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专题 01 三角函数与解三角形
三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主
要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1 三角函数图像及性质问题
，2 结构不良试题 3 三角形面积周长问题4三角形三线问题5 三角函数实际应用问题
在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.
题型一：三角函数的图象及其性质
1． ，已知点A，B是函数 的图像与直线 的两个交点.且 的最
小值为 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若对于 都有 ，求m的取值范围.
【答案】(1) (2)
，
，
当 时单调递增，即 时单调递增；（2）当 时， ， ， ，
原不等式等价于： ，即 ，解得 ；
m的取值范围是 .
此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为 的形式，再结合正弦函数
的性质研究其相关性质．
（1）已知三角函数解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；
②求形如 或 （其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，
通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
（2）函数图象的平移变换解题策略：
①对函数 ， 或 的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩
再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为 .
②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
1 已知函数 ， ．
(1)求 的最小正周期；(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若 ， ，求 的值．
【答案】(1) (2)最大值为 ，最小值为－ .(3)
【详解】（1）
，
.
， 的最小正周期为 .
（2）因为 ，所以
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
且 ， ， ，所以， 的最大值为 ，最小值为－ .
（3）因为， ，所以， ，
又因为 所以， ，故 ， ，
所以， .题型二：结构不良试题
设 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，
如△果①、②、③都做，则按①给分．
①向量 与向量 平行．
②
③
(1)确定角A和角B之间的关系；
(2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．
【答案】(1)2B＝A(2)
（1）若选①：因为向量 与向量 平行，所以 ，由正弦定理，可得
∵ ， ， ，∴ 或
∴ （舍）或2B＝A，即2B＝A
若选②： ，
所以 ，由正弦定理，可得
∵ ， ， ，∴ 或
∴ （舍）或2B＝A，即2B＝A若选③：
，∵ ，∴
所以上式化为
∵ ， ，∴ ，即 ．
（2）如图，作出 ABC示意图如下：
△
∵2a＝3b，由正弦定理 ，可得 ，
过D向AB作垂线，垂足为H，∴ ．
因为BD＝AD，所以H是AB中点，AB＝c＝6．因为BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，
因为∠BAC＝2∠B＝∠BAD＋∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD，AD是∠BAC的角平分线，
即有 ，解得 ．
1．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ，若 为 上一点，且满足____________，求 的面积 .
请从① ；② 为 的中线，且 ；③ 为 的角平分线，且 .
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1) ， (2)答案见解析
【详解】（1） ，
由 ，得 ， ，
∴函数 的单调递增区间为 ， ；
（2）由 ，得 ，
又 中 ， ，可知 ；
若选① ：
由 ，可知 ，可化为 ，
又 ，则 ，
又 中 ，故 ，所以 ，
则 ，故 ；
若选②： 为 的中线，且
在 中， ， ，则有 ，在 中， ，
在 中， ，
又 ，
则
则 ，又知 ，故 ；故 ；
若选③： 为 的角平分线，且 .
由题意知， ，
即 ，整理得
又在 中， ， ，则有 ，
故
解之得， ，故 .
题型三：三角形面积，周长问题
1 中， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【详解】（1），由 ，得 .
∴ ，∴ .
（2）法一：∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，又 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
由正弦定理得， ，又 ， ，∴ ，
又 ， ，∴
，
∴ .
法二：在 上取点 ，使得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，又 ，
∴
.∴ ，∴ ，∴.又 ，
∴ ，∴ ， ，∴ .
1．在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为 在 方向上的投影向量，且满
足 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的周长.
【答案】(1) (2)
（1）由 为 在 方向上的投影向量，则 ，即 ，
根据正弦定理， ，
在锐角 中， ，则 ，即 ，
由 ，则 ，整理可得 ，解得 .
（2）由 ，根据正弦定理，可得 ，
在 中， ，则 ， ，
，
由（1）可知 ， ，则 ，
由 ，则 ，解得 ， ，
根据正弦定理，可得 ，则 ， ，故 的周长 .
题型四：三角形三线问题
1．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)求A；
(2)若O是 的内心， ，且 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) 或 (2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或
（2）因为 ，且 ，所以由余弦定理得 ，所以A为锐角，由
（1）知 . 因为 是 的内心，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，当且仅当
时等号成立，所以 ，
所以 ，所以 面积的最大值为 .1 已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且 ．
(1)求A；
(2)已知 的面积为 ，设M为BC的中点，且 ， 的平分线交BC于N，求线段AN
的长度．
【答案】(1) (2)
（1）由题意知 中， ，
由正弦定理边角关系得：则
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又 ， ，
所以 ，即 ．
（2）如下图所示，在 中， 为中线，∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
题型五 三角函数实际应用问题
1 如图，在 中， ， ， 为 外一点，
．
(1)求角 的大小，并判断 的形状；
(2)求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1) ，等边三角形(2)
【详解】（1）由题知 ,即
解得 或 (舍),所以因为 ,所以 所以 的形状为等边三角形
（2）设 ,在 中由余弦定理得
的面积
的面积
四边形ABCD的面积
当 ,等号成立所以四边形ABCD的面积的最大值为
1 ．如图，某公园拟划出形如平行四边形 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以 和
为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与 相切.
(1)若 ， ， （长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为 ，则 多大时，平行四边形绿地 占地面积最小？
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据余弦定理可得 的大小，再根据正弦定理可得 ，进而求得扇形的半径，从
而得到种植花卉区域的面积
（2）设 ，根据直角三角形中的关系可得 关于 的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式 ，从而根据三角函数的最值求解即可
【详解】（1）由余弦定理， ，故 ，
又由正弦定理有 ，故 ，所以扇形的半径
，故种植花卉区域的面积
（2）设 ，则 ，故 ， ，故平行四边形
绿地 占地面积
，因为 ，故要 面积最小，则当 ，
即 ， 时 面积取得最小值，即 多大时，平行四边形绿地 占
地面积最小
1．如图,在平面四边形 中, , .(1)试用 表示 的长;
(2)求 的最大值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1） （ ）, , ,
，则
在 中,
, ,则 .
（2）在 中,
, 则当 时,取到最大值 .故 的最大值是
2．已知平面四边形 中， ，若 ， 的面积为 ．
(1)求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1) (2)周长的最大值为
【详解】（1）在 中，由题意有 ，解得 ，
又由余弦定理得 ， 所以 ．
（2） ， ，设 ，
四边形 周长设为 ，则 ，由题可知， ，
在 中，由余弦定理得( ，则 所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即四边形 周长的最大值为
3．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 是 与 的等比中项．
(1)求A﹔
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 是 与 的等比中项，所以 ，
由正弦定理及两角和的正弦公式，得 ．
因为 ，所以 ，
即 ．因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．又 ，所以 ，
所以 ，即 ．
（2）由正弦定理，得 ，
所以
．因为 是锐角三角形，所以
所以 ，所以 ，所以 的取值范围是 ．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c， ， ．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）∵ ，
∴由正弦定理可得 ，∴由余弦定理得 ，
又∵ ，∴ ．
（2）在△ABC中，由余弦定理得 ，
即 ．∵ ， ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，当且仅当a＝c＝2时， ，
又∵△ABC面积为 ，
∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时， ．
又∵ 为 的角平分线，∴∴在△ABD中， ，∴在△ABD中，由正弦定理得
．
5．某地区组织的贸易会现场有一个边长为 的正方形展厅 ， 分别在 和 边上，图中
区域为休息区， ， 及 区域为展览区．
(1)若 的周长为 ，求 的大小；
(2)若 ，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积 最大，并求出最大值．
【答案】(1) (2)当 时，展览区的面积 最大，最大值为
【详解】（1）设 ， ，则 ， ，
又 的周长为 ， ，
则 ，整理可得： ，
，
因为
， ．
（2）设 ，则 ， ， ，在 中， 边上的高为 ，
，
则当 ，即 时， 取得最大值 ，
此时 取得最小值 ，
则当 时，展览区的面积 最大，最大值为 .
一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
2．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
3．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求
得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
4．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
5．（2021·全国·统考高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在
边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的
性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似
是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直
观化.
6．（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ，
.．（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
