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5.4 解三角形
考点清单
学生用书P39 知识结构化 考点清单化
考点一 正弦定理、余弦定理 图
２
当Ａ为钝角或直角时 如图 只有一个解.注 ａ ｂ时无解.
１.正弦定理 ② ꎬ ２ꎬ : ≤
已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解.
ａ ｂ ｃ (３) ꎬ ꎬ ꎬ
在 ＡＢＣ中 Ｒ Ｒ为 ＡＢＣ外接圆半径 . 已知两边及其夹角 用余弦定理 必有一解.
△ ꎬ Ａ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ( △ ) (４) ꎬ ꎬ
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ２.三角形面积公式
变形形式 ａ Ｒ Ａ ｂ Ｒ Ｂ ｃ Ｒ Ｃ.
:(１) ＝２ ｓｉｎ ꎬ ＝２ ｓｉｎ ꎬ ＝２ ｓｉｎ 设 ＡＢＣ的三边分别为ａ ｂ ｃ 所对的三个角分别为 Ａ Ｂ Ｃ
ａ ｂ ｃ △ 、 、 ꎬ 、 、 ꎬ
Ａ Ｂ Ｃ . 面积为Ｓ Ｒ为 ＡＢＣ外接圆半径 ｒ为 ＡＢＣ内切圆半径.
(２)ｓｉｎ ＝ Ｒꎬｓｉｎ ＝ Ｒꎬｓｉｎ ＝ Ｒ ꎬ △ ꎬ △
２ ２ ２
ａ ｂ ｃ Ａ Ｂ Ｃ. Ｓ １ ａｈ ｈ为ＢＣ边上的高
(３) ∶ ∶ ＝ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ ∶ ｓｉｎ (１) ＝ ( )ꎻ
ａ ｂ ｃ ａ ２
＋ ＋ Ｒ.
(４) Ａ Ｂ Ｃ＝ Ａ＝２ Ｓ １ ａｂ Ｃ １ ａｃ Ｂ １ ｂｃ Ａ
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ (２) ＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ꎻ
２.余弦定理 ２ ２ ２
Ｓ Ｒ２ Ａ Ｂ Ｃ
ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ (３) ＝２ ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ ꎻ
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ꎬ ａｂｃ
ｂ２ ａ２ ｃ２ ａｃ Ｂ Ｓ
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ꎬ (４) ＝ Ｒꎻ
ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ ４
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ꎻ
ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２ ｂ２ ａ２ ｂ２ ｃ２ Ｓ １ ｒ ａ ｂ ｃ
推论 Ａ ＋ － Ｂ ＋ － Ｃ ＋ － . (５) ＝ ( ＋ ＋ )ꎻ
:ｃｏｓ ＝ ｂｃ ꎬｃｏｓ ＝ ａｃ ꎬｃｏｓ ＝ ａｂ ２
２ ２ ２ ( )
考点二 解三角形及其综合应用 (６) Ｓ ＝ ｐ ( ｐ － ａ )( ｐ － ｂ )( ｐ － ｃ ) ｐ ＝ １ ( ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ) .
２
１.解三角形的类型 ３.重要结论
已知两角一边 用正弦定理 有解时 只有一解. 在 ＡＢＣ中 ａ ｂ ｃ分别为角Ａ Ｂ Ｃ的对边 Ａ Ｂ Ｃ ａ ｂ
(１) ꎬ ꎬ ꎬ (１) △ ꎬ 、 、 、 、 ꎬ > > ⇔ >
已知两边及其中一边的对角 用正弦定理解三角形时 可 ｃ Ａ Ｂ Ｃ.
(２) ꎬ ꎬ > ⇔ｓｉｎ >ｓｉｎ >ｓｉｎ
分为以下几种 在 ＡＢＣ中 已知ａ ｂ和角Ａ 在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ
( △ ꎬ 、 ): (２) △ ꎬｓｉｎ( ＋ )＝ｓｉｎ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝－ｃｏｓ ꎬｔａｎ( ＋
( )
当Ａ为锐角时 如图 解的个数分别为一解 两解 一解.注
① ꎬ １ꎬ ꎬ ꎬ : Ｂ Ｃ Ａ Ｂ π
当ａ ｂ Ａ时无解. )＝－ｔａｎ ＋ ≠ ２ ꎻ
< ｓｉｎ
Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ
ｓｉｎ( ＋ ) ＝ ｓｉｎ ꎬｃｏｓ( ＋ ) ＝ －ｃｏｓ ꎬｔａｎ( ＋ ) ＝
( )
Ｂ Ａ Ｃ π
－ｔａｎ ＋ ≠ ꎻ
２
Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ
ｓｉｎ( ＋ ) ＝ ｓｉｎ ꎬｃｏｓ( ＋ ) ＝ －ｃｏｓ ꎬｔａｎ( ＋ ) ＝
ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ａ ｂ ｓｉｎ Ａ < ａ < ｂ ａ ≥ ｂ Ａ ( Ｂ Ｃ π ) .
－ｔａｎ ＋ ≠
２
图
１ ＡＢＣ为锐角三角形 Ａ Ｂ π Ａ Ｂ.
(３)△ ⇒ ＋ > ⇒ｓｉｎ >ｃｏｓ
２
ＡＢＣ为钝角三角形 Ａ Ｂ为锐角 Ａ Ｂ π Ａ Ｂ.
△ ( 、 )⇒ ＋ < ⇒ｓｉｎ <ｃｏｓ
２
ａ ｂ
>
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
９２
题型方法
学生用书P40 题型经典 方法实用
一、三角形形状的判断 锐角三角形
Ａ.
要判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行思 等腰三角形
ꎬ Ｂ.
考.依据已知条件中的边角关系判断时 主要有以下两种途径 直角三角形
ꎬ : Ｃ.
化角为边 利用正 余弦定理把已知条件转化为只含边的 等腰三角形或直角三角形
(１) : 、 Ｄ.
关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角 解析 解法一 由两直线平行可得ｂ Ｂ ａ Ａ 由正
ꎬ 、 ꎬ : ｃｏｓ － ｃｏｓ ＝０ꎬ
形的形状.
弦定理可知 Ｂ Ｂ Ａ Ａ 即 １ Ａ
化边为角 利用正 余弦定理把已知条件转化为只含内角 ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ０ꎬ ｓｉｎ ２ ＝
(２) : 、 ２
的三角函数间的关系 通过三角恒等变换得出内角的关系 从
ꎬ ꎬ １ Ｂ 又Ａ Ｂ 且Ａ Ｂ 所以 Ａ Ｂ或 Ａ
ｓｉｎ２ ꎬ ꎬ ∈(０ꎬπ)ꎬ ＋ ∈(０ꎬπ)ꎬ ２ ＝２ ２ 而判断出三角形的形状 此时要注意应用三角形内角和定理. ２
ꎬ
例1 在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别是ａ ｂ ｃ 若直线ｂｘ Ｂ 即Ａ Ｂ或Ａ Ｂ π.若Ａ Ｂ 则ａ ｂ Ａ Ｂ 此
△ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＋２ ＝πꎬ ＝ ＋ ＝ ＝ ꎬ ＝ ꎬｃｏｓ ＝ｃｏｓ ꎬ
ｙ Ａ Ｂ 与 ａｘ ｙ Ｂ Ａ 平行 则 ＡＢＣ 一 ２
＋ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝０ ＋ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝０ ꎬ △
定是 时两直线重合 不符合题意 舍去 故Ａ Ｂ π 则 ＡＢＣ是直
( ) ꎬ ꎬ ꎬ ＋ ＝ ꎬ △
２
角三角形 故选 求ｃ
ꎬ Ｃ. (１) ꎻ
解法二 由两直线平行可得 ｂ Ｂ ａ Ａ 即 ｂ Ｂ 设Ｄ为ＢＣ边上一点 且ＡＤ ＡＣ 求 ＡＢＤ的面积.
: ｃｏｓ － ｃｏｓ ＝０ꎬ ｃｏｓ ＝ (２) ꎬ ⊥ ꎬ △
ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２ ｂ２
ａ Ａ 由余弦定理的推论 得 ａ ＋ － ｂ ＋ － 所 解析 由已知可得 Ａ 所以 Ａ ２π.在 ＡＢＣ
ｃｏｓ ꎬ ꎬ ｂｃ ＝ ａｃ ꎬ (１) ｔａｎ ＝－ ３ꎬ ＝ △
２ ２ ３
以ａ２ ｂ２ ｃ２ ａ２ ｂ２ ａ２ ｃ２ ｂ２ 所以ｃ２ ａ２ ｂ２ ａ２ ｂ２ ａ２
( ＋ － )＝ ( ＋ － )ꎬ ( － )＝( ＋ )( 中 由余弦定理得 ｃ２ ｃ ２π 即ｃ２ ｃ .解得ｃ
ｂ２ 所以 ａ２ ｂ２ ａ２ ｂ２ ｃ２ 所以ａ ｂ或ａ２ ｂ２ ｃ２.若ａ ꎬ ２８＝４＋ －４ ｃｏｓ ꎬ ＋２ －２４＝０
－ )ꎬ ( － )( ＋ － )＝０ꎬ ＝ ＋ ＝ ３
＝
ｂ
ꎬ
则两直线重合
ꎬ
不符合题意
ꎬ
故ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２
ꎬ
则
△
ＡＢＣ是直角
＝－６(
舍去
)
或ｃ
＝４
.
三角形 故选
ꎬ Ｃ. 由题设可得 ＣＡＤ π
答案 Ｃ (２) ∠ ＝ ꎬ
２
二、与面积有关的解三角形综合问题
所以 ＢＡＤ ＢＡＣ ＣＡＤ π.
∠ ＝∠ －∠ ＝
此类问题有三类 类型 求三角形面积 一般要先利用正
６
ꎬ １: ꎬ
弦定理 余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等 沟通角
１ ＡＢ ＡＤ π
、 ꎬ ｓｉｎ
与边 类型 已知三角形面积解三角形 常选用已知邻边求出 故 ＡＢＤ面积与 ＡＣＤ面积的比值为２ ６ .
ꎻ ２: ꎬ △ △ ＝１
其夹角 或利用已知角求出角的两边间的关系 类型 已知与 １ ＡＣ ＡＤ
ꎬ ꎻ ３:
三角形面积有关的关系式 常选用关系式中的角作面积公式中 ２
ꎬ
的角 化为三角形的边角关系 再解三角形. 又 ＡＢＣ的面积为 １ ＢＡＣ
ꎬ ꎬ △ ×４×２ｓｉｎ∠ ＝２ ３ꎬ
例2 (２０１７课标 理ꎬ１７ꎬ１２分) ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ２
Ⅲ △ ꎬ ꎬ 所以 ＡＢＤ的面积为 .
分别为ａ ｂ ｃ.已知 Ａ Ａ ａ ｂ . △ ３
ꎬ ꎬ ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝０ꎬ ＝２ ７ꎬ ＝２
第
五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
９３
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 正弦定理、余弦定理 则 ＡＢＣ的面积为 .
学生用书P179 ＝８ꎬ △
１.(２０１３湖南ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)在锐角 ＡＢＣ 中 角 Ａ Ｂ 所对
△ ꎬ ꎬ 答案 ２ ３
的边长分别为ａ ｂ.若 ａ Ｂ ｂ 则角Ａ等于 ３
ꎬ ２ ｓｉｎ ＝ ３ ꎬ ( ) ７.(２０２２全国乙理ꎬ１７ꎬ１２分ꎬ综合性)记 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ
△ ꎬ ꎬ
π π π π 的对边分别为ａ ｂ ｃ 已知 Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ .
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ꎬ ꎬ ꎬ ｓｉｎ ｓｉｎ( － )＝ｓｉｎ ｓｉｎ( － )
１２ ６ ４ ３ 证明 ａ２ ｂ２ ｃ２
答案 Ｄ (１) :２ ＝ ＋ ꎻ
若ａ Ａ ２５ 求 ＡＢＣ的周长.
２.(２０２０课标 理ꎬ７ꎬ５分ꎬ基础性)在 ＡＢＣ中 Ｃ ２ ＡＣ (２) ＝５ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ △
Ⅲ △ ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ ３１
３ 解析 ( )证明:由 Ｃ (Ａ Ｂ) Ｂ (Ｃ Ａ)ꎬ得 Ｃ
ＢＣ 则 Ｂ １ ｓｉｎ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ｓｉｎ － ｓｉｎ
＝４ꎬ ＝３ꎬ ｃｏｓ ＝ ( ) Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｃꎬ
ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ
１ １ １ ２ 即 Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ａꎬ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ
９ ３ ２ ３ 由正弦定理可得ꎬａｃ Ｂ ａｂ Ｃ ｂｃ Ａꎬ
答案 Ａ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝２ ｃｏｓ
由余弦定理的推论可得ꎬ
３.(２０１９课标 文ꎬ１１ꎬ５分ꎬ基础性) ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的
Ⅰ △ ꎬ ꎬ
１ (ａ２ ｃ２ ｂ２) １ (ａ２ ｂ２ ｃ２) ｂ２ ｃ２ ａ２ꎬ即 ａ２ ｂ２ ｃ２.
对边分别为ａ ｂ ｃ.已知ａ Ａ ｂ Ｂ ｃ Ｃ Ａ １ ＋ － ＋ ＋ － ＝ ＋ － ２ ＝ ＋
ꎬ ꎬ ｓｉｎ － ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ꎬｃｏｓ ＝－ ꎬ ２ ２
４
则 ｂ
(
２
)由题意及余弦定理可得ꎬｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
＝２
ｂｃ
ｃｏｓ
Ａ
＝
５０ｂｃ
＝２５
ꎬ即
ｃ ＝ ( ) ｂｃ ꎬ又由( )知ｂ２ ｃ２ ａ２ꎬ所以(ｂ ｃ)２ ｂｃ ３１ ａ２ ꎬ所
２ ＝３１ １ ＋ ＝２ ＋ ＝２ ＋２ ＝８１
以ｂ ｃ ꎬ所以ａ ｂ ｃ ꎬ故 ＡＢＣ的周长为 .
Ａ.６ Ｂ.５ Ｃ.４ Ｄ.３ ＋ ＝９ ＋ ＋ ＝１４ △ １４
答案 Ａ 一题多解 ( )证明:由 Ｃ (Ａ Ｂ) Ｂ (Ｃ Ａ)ꎬ得
１ ｓｉｎ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ｓｉｎ －
Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ
４.(２０１８课标 ꎬ文７ꎬ理６ꎬ５分ꎬ综合性)在 ＡＢＣ中 ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ
Ⅱ △ ꎬｃｏｓ ＝ Ｃ Ａꎬ即 Ｂ Ｃ Ａ Ａ( Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ)
２ ｃｏｓ ｓｉｎ ２ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ
Ａ (Ｂ Ｃ) ２Ａꎬ由正弦定理得 ｂｃ Ａ ａ２ꎬ由余弦定
５ ＢＣ ＡＣ 则ＡＢ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ｃｏｓ ＝
ꎬ ＝１ꎬ ＝５ꎬ ＝ ( ) ｂ２ ｃ２ ａ２
５ 理的推论得 ｂｃ ＋ － ａ２ꎬ ａ２ ｂ２ ｃ２.
２ ｂｃ ＝ ∴２ ＝ ＋
２
Ａ.４
答
２
案 Ａ
Ｂ. ３０ Ｃ. ２９ Ｄ.２ ５ ８.(２０１９课标
Ⅲ
理ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ综合性)
△
ＡＢＣ的内角Ａ
ꎬ
Ｂ
ꎬ
Ｃ的
Ａ Ｃ
５.(２０２１全国乙文ꎬ１５ꎬ５ 分ꎬ基础性)记 ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ 对边分别为ａ ｂ ｃ.已知ａ ＋ ｂ Ａ.
△ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ
的对边分别为ａ ꎬ ｂ ꎬ ｃ ꎬ 面积为 ３ꎬ Ｂ ＝６０ ° ꎬ ａ２ ＋ ｃ２ ＝３ ａｃ ꎬ 则ｂ ＝ 求Ｂ ２
. (１) ꎻ
若 ＡＢＣ 为锐角三角形 且 ｃ 求 ＡＢＣ 面积的取值
(２) △ ꎬ ＝１ꎬ △
答案 范围.
２ ２
６.(２０１８课标 文ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性) ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的 Ａ Ｃ Ⅰ △ ꎬ ꎬ 解析 ( )由题设及正弦定理得 Ａ ＋ Ｂ Ａ.因
对边分别为ａ ｂ ｃ 已知ｂ Ｃ ｃ Ｂ ａ Ｂ Ｃ ｂ２ ｃ２ ａ２ １ ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ
ꎬ ꎬ ꎬ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＝４ ｓｉｎ ｓｉｎ ꎬ ＋ － ２
Ａ Ｃ ６.(２０２１浙江ꎬ１４ꎬ６分ꎬ综合性)在 ＡＢＣ中 Ｂ ° ＡＢ
为 Ａ ꎬ所以 ＋ Ｂ. △ ꎬ∠ ＝６０ ꎬ ＝２ꎬ
ｓｉｎ ≠０ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ
２ Ｍ 是 ＢＣ 的 中 点 ＡＭ 则 ＡＣ
ꎬ ＝ ２ ３ꎬ ＝ ꎬ
Ａ Ｃ Ｂ
由Ａ Ｂ Ｃ °ꎬ可得 ＋ ꎬ ＭＡＣ .
＋ ＋ ＝１８０ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ｃｏｓ∠ ＝
２ ２
Ｂ Ｂ Ｂ 答案 ꎻ２ ３９
故 . ２ １３
ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ １３
２ ２ ２ ７.(２０１５湖北ꎬ１３ꎬ５分ꎬ综合性)如图 一辆汽车在一条水平的
Ｂ Ｂ ꎬ
因为 ꎬ故 １ ꎬ因此Ｂ °. 公路上向正西行驶 到Ａ处时测得公路北侧一山顶Ｄ在西偏
ｃｏｓ ≠０ ｓｉｎ ＝ ＝６０ ꎬ
２ ２ ２ 北 °的方向上 行驶 后到达Ｂ处 测得此山顶在西偏
３０ ꎬ ６００ ｍ ꎬ
( )由题设及( )知 ＡＢＣ的面积Ｓ ３ａ. 北 °的方向上 仰角为 ° 则此山的高度ＣＤ .
２ １ △ △ ＡＢＣ＝ ７５ ꎬ ３０ ꎬ ＝ ｍ
４
ｃ Ａ ( ° Ｃ)
由正弦定理得ａ ｓｉｎ ｓｉｎ １２０ － ３ １ .
＝ Ｃ＝ Ｃ ＝ Ｃ＋
ｓｉｎ ｓｉｎ ２ｔａｎ ２
由于 ＡＢＣ为锐角三角形ꎬ故 ° Ａ °ꎬ ° Ｃ °.
△ ０ < <９０ ０ < <９０
由( )知Ａ Ｃ °ꎬ所以 ° Ｃ °ꎬ故 １ ａ ꎬ
１ ＋ ＝１２０ ３０ < <９０ < <２
２
从而 ３ Ｓ ３.
< △ ＡＢＣ< 答案
８ ２ １００ ６
æ ö ８.(２０２２新高考 ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ综合性)记 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ
因此ꎬ ＡＢＣ面积的取值范围是ç ３ꎬ ３÷. Ⅰ △ ꎬ ꎬ
△ è ø Ａ Ｂ
８ ２ 的对边分别为ａ ｂ ｃ 已知 ｃｏｓ ｓｉｎ２ .
考点二 解三角形及其综合应用 ꎬ ꎬ ꎬ Ａ＝ Ｂ
学生用书P180 １＋ｓｉｎ １＋ｃｏｓ２
１.(２０１４课标 ꎬ４ꎬ５ 分ꎬ基础性)钝角三角形 ＡＢＣ 的面积是 若Ｃ ２π 求Ｂ
Ⅱ (１) ＝ ꎬ ꎻ
３
１ ＡＢ ＢＣ 则ＡＣ
ꎬ ＝１ꎬ ＝ ２ꎬ ＝ ( ) 求 ａ２ ＋ ｂ２ 的最小值.
２
(２) ｃ２
Ａ.５ Ｂ. ５ Ｃ.２ Ｄ.１ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ
答案 Ｂ 解析 ( ) ｃｏｓ ｓｉｎ２ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ꎬ
２.(２０２１ 全 国甲文ꎬ８ꎬ５ 分ꎬ综合性)在 ＡＢＣ 中 已知 Ｂ
１ ∵
１＋ｓｉｎ
Ａ＝
１＋ｃｏｓ２
Ｂ＝
２ｃｏｓ
２Ｂ
△ ꎬ ＝ Ａ Ｂ
° ＡＣ ＡＢ 则ＢＣ 即 ｃｏｓ ｓｉｎ ꎬ
１２０ ꎬ ＝ １９ꎬ ＝２ꎬ ＝ ( ) Ａ＝ Ｂ
１＋ｓｉｎ ｃｏｓ
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂꎬ
Ａ.１ Ｂ. ２ Ｃ. ５ Ｄ.３ ∴ ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ
答案 Ｄ
即 (Ａ Ｂ) Ｂꎬ又Ｃ ２πꎬ
３.(２０２１全国乙理ꎬ９ꎬ５ 分ꎬ应用性)魏晋时期刘徽撰写的 海 ｃｏｓ ＋ ＝ｓｉｎ ＝
« ３
岛算经 是关于测量的数学著作 其中第一题是测量海岛的高.
» ꎬ Ｂ (Ａ Ｂ) Ｃ ２π １ ꎬ
如图 点Ｅ Ｈ Ｇ在水平线ＡＣ上 ＤＥ和ＦＧ是两个垂直于水平 ∴ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ ＝－ｃｏｓ ＝－ｃｏｓ ＝
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ３ ２
面且等高的测量标杆的高度 称为 表高 ＥＧ 称为 表距
ꎬ “ ”ꎬ “ ”ꎬ Ｂ πꎬ Ｂ π.
ＧＣ和ＥＨ 都称为 表目距 ＧＣ 与 ＥＨ 的差称为 表目距的 ∵０< < ∴ ＝
“ ”ꎬ “ ３ ６
差 则海岛的高ＡＢ ( )由( )知ꎬ Ｂ (Ａ Ｂ) Ｃꎬ
”ꎬ ＝ ( ) ２ １ ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＋ ＝－ｃｏｓ
( )
Ｂ 恒成立ꎬ Ｃ πꎬ ꎬ
∵ ｓｉｎ >０ ∴ ∈ π
２
( )
Ｃ Ｃ π ꎬ
∵ －ｃｏｓ ＝ｓｉｎ －
２
Ｃ π Ｂ或Ｂ Ｃ π (不合题意ꎬ舍去)ꎬ Ａ π Ｂꎬ
表高 表距 表高 表距 ∴ － ＝ ＋ － ＝π ∴ ＝ －２
× 表高 × 表高 ２ ２ ２
Ａ.表目距的差＋ Ｂ.表目距的差－ ( )
Ａ ꎬ Ｂ ꎬπ ꎬ
表高 表距 表高 表距 ∵ >０ ∴ ∈ ０
× 表距 × 表距 ４
Ｃ.表目距的差＋ Ｄ.表目距的差－ ａ２ ｂ２ ２Ａ ２Ｂ ２ Ｂ ２Ｂ
＋ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ２ ＋ｓｉｎ
年
高
答案 Ａ ∴ ｃ２ ＝
ｓｉｎ
２Ｃ ＝
ｃｏｓ
２Ｂ
考 ４.(２０１７课标 Ⅰ 文ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性) △ ＡＢＣ的内角Ａ ꎬ Ｂ ꎬ Ｃ的 ( ２ｃｏｓ ２Ｂ －１ )２ ＋ ( １－ｃｏｓ ２Ｂ) ꎬ
年
对边分别为ａ
ꎬ
ｂ
ꎬ
ｃ.已知
ｓｉｎ
Ｂ
＋ｓｉｎ
Ａ
(ｓｉｎ
Ｃ
－ｃｏｓ
Ｃ
)＝０ꎬ
ａ
＝２ꎬ
ｃ
＝
＝
ｃｏｓ
２Ｂ
则Ｃ ( )
模 ２ꎬ ＝ ( ) 令 ２Ｂ ｔꎬｔ １ ꎬ ꎬ
拟 ｃｏｓ ＝ ∈ １
π π π π ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ａ２ ｂ２ ( ｔ )２ ( ｔ)
１２ ６ ４ ３ ＋ ２ －１ ＋ １－ ｔ ２ ꎬ
答案 Ｂ ∴ ｃ２ ＝ ｔ ＝４ ＋ ｔ －５≥４ ２－５
５.(２０２２全国甲ꎬ理１６ꎬ文１６ꎬ５分ꎬ综合性)已知 ＡＢＣ中 点
︵ △ ꎬ 当且仅当 ｔ ２ ꎬ即ｔ ２时ꎬ取“ ”.
教 ＡＣ ４ ＝ ｔ ＝ ＝
Ｄ在边ＢＣ上 ＡＤＢ ° ＡＤ ＣＤ ＢＤ.当 取得最小 ２
师 ꎬ∠ ＝１２０ ꎬ ＝２ꎬ ＝２ ＡＢ ａ２ ｂ２
用 ＋ 的最小值为 .
书 值时 ꎬ ＢＤ ＝ . ∴ ｃ２ ４ ２－５
︶ 答案 ９.(２０２２新高考 ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ基础性)记 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ
３－１ Ⅱ △ ꎬ ꎬ
９４
的对边分别为ａ ｂ ｃ 分别以ａ ｂ ｃ为边长的三个正三角形的 由 ｃ Ａ ꎬ所以ｃ ｂ ꎬａ .
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ② ｓｉｎ ＝３ ＝ ＝２ ３ ＝６
因此ꎬ选条件 时问题中的三角形存在ꎬ此时ｃ .
面积依次为Ｓ Ｓ Ｓ .已知Ｓ Ｓ Ｓ ３ Ｂ １ . ② ＝２ ３
１ꎬ ２ꎬ ３ １－ ２＋ ３＝ ２ ꎬｓｉｎ ＝ ３ 方案三:选条件 .
③
求 ＡＢＣ的面积
(１) △ ꎻ ａ２ ｂ２ ｃ２
由Ｃ π和余弦定理得 ＋ － ３.
＝ ａｂ ＝
若 Ａ Ｃ ２ 求ｂ. ６ ２ ２
(２) ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ꎬ
３ 由 Ａ Ｂ及正弦定理得ａ ｂ.
ｓｉｎ ＝ ３ｓｉｎ ＝ ３
解析 (
１
)由题意得Ｓ
１＝
３ａ２ꎬＳ
２＝
３ｂ２ꎬＳ
３＝
３ｃ２ꎬ
于是３
ｂ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
３ꎬ由此可得ｂ ｃ.由 ｃ ｂꎬ与ｂ ｃ矛盾.
４ ４ ４
２ ３
ｂ２ ＝
２
＝ ③ ＝ ３ ＝
Ｓ Ｓ Ｓ ３(ａ２ ｂ２ ｃ２) ３ꎬ即ａ２ ｂ２ ｃ２ ꎬ 因此ꎬ选条件 时问题中的三角形不存在.
∴ １－ ２＋ ３＝ － ＋ ＝ － ＋ ＝２ ③
４ ２ １１.(２０２０课标 文ꎬ１７ꎬ１２ 分ꎬ综合性) ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ
由
Ｂ
ａ２
＋
ｃ２
－
ｂ２
得
ａ
２
ｃ２
ｂ２
ａｃ
Ｂꎬ
Ⅱ
( )
△ ꎬ ꎬ
ｃｏｓ ＝ ａｃ ＋ － ＝２ ｃｏｓ 的对边分别为ａ ｂ ｃ 已知 ２ π Ａ Ａ ５ .
２ ꎬ ꎬ ꎬ ｃｏｓ ＋ ＋ｃｏｓ ＝
故 ａｃ Ｂ ꎬ ａｃ Ｂ ꎬ ２ ４
２ ｃｏｓ ＝２ ∴ ｃｏｓ ＝１ 求Ａ
(１) ꎻ
又 Ｂ １ ꎬ Ｂ ２ ２或 Ｂ ２ ２(舍)ꎬ
∵ ｓｉｎ ＝ ∴ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＝－ 若ｂ ｃ ３ａ 证明 ＡＢＣ是直角三角形.
３ ３ ３ (２) － ＝ ꎬ :△
３
ａｃ ３ ２ꎬ Ｓ １ ａｃ Ｂ １ ３ ２ １ ２.
∴ ＝ ４ ∴ △ ＡＢＣ＝ ２ ｓｉｎ ＝ ２ × ４ × ３ ＝ ８ 解析 ( １ )由已知得 ｓｉｎ ２Ａ ＋ｃｏｓ Ａ ＝ ５ ꎬ即 ｃｏｓ ２Ａ －ｃｏｓ Ａ ＋ １ ＝
( )由正弦定理 ａ ｂ ｃ 得 ｂ２ ａｃ ꎬ ( ) ２ ４ ４
２
ｓｉｎ
Ａ＝
ｓｉｎ
Ｂ＝
ｓｉｎ
Ｃ
ｓｉｎ
２Ｂ＝
ｓｉｎ
Ａ
ｓｉｎ
Ｃ
０
.所以
ｃｏｓ
Ａ
－
１
＝０
ꎬ
ｃｏｓ
Ａ
＝
１ .由于
０<
Ａ
<π
ꎬ故Ａ
＝
π.
２ ２ ３
又知ａｃ ＝ ３ ２ꎬ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ꎬ ( )证明:由正弦定理及已知条件可得 Ｂ Ｃ ３ Ａ.由
４ ３ ２ ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ
３
ｂ２
９ ꎬ
ｂ
３ ꎬ ( )
∴
ｓｉｎ
２Ｂ＝
４
∴
ｓｉｎ
Ｂ＝
２
(
１
)知Ｂ
＋
Ｃ
＝
２πꎬ所以
ｓｉｎ
Ｂ
－ｓｉｎ
２π
－
Ｂ
＝
３
ｓｉｎ
π.即 １
ｓｉｎ
Ｂ
３ ３ ３ ３ ２
ｂ ３ Ｂ ３ １ １ . ( )
∴ ＝ ｓｉｎ ＝ × ＝ ３ Ｂ １ ꎬ Ｂ π １ .由于 Ｂ ２πꎬ故Ｂ π.从而
２ ２ ３ ２ － ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ － ＝ ０< < ＝
１０.(２０２０新高考 ꎬ１７ꎬ１０分ꎬ综合性)在 ａｃ ｃ Ａ ２ ２ ３ ２ ３ ２
Ⅰ ① ＝ ３ꎬ② ｓｉｎ ＝ ＡＢＣ是直角三角形.
△
３ꎬ③ ｃ ＝ ３ ｂ这三个条件中任选一个 ꎬ 补充在下面问题中 ꎬ 若问 １２.(２０２１新高考 ꎬ１８ꎬ综合性)在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的
Ⅱ △ ꎬ ꎬ ꎬ
题中的三角形存在 求ｃ的值 若问题中的三角形不存在 说明
边为ａ ｂ ｃ 且满足ｂ ａ ｃ ａ .
ꎬ ꎻ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ＋１ꎬ ＝ ＋２
理由.
若 Ｃ Ａ 求 ＡＢＣ的面积
(１) ２ｓｉｎ ＝３ｓｉｎ ꎬ △ ꎻ
问题 是否存在 ＡＢＣ 它的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 且 是否存在正整数ａ 使得 ＡＢＣ为钝角三角形 若存在 求
: △ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
(２) ꎬ △ ? ꎬ
ａ 若不存在 说明理由.
Ａ Ｂ Ｃ π
ｓｉｎ ＝ ３ｓｉｎ ꎬ ＝ ꎬ ? ꎻ ꎬ
６ 解析 ( ) Ｃ Ａ ｃ ａꎬ ｃ ａ ꎬ (ａ )
注:如果选择多个条件分别解答ꎬ按第一个解答计分. １ ２ｓｉｎ ＝３ｓｉｎ ⇒２ ＝３ ∵ ＝ ＋２ ∴ ２ ＋２ ＝
ｂ２ ｃ２ ａ２
解析 方案一:选条件 . ３ ａꎬ ∴ ａ ＝４ ꎬ ∴ ｂ ＝ ａ ＋１＝５ ꎬｃ ＝ ａ ＋２＝６ ꎬ ∴ ｃｏｓ Ａ ＝ ＋ ｂｃ － ＝
①
２
ａ２ ｂ２ ｃ２
由Ｃ ＝ π ６ 和余弦定理得 ＋ ２ ａｂ － ＝ ２ ３. ５ ２ ２ ＋ × ６ ５ ２ × － ６ ４ ２ ＝ ４ ３ ꎬ ∴ ｓｉｎ Ａ ＝ １－ｃｏｓ ２Ａ ＝ ４ ７ꎬ ∴ Ｓ △ ＡＢＣ＝ ２ １ ｂｃ ｓｉｎ Ａ ＝
由 Ａ Ｂ及正弦定理得ａ ｂ.
ｓｉｎ ＝ ３ｓｉｎ ＝ ３ １ ７ １５ ７.
ｂ２ ｂ２ ｃ２ ×５×６× ＝
于是３ ＋ － ３ꎬ由此可得ｂ ｃ. ２ ４ ４
２ ３
ｂ２ ＝
２
＝ (
２
)由于 ｃ
>
ｂ
>
ａꎬ故要使
△
ＡＢＣ 为钝角三角形ꎬ只能是 Ｃ 为
由 ａｃ ꎬ解得ａ ꎬｂ ｃ .
钝角.
① ＝ ３ ＝ ３ ＝ ＝１
因此ꎬ选条件
①
时问题中的三角形存在ꎬ此时ｃ
＝１
.
ｃｏｓ
Ｃ
＝
ａ２ ＋ ｂ
ａ
２
ｂ
－ ｃ２
<０⇒
ａ２
＋
ｂ２
<
ｃ２
⇒
ａ２
＋
(ａ
＋１
)２
<
(ａ
＋２
)２
⇒
ａ２
－２
ａ
－
方案二:选条件 . ２
② ａ ꎬ
ａ２ ｂ２ ｃ２ ３<０⇒－１< <３
由Ｃ π和余弦定理得 ＋ － ３. 又ａ ꎬ ａ ( ꎬ ).
＝ ａｂ ＝ >０ ∴ ∈ ０ ３
６ ２ ２ 考虑构成 ＡＢＣ的条件ꎬ可得ａ ｂ ｃ ａ (ａ ) ａ ａ .
由 Ａ Ｂ及正弦定理得ａ ｂ. △ ＋ > ⇒ ＋ ＋１ > ＋２⇒ >１
ｓｉｎ ＝ ３ｓｉｎ ＝ ３ 综上ꎬａ ( ꎬ ).又 ａ 为正整数ꎬ ａ ꎬ 存在 ａ ꎬ使得
∈ １ ３ ∴ ＝２ ∴ ＝２
于是３ ｂ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ３ꎬ由此可得ｂ ｃꎬＢ Ｃ πꎬＡ ２π. ＡＢＣ为钝角三角形. 第
２ ３
ｂ２ ＝
２
＝ ＝ ＝
６
＝
３
△ 五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
９５
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P182
考点一 正弦定理、余弦定理 ａ２ ｂ２ ｃ２
求 Ｂ ＋ － 的取值范围.
(２) ２ｓｉｎ ＋ ａｂ
１.(２０２２福建龙岩一模ꎬ６)某学生在 捡起树叶树枝 净化校园
“ ꎬ
环境 的志愿活动中拾到了三支小树枝 视为三条线段 想要 解析 ( )由( ｂ ｃ) Ａ ａ Ｃ 及正弦定理可得
” ( )ꎬ １ ２ － ３ ｃｏｓ － ３ ｃｏｓ ＝０
将它们作为三角形的三条高线来制作一个三角形.经测量 其 Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ａ ꎬ
ꎬ ２ｓｉｎ ｃｏｓ － ３ｓｉｎ ｃｏｓ － ３ｃｏｓ ｓｉｎ ＝０
长度分别为 则 整理得 Ｂ Ａ (Ａ Ｃ) ꎬ
３ ｃｍꎬ４ ｃｍꎬ６ ｃｍꎬ ( ) ２ｓｉｎ ｃｏｓ － ３ｓｉｎ ＋ ＝０
能作出两个锐角三角形
Ａ. 即 Ｂ Ａ Ｂ .
能作出一个直角三角形 ２ｓｉｎ ｃｏｓ － ３ｓｉｎ ＝０
Ｂ.
能作出一个钝角三角形 又 Ｂ ꎬ所以 Ａ ３ꎬ又Ａ ( ꎬ )ꎬ故Ａ π.
Ｃ. ｓｉｎ >０ ｃｏｓ ＝ ∈ ０ π ＝
不能作出这样的三角形 ２ ６
Ｄ. ( )由余弦定理的推论及三角形内角和定理知 Ｂ
答案 Ｃ ２ ２ｓｉｎ ＋
ａ２ ｂ２ ｃ２ ( )
２.(２０２２ 湖南三湘名校联盟联考ꎬ７)勾股 ＋ － Ｂ Ｃ Ｂ π Ｂ
ａｂ ＝２ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ －２ｃｏｓ ＋
定理被称为几何学的基石 相传在商代由 ６
( )
ꎬ
商高发现 故又称商高定理.汉代数学家赵 Ｂ Ｂ Ｂ π .
ꎬ ＝３ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝２ ３ｓｉｎ －
６
爽利用弦图 又称赵爽弦图 它由四个全
( ꎬ 因为 Ｂ ５πꎬ所以 π Ｂ π ２πꎬ
等的直角三角形和一个小正方形组成 如 ０< < － < － <
ꎬ ６ ６ ６ ３
图 证明了商高结论的正确性.现将弦图 ( )
１) 所以 １ Ｂ π ꎬ
中的四条股延长相同的长度 如将 ＣＡ延 图 － <ｓｉｎ － ≤１
( １ ２ ６
长至Ｄ
)
得到图
２
.在图
２
中
ꎬ
若ＡＤ
＝５ꎬ
ＢＤ
即 Ｂ
ａ２
＋
ｂ２
－
ｃ２
的取值范围为( ꎬ ].
Ｄ Ｅ两点间的距离为 则弦图中小正方形的边 ２ｓｉｎ ＋ ａｂ － ３ ２ ３
＝３ １０ꎬ ꎬ １４５ꎬ
长为 考点二 解三角形及其综合应用
( )
１.(２０２２陕西榆林三模ꎬ７)已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分
△ ꎬ ꎬ
别为ａ ｂ ｃ 若 ＡＢＣ的面积为３ １５ ｂ ｃ Ａ １ 则ａ
ꎬ ꎬ ꎬ △ ꎬ － ＝１ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ ＝
４ ４
( )
Ａ.１０ Ｂ.３ Ｃ. １０ Ｄ. ３
答案 Ｃ
２.(２０２２江苏扬州高邮中学３月学情检测ꎬ７)已知 ＡＢＣ中
△ ꎬ
角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ.已知ｂ Ｃ π ＡＢＣ的
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＝１ꎬ ＝ ꎬ△
４
面积Ｓ 则 ＡＢＣ的外接圆的直径为
＝２ꎬ △ ( )
图 Ａ.４ ５ Ｂ.５
２
Ｃ.５ ２ Ｄ.６ ２
答案 Ｃ
３ ２ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ.１ Ｄ. ２ ３.(２０２１广东珠海一模ꎬ１５)在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边
２ ３ △ ꎬ ꎬ ꎬ
答案 Ｃ 分别为ａ ｂ ｃ 且满足 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ
ꎬ ꎬ ꎬ ２ｃｏｓ ｃｏｓ (ｔａｎ ＋ｔａｎ )＝ｃｏｓ ｔａｎ ＋
３.(２０２２江苏泰州兴化４月模拟ꎬ１４)已知直线ｙ ＝ ｘ ＋１ 与圆Ｃ : ｃｏｓ Ｃ ｔａｎ Ｃ ꎬ 则 ｃｏｓ Ａ的最小值是 .
年 ｘ ２ ｙ２ 交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＣＢ的值是 .
高 ( －１) ＋ ＝９ ꎬ ꎬ ｃｏｓ∠ 答案 １
考 答案 ５ ２
－ ９ ４.(２０２２ 八省八校联考二ꎬ１７)如图 在直角 ＡＢＣ 中 ＡＣＢ
年 ４.(２０２２湖北九师联盟３ 月质检ꎬ１５)在 △ ＡＢＣ中 ꎬ Ｄ为ＢＣ的 ꎬ ｃ ａ △ ꎬ∠
模 为直角 ＡＢ ｃ ＡＣ ｂ ＢＣ ａ 且 Ｂ － .
中点 若ＡＢ ＡＣ ＡＤ 则ＢＣ . ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ｃｏｓ ＝ ａ
拟 ꎬ ＝４ꎬ ＝２ꎬ ＝２ ２ꎬ ＝ ２
答案 求Ｂ的大小
２ ２ (１) ꎻ
５.(２０２１重庆一模ꎬ１５)已知 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为 若ｃ Ｄ为ＡＢ边上一点 且ＡＤ 求 ＢＣＤ.
△ ꎬ ꎬ ꎬ (２) ＝３ꎬ ꎬ ＝１ꎬ ｓｉｎ∠
ａ ｂ ｃ ｂ ｃ Ａ Ｂ 则ａ .
︵ ꎬ ꎬ ꎬ ＝２ꎬ ＝３ꎬ ＝２ ꎬ ＝
教 答案
１０
师 ６.(２０２２长沙雅礼中学第七次月考ꎬ１７)在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ
用 △ ꎬ ꎬ ꎬ
书 所对的边分别为ａ ｂ ｃ 且满足 ｂ ｃ Ａ ａ Ｃ .
ꎬ ꎬ ꎬ (２ － ３ )ｃｏｓ － ３ ｃｏｓ ＝０
︶ 求角Ａ的大小
(１) ꎻ
９６
( )依题意ꎬ知ｃ ＡＢ ꎬＢＤ ＡＢ ＡＤ ꎬＢＣ ＡＢ Ｂ ３ .
２ ＝ ＝３ ＝ － ＝２ ＝ ｃｏｓ ＝
２
在 ＢＣＤ中ꎬ由余弦定理得ＣＤ２ ＢＣ２ ＢＤ２ ＢＣＢＤ Ｂ
△ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝
９ ３ １ １３ꎬ ＣＤ １３.
＋４－２× ×２× ＝ ∴ ＝
４ ２ ２ ４ ２
ＣＤ ＢＤ
在 ＢＣＤ中ꎬ由正弦定理得 ꎬ
△ Ｂ＝ ＢＣＤ
ｓｉｎ ｓｉｎ∠
ＢＣ ａ ｃ ａ ３
解析 (
１
)
∵ ∠
ＡＣＢ
＝
πꎬ
∴ ｃｏｓ
Ｂ
＝ＡＢ＝ ｃ ＝
－
ａ
ꎬ整理得
２
ａ２
ＢＣＤ
ＢＤ
ｓｉｎ
Ｂ ２×
２ ２ ３９.
２ ２ ∴ ｓｉｎ∠ ＝ ＣＤ ＝ ＝
ｃ２ ａｃ ꎬ即( ａ ｃ)(ａ ｃ) . １３ １３
－ ＋ ＝０ ２ － ＋ ＝０
２
ａ ｃ ꎬ ａ ｃ ꎬ即 ａ ｃ. Ｂ １ ꎬ
∵ ＋ >０ ∴２ － ＝０ ２ ＝ ∴ ｃｏｓ ＝
２
Ｂ为 ＡＢＣ的内角ꎬ Ｂ ( ꎬ )ꎬ Ｂ π.
∵ △ ∴ ∈ ０ π ∴ ＝
３
第
五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
９７
B组 综合应用题组 学生用书P183
55分钟 60分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
若ｂ 则Ａ的最大值为π
１.(２０２２哈尔滨三中二模ꎬ１２)在锐角 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对 Ｃ. ＝２ꎬ
△ ꎬ ꎬ ꎬ ３
Ｓ 若ｂ 则 ＡＢＣ周长的取值范围为
边分别为ａ ｂ ｃ ＡＢＣ 的面积为 Ｓ 若 Ａ Ｃ ２ 则 Ｄ. ＝２ꎬ △ (４ꎬ１２)
ꎬ ꎬ ꎬ△ ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝ ｂ２ ａ２ꎬ 答案 ＡＣＤ
－
４.(２０２２新高考信息检测原创卷(七)ꎬ１２)在 ＡＢＣ 中 角 Ａ
Ａ １ 的取值范围为 △ ꎬ ꎬ
ｔａｎ ＋ ３ｔａｎ( Ｂ － Ａ ) ( ) Ｂ ꎬ Ｃ的对边分别为ａ ꎬ ｂ ꎬ ｃ ꎬ 且ａ ＝２ꎬ ａ (ｃｏｓ Ｃ －２ｃｏｓ Ｂ )＝ｃｏｓ Ａ ( ａｂ
é êê２ ３ ö ÷ é êê２ ３ ４ ù úú － ｃ )ꎬ 则以下四个结论中正确的是 ( )
Ａ.ë ꎬ＋∞ø Ｂ.ë ꎬ û ｂ ｃ
３ ３ ３ Ａ. ＝２
æ ö é ö ( ]
Ｃ.è ç２ ３ ꎬ ４ ø ÷ Ｄ.ë êê２ ３ ꎬ ４ ø ÷ Ｂ.△ ＡＢＣ面积的取值范围为 ０ꎬ ４
３ ３ ３ ３ ３
答案 Ｃ ( ]
２.(２０２２ 安徽 黄山二模ꎬ５)赵爽是我国古代著名的数学家 大 Ｃ.
已知Ｍ是ＢＣ边的中点
ꎬ
则Ｍ→Ａ
Ｍ→Ｂ的取值范围为 １
ꎬ３
ꎬ ３
约在公元 年 赵爽为 周髀算经 一书作序时 介绍了 勾
２２２ ꎬ « » ꎬ “ 当Ａ Ｃ时 ＡＢＣ的周长为
股圆方图 亦称 赵爽弦图 由以弦为边长得到的正方形组 Ｄ. ＝２ ꎬ△ ２＋２ ３
”ꎬ “ ”( 答案 ＡＢＤ
成 如图 类比 赵爽弦图 构造如图 所示的图形 它
)ꎬ (１)ꎬ “ ”ꎬ (２) ꎬ
是由 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一 三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
３
个大的等边三角形 设ＤＦ ＡＦ 则图中阴影部分与空白部分 ５.(２０２２重庆二模ꎬ１５)设 ａ ｂ ｃ分别为 ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ
ꎬ ＝３ ꎬ ꎬ ꎬ △ ꎬ ꎬ
的面积之比为 ( )
( ) 的对边 已知 Ｃ ａ Ｃ ｃ Ａ ｂ 则 π Ｃ 的
ꎬ ３ｃｏｓ ( ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ )＋ ＝０ꎬ ｓｉｎ －２
２
值为 .
答案 ７
－
９
６.(２０２２河北衡水中学六调ꎬ１６)在锐角三角形 ＡＢＣ 中 内角
ꎬ
( )
Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 若ｂ２ ｃ２ ｂｃ Ａ π 则 Ａ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＋ ＝４ ｓｉｎ ＋ ꎬ ｔａｎ
６
Ｂ Ｃ的最小值是 .
＋ｔａｎ ＋ｔａｎ
答案
图 图 ８ ３
(１) (２) 四、解答题(共３０分)
７ ３ ５ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ７.(２０２２广东汕头一模ꎬ１７)在 Ｃ Ｂ ＡＢＣ的面积为 ７
９ ４ ６ ７ ① ＝２ ꎻ②△ ꎻ
答案 Ｂ ４
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分) Ｂ Ｃ ３这三个条件中任选一个 补充在下面问题中
③ｓｉｎ( ＋ )＝ ꎬ ꎬ
３.(２０２２广东汕头第一中学４月联考ꎬ１１)在 ＡＢＣ中 内角Ａ ３
△ ꎬ ꎬ 若问题中的三角形存在 求ｃ的值 若问题中的三角形不存在
Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 且 Ｂ Ｃ Ａ 则下列说法 ꎬ ꎻ ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ꎬ 说明理由.
正确的是
( ) 问题 是否存在 ＡＢＣ ａ ｂ ｃ分别为内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ａ
: △ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＝１ꎬ
若Ａ π ｃ 则ａ
Ａ. ＝ ꎬ ＝１ꎬ ＝１ ｂ
３ ＝２ꎬ ?
注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分.
若Ａ π ｃ 则 ＡＢＣ的面积为 : ꎬ
Ｂ. ＝ ꎬ ＝１ꎬ △ π 解析 若选 ꎬ则Ａ Ｂꎬ且Ａ Ｂ Ｃ.
３ ① ＝π－３ < <
ａ ｂ ｃ ＡＤＣ
由 ꎬ得 １ ２ ꎬ即 １ ２ ꎬ所以 则 ＡＣＤ ｓｉｎ∠ ꎬ
Ａ＝ Ｂ ( Ｂ)＝ Ｂ Ｂ＝ Ｂ ｓｉｎ∠ ＝ ｂ
ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ π－３ ｓｉｎ ｓｉｎ３ ｓｉｎ ３
Ｂ Ｂꎬ化简得 ( Ｂ ３Ｂ) Ｂꎬ得 ２Ｂ ５ ꎬ ２ ｃ
２ｓｉｎ３ ＝ｓｉｎ ２ ３ｓｉｎ －４ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ｂ
８ 在 ＢＣＤ中ꎬ由正弦定理可知 ３ ２ ꎬ
△ ＢＣＤ＝ ＢＤＣ
因为Ｂ ( ꎬ )ꎬ所以 Ｂ １０ꎬ因为Ａ Ｂ Ｃꎬ所以角Ｂ为 ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
∈ ０ π ｓｉｎ ＝ < < ｃ ＢＤＣ
４ 则 ＢＣＤ ｓｉｎ∠ ꎬ
ｓｉｎ∠ ＝ ｂ
３
锐角ꎬ所以 Ｂ ２Ｂ ６ꎬ所以 Ｃ Ｂ 又 ＢＤＣ ＡＤＣꎬ故 ＢＣＤ ＡＣＤꎬ
ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ２ ＝ ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ∠
４ 即 ＢＣＤ ＡＣＤ或 ＢＣＤ ＡＣＤꎬ又 ＡＣＢ ＢＣＤ
∠ ＝∠ ∠ ＝π－ｓｉｎ∠ ∠ ＝∠ ＋
Ｂ Ｂ １０ ６ １５ꎬ ＡＣＤ为三角形ＡＢＣ的内角ꎬ所以 ＢＣＤ ＡＣＤꎬ故得证.
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２× × ＝ ∠ ∠ ＝∠
４ ４ ４ ９.(２０２２南京师大附中适应性阶段考ꎬ１９)已知在 ＡＢＣ中 ｃ
△ ꎬ ＝
１５
ｂ Ｃ ２× ｂ Ｂ Ｃ ２π.
所以由正弦定理得ｃ ｓｉｎ ４ . ２ ｃｏｓ ꎬ ＝
＝ Ｂ ＝ ＝ ６ ３
ｓｉｎ １０ 求Ｂ的大小
(１) ꎻ
４ 在下列三个条件中选择一个作为已知 使 ＡＢＣ存在且唯
(２) ꎬ △
若选 ꎬ则由 ＡＢＣ的面积为 ７ꎬａ ꎬｂ ꎬ得 １ ａｂ Ｃ Ｃ 一确定 并求出ＢＣ边上的中线的长度. ｃ ｂ 周长为
② △ ＝１ ＝２ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ꎬ ① ＝ ２ ꎻ② ４＋
４ ２
面积为Ｓ ３ ３.
７ꎬ所以 Ｃ ２Ｃ ３ . ２ ３ꎻ③ △ ＡＢＣ＝
＝ ｃｏｓ ＝± １－ｓｉｎ ＝± ４
４ ４ 解析 ( ) ｃ ｂ Ｂꎬ 由正弦定理可得 Ｃ Ｂ
１ ∵ ＝２ ｃｏｓ ∴ ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ
当Ｃ为锐角时ꎬ Ｃ ３ ꎬ由余弦定理得ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ
ｃｏｓ ＝ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝ Ｂꎬ Ｂ ２π ３ꎬ Ｃ ２πꎬ且Ｂ为 ＡＢＣ的内角ꎬ
４ ｃｏｓ ∴ ｓｉｎ２ ＝ｓｉｎ ＝ ∵ ＝ △
３ ２ ３
３ ꎬ所以ｃ ꎻ当Ｃ为钝角时ꎬ Ｃ ３ ꎬ ( ) ( )
１＋４－２×１×２× ＝２ ＝ ２ ｃｏｓ ＝－ Ｂ ꎬπ ꎬ Ｂ ꎬ２π ꎬ Ｂ πꎬ解得Ｂ π.
４ ４ ∴ ∈ ０ ∴２ ∈ ０ ∴２ ＝ ＝
３ ３ ３ ６
由余弦定理得ｃ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｃ ３ ꎬ所以ｃ
＝ ＋ －２ ｃｏｓ ＝１＋４＋２×１×２× ＝８
４ ３
ｃ Ｃ
. ( )若选择 :由正弦定理结合( )可得 ｓｉｎ ２ ꎬ
＝２ ２ ２ ① １ ｂ ＝ Ｂ＝ ＝ ３
综上ｃ 或ｃ . ｓｉｎ １
＝ ２ ＝２ ２
２
若选 ꎬ由 (Ｂ Ｃ) ３ꎬ得 Ａ ３ꎬ 与ｃ ｂ矛盾ꎬ故这样的 ＡＢＣ不存在.
③ ｓｉｎ ＋ ＝ ｓｉｎ ＝ ＝ ２ △
３ ３
若选择 :由( )得Ａ πꎬ设 ＡＢＣ外接圆的半径为Ｒꎬ则由
② １ ＝ △
３ ６
ａ ｂ ｂ Ａ ２×
由 Ａ＝ Ｂ ꎬ得 ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉ ａ ｎ ＝ ３ ＝ ２ ３ >１ ꎬ所以三角形不 正弦定理可得ａ ｂ Ｒ π Ｒꎬｃ Ｒ ２π Ｒꎬ则 ＡＢＣ
ｓｉｎ ｓｉｎ １ ３ ＝ ＝２ ｓｉｎ ＝ ＝２ ｓｉｎ ＝ ３ △
存在. ６ ３
的周长为ａ ｂ ｃ Ｒ Ｒ ꎬ解得 Ｒ ꎬ则 ａ ꎬｃ
８.(２０２２江苏泰州二调ꎬ１７)在 ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ所对的边 ＋ ＋ ＝２ ＋ ３ ＝４＋２ ３ ＝２ ＝２ ＝
△ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ满足题意.
分别为ａ ｂ ｃ 且 Ａ Ｂ. ２ ３
ꎬ ꎬ ꎬ ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ 由余 弦 定 理 可 得 ＢＣ 边 上 的 中 线 的 长 度 为
若ｂ ｃ 求Ｃ
(１) ＝２ꎬ ＝２ ７ꎬ ꎻ
( )２ ２ π .
点Ｄ在边ＡＢ上 且ＡＤ １ ＡＢ 证明 ＣＤ平分 ＡＣＢ. ２ ３ ＋１ －２×２ ３×１×ｃｏｓ ＝ ７
(２) ꎬ ＝ ꎬ : ∠ ６
３
ａ ｂ 若选择 :由( )可得 Ａ πꎬ故 ａ ｂꎬ则 Ｓ １ ａｂ Ｃ
解析 ( )由 ꎬ Ａ Ｂꎬ得ａ ｂ ꎬ ③ １ ＝ ＝ △ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ ＝
１ Ａ＝ Ｂ ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ＝２ ＝４ ６ ２
ｓｉｎ ｓｉｎ
由余弦定理的推论可知 ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ ａ ２ ｂ － ｃ２ ＝－ １ ꎬ ２ １ ａ２ × ２ ３ ＝ ３ ４ ３ꎬ解得ａ ＝ ３ (负值舍去)ꎬ满足题意ꎬ则由余弦
２ ２
定理可得ＢＣ边上的中线的长度为
又Ｃ为 ＡＢＣ的内角ꎬ所以Ｃ ( ꎬ )ꎬ则Ｃ ２π.
△ ∈ ０ π ＝ ３ ｂ２ ( ａ ) ２ ｂ ａ ２π ３ ３ ２１.
＋ －２× × ×ｃｏｓ ＝ ３＋ ＋ ３× ＝
年 １ ｃ ２ ２ ３ ４ ２ ２
ｂ
高 ( )证明:在 ＡＣＤ中ꎬ由正弦定理可知 ３ ꎬ
考 ２ △ ＡＣＤ＝ ＡＤＣ
ｓｉｎ∠ ｓｉｎ∠
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
９８
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P185
１.(２０２２ ５３原创题)已知 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为 为 .
△ ꎬ ꎬ ꎬ
答案
ａ ｂ ｃ 其面积 Ｓ １ ａ２ 若 ｂ２ ｃ２ λｂｃ 则 λ 的最大值 ２ ２ ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＋ ＝ ꎬ
４
２.(２０２２ ５３原创题)在 ＡＢＣ中 ＡＣＢ π 延长ＡＢ到 ＝１８ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ ＋１８ ３ ｓｉｎ ２ｘ ＝ ９ｓｉｎ ２ ｘ －９ ３ ｃｏｓ ２ ｘ ＋９ ３ ＝
Ｒｔ△ ꎬ∠ ＝ ꎬ ( )
２ ｘ π ꎬ当且仅当ｘ ５π时ꎬ取等号.此
１８ｓｉｎ ２ － ＋９ ３≤１８＋９ ３ ＝
点Ｄ使得ＢＤ ＡＣ 且 ＢＣＤ π 则 Ａ . ３ １２
＝ ꎬ ∠ ＝ ꎬ ｃｏｓ ＝
６
时Ｓ ꎬ Ｂ ６－ ２.
答案
３
４
ｍａｘ＝１８＋９ ３ ｃｏｓ ＝
４
３.(２０２２ ５ ２ ３原创题)已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ Ｂ Ｃ的对边 ４.(２０２２ ５３ 原创题) 如图 ꎬ 在四边形 ＡＢＣＤ 中 ꎬ ＡＤ ＝
△ ꎬ ꎬ ＢＤ ＡＤＢ.
ｃｏｓ∠
分别为ａ ꎬ ｂ ꎬ ｃ ꎬ 且ａ ＝６ꎬ ꎬ 求 △ ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 ꎬ 并 求证 ＡＢＤ是直角三角形
(１) :△ ꎻ
求此时 Ｂ的值.
ｃｏｓ 若ＡＢ ＡＤ ＢＣ ＣＤ 求四边形ＡＢＣＤ的对角线
(２) ＝ ３ ꎬ ＝２ ３ ＝１２ꎬ
要求 从 ｂ ｃ ｃ ｂ Ａ π这三个条件中任选一个 ＡＣ的长的最大值.
: ① ＋ ＝１０ꎬ② ＝２ ꎬ③ ＝ ꎬ
６
补充在上面的问题中 并给出解答 如果选择多个条件分别解
ꎬ ꎬ
答 按第一个解答计分.
ꎬ
解析 选择 时ꎬ由ｂ ｃ ꎬａ ꎬ及 ＡＢＣ中三边长的关
① ＋ ＝１０ ＝６ △
ａ２ ｃ２ ｂ２ ｃ
系得 ｃ ꎬ又 Ｂ ＋ － ５ －１６ꎬ所以 Ｂ ２Ｂ
２< <８ ｃｏｓ ＝ ａｃ ＝ ｃ ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝
２ ３
(ｃ )( ｃ) 解析 ( )证明:在 ＡＢＤ 中ꎬ由正弦定理及 ＡＤ ＢＤ
４ －２ ８－ ꎬ故Ｓ １ ａｃ Ｂ (ｃ )( ｃ) ꎬ当 １ △ ＝
ｃ ＝ ｓｉｎ ＝４ －２ ８－ ≤１２ ＡＤＢ得 ＡＢＤ ＢＡＤ ＡＤＢꎬ又 ＡＢＤ
３ ２ ｃｏｓ∠ ｓｉｎ∠ ＝ ｓｉｎ∠ ｃｏｓ∠ ｓｉｎ∠ ＝
ＢＡＤ ＡＤＢ ＢＡＤ ＡＤＢꎬ 所 以 ＢＡＤ
且仅当ｃ ｃꎬ即ｃ 时取等号.此时Ｓ ꎬ Ｂ ３ . ｓｉｎ∠ ｃｏｓ∠ ＋ ｃｏｓ ∠ ｓｉｎ ∠ ｃｏｓ ∠
－２＝８－ ＝５ ｍａｘ＝１２ ｃｏｓ ＝ ＡＤＢ ꎬ因为 ＡＤＢ ꎬ所以 ＢＡＤ ꎬ所以 ＢＡＤ
５ ｓｉｎ∠ ＝０ ｓｉｎ∠ >０ ｃｏｓ∠ ＝０ ∠
选择 时ꎬ由ｃ ｂꎬａ ꎬ及 ＡＢＣ中三边长的关系得 ｂ ꎬ
② ＝２ ＝６ △ ２< <６ π.所以 ＡＢＤ是直角三角形.
ａ２ ｃ２ ｂ２ ｂ２ ＝ △
又 Ｂ ＋ － １２＋ ꎬ ２
ｃｏｓ ＝ ａｃ ＝ ｂ
２ ８ ( )由( )知 ＢＡＤ πꎬ又ＡＢ ＡＤꎬ故 ＡＤＢ πꎬ设ＡＤ
２ １ ∠ ＝ ＝ ３ ∠ ＝ ＝
(ｂ２ )( ｂ２) ２ ３
所以 ｓｉｎ Ｂ ＝ １－ｃｏｓ ２Ｂ ＝ －４
８
ｂ ３６－ ꎬ ｍꎬ则ＢＤ ＝２ ｍ.
设 ＢＣＤ ｘꎬ ＢＤＣ α.在 ＡＣＤ 中ꎬＡＣ２ ＡＤ２ ＣＤ２ ＡＤ
故Ｓ １ ａｃ Ｂ ３ (ｂ２ )( ｂ２) ꎬ当且仅当ｂ２ ∠ ＝ ∠ ＝ △ ( ) ＝ ＋ －２
＝ ｓｉｎ ＝ －４ ３６－ ≤１２ －４＝
２ ４ ＣＤ ＡＤＣ ｍ２ ｍ α π ｍ２ ｍ α
ｃｏｓ∠ ＝ ＋１２－４ ３ ｃｏｓ ＋ ＝ ＋１２－２ ３ ｃｏｓ
ｂ２ꎬ即ｂ 时取等号. ３
３６－ ＝２ ５ ｍ α ꎬ
＋６ ｓｉｎ ①
此时Ｓ ꎬ Ｂ ２ ５. 在 ＢＣＤ中ꎬ由余弦定理得ＢＣ２ ＢＤ２ ＣＤ２ ＢＤＣＤ αꎬ
ｍａｘ＝１２ ｃｏｓ ＝ △ ＝ ＋ －２ ｃｏｓ
５ 代入数据并化简得ｍ２ ｍ α ꎬ
选择 时ꎬ设Ｂ ｘꎬ则Ｃ ５π ｘꎬ ｘ ５πꎬ －２ ３ ｃｏｓ ＝３３②
③ ＝ ＝ ６ － ０< < ６ 由正弦定理得 ＢＤ ＢＣ ꎬ即ｍ α ｘ ꎬ
ＢＣＤ＝ α ｓｉｎ ＝６ｓｉｎ ③
由正弦定理得 ａ ｂ ｃ ꎬ ｓｉｎ∠ ｓｉｎ
π
＝
ｓｉｎ
ｘ＝ (
５π ｘ
) ＝１２
将 代入 ꎬ得ＡＣ２ ｘꎬ故当ｘ π时ꎬＡＣ的长有
ｓｉｎ ｓｉｎ － ②③ ① ＝４５＋３６ｓｉｎ ＝
６ ６ ２
( ) 最大值ꎬ为 .
故ｂ ｘꎬｃ ５π ｘ ꎬ ９
＝１２ｓｉｎ ＝１２ｓｉｎ －
６
( )
故Ｓ １ ｂｃ Ａ ｘ ５π ｘ
＝ ｓｉｎ ＝３６ｓｉｎ ｓｉｎ －
２ ６
第
五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
９９
