin∠ADB sin∠BAD sin∠ADB sin30°
CD
Rt△DCB中,sin∠CBD= ,即CD=BD·sin∠CBD=10
BD
+1)≈14(千米),故该时刻返回舱距离地面的
√2×sin 75°=10√2sin(45°+30°)=5(√3
高度约为14千米.
15.(2022安徽安庆二模,16)如图,在△ABC中,点D在边AB上,CD垂直于
BC,∠A=30°,BD=2AD,AC=5√3,则△ABC的面积为 .
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75√3
答案
4
解析 设AD=m,则BD=2m.在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos A=m2+75-15m,在
△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9m2+75-45m.
因为CD⊥BC,所以BD2=BC2+CD2,
所以 10m 2 -60m+150=4m 2 , 解得 m=5 .
1 1 75√3
所以AB=15,则S = AB·ACsin A= ×15×5√3·sin 30°= .
△ABC 2 2 4
16.(2022河南开封二模,16)如图,某直径为5√5海里的圆形海域上有四个小岛,已知小岛B
4
与小岛C相距5海里,cos∠BAD=- .则小岛B与小岛D之间的距离为 海里;小岛
5
B,C,D所形成的三角形海域BCD的面积为 平方海里.
答案 3√5;15
4
解析 由圆的内接四边形对角互补 , 得 ∠ BAD+ ∠ BCD=π ,则cos∠BCD=-cos∠BAD= ,
5
3
所以sin∠BCD= .在△BCD中,由正弦定理得
5
BD BD
= =2r=5√5(r为圆形海域的半径),则BD=3√5,所以小岛B与小岛D之间的距离为3√5
sin∠BCD 3
5
4
海里.在△BCD中,由余弦定理得(3√5)2=CD2+52-2CD·5· ,即CD2-8CD-20=0,解得
5
1 3
CD=10(负值舍去),所以S = ×10×5× =15,即小岛B,C,D所形成的三角形海域的面
△BCD
2 5
积为15平方海里.
三、解答题
17.(2022贵州适应性考试,17)如图,在△ABC中,D是AC边上一点,∠ABC为钝角,
∠DBC=90°.
(1)证明:cos∠ADB+sin C=0;
(2)若AB=2√7,BC=2,再从下面①②中选取一个作为条件,求△ABD的面积.
3√21
①sin∠ABC= ;
14
②AC=3AD.
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解析 (1)证明:因为∠ADB=90°+C,所以cos∠ADB=cos(90°+C) =-sin C,故cos∠ADB+sin
C=0.
3√21
(2)选①,sin∠ABC= .
14
因为∠ABC>90°,
√7
所以cos∠ABC=-√1-sin2 ∠ABC=- ,
14
在△ABC中,由余弦定理可得
AC=√ ( √7)=6,
28+4-2×2√7×2× -
14
2√7 6 √3
= ,所以sin C=
由正弦定理可得sinC 3√21 2 ,
14
又0°<C<90°,故C=60°.
在Rt△CBD中,BC=2,所以BD=BCtan C=2tan 60°=2√3.又sin∠ABD=sin(∠ABC-90°)=-
√7
cos∠ABC= ,
14
1 1 √7
所以S
△ABD
=
2
AB·BD·sin∠ABD=
2
×2√7×2√3×
14
=√3.
选②,AC=3AD.
设AD=x(x>0),则DC=2x,
在Rt△CBD中,BD= ,
√DC2-BC2=2√x2-1
由cos∠ADB+sin C=0得,
x2+4x2-4-28 2√x2-1=0,
+
2x·2√x2-1 2x
解得x=2,即AD=2,BD=2√3,CD=4.
在Rt△CBD中,
BD 2√3
tan C= = =√3,0°<C<90°,所以C=60°,
BC 2
所以∠ADB=C+∠DBC=60°+90°=150°,
1 1 1
所以S
△ABD
=
2
AD·BD·sin∠ADB=
2
×2×2√3×
2
=√3.
18.(2022郑州二模,18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为S,若
4aS
=(2b-a)(a2+b2-c2).
tan A
(1)求角C;
(2)求sin A+sin B的取值范围.
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4aS
解析 (1)由 =(2b-a)(a2+b2-c2)可得
tan A
4aScosA 1
=(2b-a)(a2+b2-c2),因为S= bcsin A,a2+b2-c2=2abcos C,所以ccos
sin A 2
A=(2b-a)cos C.
由正弦定理得sin Ccos A=(2sin B-sin A)cos C,
则sin Ccos A+sin Acos C=2sin Bcos C,
所以sin(A+C)=2sin Bcos C.
又因为△ABC中,sin(A+C)=sin B,sin B≠0,
1 π
所以cos C= ,所以C= .
2 3
(2)sin A+sin B=sin A+sin(A+C)=sin A+sin( π)
A+
3
=3 √3 ( π).
sin A+ cos A=√3sin A+
2 2 6
2π π π 5π
由于0<A< ,所以 <A+ < ,
3 6 6 6
所以sin(
A+
π)∈(1
,1
],故sin A+sin B∈(√3
,√3
].
6 2 2
19.(2022宁夏吴忠二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2C-
cos2B=sin2A-√3sin Asin B.
(1)求角C;
π
(2)若∠A= ,△ABC的面积为4√3,M为AB的中点,求CM的长.
6
解析 (1)由已知及正弦定理,得c2-b2=a2-√3ab,即c2=a2+b2-√3ab.
a2+b2-c2 √3
又由余弦定理的推论,得cos C= = .
2ab 2
π
因为0<C<π,所以C= .
6
π 2π
(2)因为A=C=
6
,所以△ABC为等腰三角形,且顶角B=
3
.故S
△ABC
=
1 √3
a2sin B= a2=4√3,所以a=4.在△MBC中,由余弦定理,得CM2=MB2+BC2-
2 4
1
2MB×BCcos B=4+16+2×2×4× =28,解得CM=2√7.
2
20.(2022中原名校联盟4月联考,19)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin
C=√2sin B,C=2A,c=2.
(1)求证:△ABC是等腰直角三角形;
(2)已知点P在△ABC的内部,且PB=PC,PA=AC,求cos∠PAB.
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解析 (1)证明:sin C=sin 2A=2sin Acos A,即c=2a·
b2+c2-a2
,而sin C=√2sin B,故c=√2b,又c=2,所以b=√2,故a3-2√2=6a-6√2
2bc
,
即(a-√2)(a2+√2a+2)=6(a-√2),
化简可得(a-√2)2(a+2√2)=0,
因为a>0,所以a=√2,所以a=b.
又a2+b2=c2,故△ABC是等腰直角三角形.
(2)由(1)可知,∠ACB=π,设∠PAC=α,其中α∈(
0,
π),
2 4
π α α
因为PA=AC,所以∠PCA= - ,则∠PCB= .
2 2 2
√2
取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC,故PC= α .
2cos
2
又AP=AC=√2,在△APC中,由正弦定理得,
√2
α
2cos
2 √2 1.
= .化简可得,sin α=
sinα (π α) 2
sin -
2 2
因为α∈(
0,
π)
,所以α=
π,
4 6
故cos∠PAB=cos(π
-
π)
=
√6+√2.
4 6 4
21.(2022天津三中二模,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c<b,已知
√6
a=3,cos A= ,b=3√2.
3
(1)求sin B及c的值;
(2)求sin( π)的值.
2A+
4
解析 (1)因为cos A=
√6 √3 a b √6
,A为三角形的内角,所以sin A= ,由 = ,解得sin B= ,
3 3 sin A sinB 3
b2+c2-a2
又cos A= ,所以c=3√3(舍)或c=√3.
2bc
√6 √3 2√2
(2)因为sin 2A=2sin Acos A=2× × = ,
3 3 3
1
cos 2A=2cos2A-1= ,
3
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所以sin( π) π π 4+√2.
2A+ =sin 2Acos +cos 2Asin =
4 4 4 6
22.(2022和平一模,16)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-b)sin A+(2b-
a)sin B=2csin C.
(1)求角C的大小;
√3
(2)若tan A= ,求sin(2A-C)的值.
2
解析 (1)由已知及正弦定理得(2a-b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+b2-c2=ab,∴cos C=
a2+b2-c2 1
= ,
2ab 2
π
∵0<C<π,∴C= .
3
√3 2√7 √21
(2)由tan A= ,可得cos A= ,sin A= ,
2 7 7
4√3 1
∴sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= ,
7 7
4√3 1 1 √3 3√3
∴sin(2A-C)=sin 2Acos C-cos 2Asin C= × - × = .
7 2 7 2 14
23.(2022天津滨海七校联考,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,sin
√7 3
A= ,a2+c2-b2= ac.
8 2
(1)求cos B和c的值;
(2)求cos( π)的值.
2B+
3
3
解析 (1)因为a2+c2-b2= ac,
2
a2+c2-b2 3
所以由余弦定理得cos B= = ,
2ac 4
又B∈(0,π),所以sin B=√
1-
(3) 2
=
√7,
4 4
a b 2 b
= 得, =
由sin A sinB √7 √7,所以b=4,
8 4
3
由a2+c2-b2= ac得4+c2-16=3c,
2
3+√57 3-√57
解得c= 或c= (舍去).
2 2
√7 3 3√7
(2)∵sin 2B=2sin Bcos B=2× × = ,
4 4 8
1
cos 2B=2cos2B-1= ,
8
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∴cos( π) π π 1 1 3√7 √3 1-3√21.
2B+ =cos 2Bcos -sin 2Bsin = × - × =
3 3 3 8 2 8 2 16
24.(2022南开二模,16)在△ABC中,内角A,B,C对边的长分别是a,b,c,已知A+C=2B.
(1)若b=3,c=5,求sin C;
(2)若a+c=2b,求证:△ABC是等边三角形;
2√5
(3)若cos A= ,求cos 2C的值.
5
π
解析 在△ABC中,A+B+C=π,因为A+C=2B,所以B= .
3
b c 3 5 5√3
= 得 = ,解得sin C=
(1)由题意及正弦定理sinB sinC π sinC 6 .
sin
3
(2)证明:由余弦定理得b2=a2+c2-ac,
将a+c=2b代入上式得(a+c) 2 π,
=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,从而a=c,又B=
2 3
所以△ABC是等边三角形.
2√5 √5
(3)因为cos A= ,所以sin A= .
5 5
4 3
所以sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= ,
5 5
所以cos 2C=cos[2(π-A-B)]=cos(2π )
+2A
3
2π 2π
=cos cos 2A-sin sin 2A
3 3
1 3 √3 4 3+4√3
=- × - × =- .
2 5 2 5 10
25.(2022天津十二区县重点学校一模,16)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、
b、c,已知asin B+√3bcos A=0.
(1)求角A的大小;
(2)已知a=2√7,b=2,设D为BC边上一点,且AD为∠BAC的平分线,求△ABD的面积.
解析 (1)因为asin B+√3bcos A=0,所以sin Asin B=-√3sin Bcos A,又sin B≠0,
2π
所以sin A=-√3cos A,所以tan A=-√3.因为0<A<π,所以A= .
3
2π
(2)在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得,28=4+c2-4ccos ,解得c=4(舍负).
3
BD AB c 4 BD 2
因为AD为∠BAC的平分线,所以 = = = =2,所以 = ,过A作AE⊥BC于
DC AC b 2 BC 3
E,
1 1
则S = AE·BD,S = AE·BC.
△ABD
2
△ABC
2
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所以 S △ABD= BD = 2,所以S △ABD =2S △ABC =2 × 1 bcsin A= 1 ×2×4× √3 = 4√3.
S BC 3 3 3 2 3 2 3
△ABC
一年创新
π
1.(2022朝阳一模,14)某地进行老旧小区改造,有半径为60米,圆心角为 的一块扇形空置
3
地(如图),现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其中P在 ⏜ 上,PQ⊥AB,垂足为
BC
Q,PR⊥AC,垂足为R,设∠PAB=α∈( 0, π),则PQ= 米(用α表示);当P在 ⏜ 上运动
BC
3
时,这块三角形绿地的最大面积是 平方米.
答案 60sin α;225√3
解析 在Rt△PAQ中,∠PAB=α∈(
0,
π),AP=60米,∴PQ=PAsin α=60sin α米,
3
在Rt△PAR中,可得PR=60sin(π
-α
),又∠QPR=2π,∴S
△PQR
=1PQ·PR·sin∠QPR=
3 3 2
1 (π ) 2π (π ) ·
×60sin α×60sin -α ×sin =900√3sin αsin -α =450√3
2 3 3 3
(√3 1 1) [ ( π) 1],
sin2α+ cos2α- =450√3 sin 2α+ -
2 2 2 6 2
又α∈(
0,
π)
,∴2α+
π ∈(π
,
5π)
,当2α+
π
=
π
,即α=
π时,△PQR的面积有最大值
3 6 6 6 6 2 6
225√3平方米.
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2.(2022江西重点中学3月联考,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若对任意
c b
λ∈R,不等式|λ⃗BC-⃗BA|≥|⃗BC|恒成立,则 + 的最大值为 .
b c
答案 √5
解析 在△ABC中,由余弦定理可得b2+c2=2bccos A+a2.
因为对任意λ∈R,不等式|λ⃗BC-⃗BA|≥|⃗BC|恒成立,
所以|λ⃗BC-⃗BA| ≥|⃗BC|,
min
1 1 1
又知|λ⃗BC-⃗BA| 即为BC边上的高,设为h,所以h≥a,所以S = bcsin A= ah≥ a2,所
min △ABC
2 2 2
a2 c b b2+c2 a2+2bccosA a2
以sin A≥ ,则 + = = = +2cos A≤sin A+2cos A=√5
bc b c bc bc bc
c b
sin(A+θ)≤√5.故 + 的最大值为√5.
b c
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