解答题三角函数、三角恒等变换与解三角形（学生版）_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年12月高三试卷_251211解答题三角函数、三角恒等变换与解三角形（解析版）

解答题 三角函数与解三角形 根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。在高考中，主要考查正余弦定理解三 角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。还考察把实际应用问题转 化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合. 题型归类 题型一 三角恒等变换与三角函数 1 题型二 正余弦定理解三角形的边与角7 题型三 解三角形中角度最值范围 9 题型四 解三角形中边长或周长最值范围 14 题型五 解三角形面积最值范围 21 题型六 三角形的角平分线、中线、垂线25 题型七 多三角形问题34 题型八 三角函数与解三角形的综合40 题型九 解三角形与平面向量的综合43 题型十 解三角形的实际应用47 题型一 三角恒等变换与三角函数 1.(2025·广东·一模)已知函数fx 1  =2cos2x+ 3sin2x-1+m，其中x∈R． (1)求函数fx  的最小正周期和单调递增区间； π (2)若x∈ 0,  2  时，fx  的最小值为4，求m的值．2.(2025·全国·二模)已知函数fx 2  =sinωx+φ  π ω>0, <φ<π 2  的部分图象如图所示，图象与y轴的交 3 点为0, 2  ，且fx  在区间0,π  上恰有一个极大值和一个极小值. (1)求φ的值及ω的取值范围； (2)若ω是整数，将fx  11π 的图象向右平移 个单位长度得到gx 24  的图象，求hx  π =gx- 8  + 1 π g x+ 2 8  的最大值. 技巧：此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： (1)二倍角公式：sin2α=2sinαcosα(S )；cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C ) 2α 2α 1+cos2α 1-cos2α (2)降幂公式：cos2α= ，sin2α= ， 2 2 2、再通过辅助角公式“化一”，化为y=Asin(ωx+φ)+B b 3、辅助角公式：asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ)，其中tanφ= . a 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将ωx+ϕ看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的 问题(零点问题)，通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。3.(2025·湖北黄冈·一模)已知函数fx 3  π =4sinωx+ 3  cosωx- 3ω>0  的最小正周期为π． (1)求ω的值； (2)将函数fx  π 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y=gx 6  的图 象，若gx  在区间 0,m  上有且仅有3个零点，求m的取值范围． 4.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知函数f(x)= 3sin2x+2cos2x-1. π (1)求函数f(x)的单调递增区间及在 0,  2  上的值域； 2 (2)若θ为锐角且f(θ)=- ，求cos2θ的值. 55.(2025·河北保定·模拟预测)已知函数fx 4  π =sin2x+ 3cosxcos -x 2  ． (1)求函数fx  的对称中心及对称轴方程； 7π (2)当x∈ 0,  12  时，求函数fx  的最大值和最小值． 6.(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数fx  =2sinπ-x  3π cosx-2 3cos2 -x 2  + 3． (1)求fx  的最小正周期及单调递减区间； (2)将fx  图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将fx  π 的图象向右平移 个单位后，再将纵坐 12 1 标变为原来的 ，最终得到y=gx 2  π π 的图象，若∃x∈ - ,  2 2  ，满足不等式 2gx  -sin2x≤2m2- 3m，求m的取值范围．π 7.(2025·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f(x)=sin2ωx- 6 5  π +2 3cos2ωx- 12  (ω>0)．若函数f(x)的 π 相邻两条对称轴间的距离为 ． 2 π (1)求ω的值，并求函数f(x)在 0,  3  的值域； π (2)若函数y=f(x+θ)- 3(其中常数θ∈0, 2  )为奇函数，求θ的值．8.(2025·辽宁大连·一模)已知函数 fx 6  3+2tanωx- 3tan2ωx = ，x∈R，ω>0的部分图象如图所示. 1+tan2ωx (1)求ω的值; (2)记gx  1 π =f x- 2 12  ，求fx  ≥gx  的解集.题型二 正余弦定理解三角形的边与角 9.(2025·天津武清·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=5，c= 39. (1)求C的值； (2)求sinA的值； (3)求cos2A+B 7  的值. 10.(2025·湖南永州·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+B  C =2 3sin2 . 2 (1)求cosC； (2)若a+b=5，△ABC面积为 3，求c. 技巧 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理.(1)已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； (2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； (3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； (4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； (5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为 边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)， 并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 11.(2025·湖南·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2acosC-b 8  =c. (1)求A； 5 (2)若a= 5，sinB= ，求c的值. 5 1-cosB 12.(2025·湖北武汉·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且tan2C= . 1+cosB (1)证明：B=2C； 3 (2)若b+c= a，求cosC. 2B+C 13.(2025·四川巴中·模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin =asinB. 2 (1)求A； (2)若a=3，点D在边BC上，AD=2,DC=2DB，求△ABC的面积. 题型三 解三角形中角度最值范围 14.(25-26高二上·重庆·开学考试)在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a、b、c，且bcosC+ccosB= 2acosA． (1)若a=2,b+c= 13，求△ABC的面积； 9(2)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围． 15.(24-25高一下·广东江门·期中)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a、b、c，且bcosC+ccosB =2acosA (1)求角A的大小； (2)若b=2，S =3 3，求a； △ABC (3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围. 技巧 求解三角形的角度范围问题,常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析,根据条件特点选择 合适定理表达所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理;(2) 10根据角度的具体表达式结构特点,讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本 函数求值域方式,在所求定义域内求得对应值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小. 16.(24 - 25 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末) 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinB-C 11  =bsinCcosA. (1)证明：a2+b2=3c2； (2)求cosC的取值范围； (3)若c=2 5，求△ABC外接圆面积的最小值. 17.(24-25高一下·四川乐山·阶段练习)在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，且bcosC+ ccosB=2acosA． (1)求角A的大小； 3 3 (2)若△ABC的面积是 ,a=2，求△ABC的周长； 4 (3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．3bsinA 18.(2025·辽宁·一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足 =a 1+cosB (1)求角B的大小； (2)若b= 3，求△ABC面积的最大值； (3)求sinAsinC+sinBsinC+sinBsinA的取值范围. 1219.(2025·广东揭阳·三模)已知△ABC内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2A+sin2B=2+cos2C. α+β α-β (1)证明：cosα+cosβ=2cos cos ； 2 2 sinC (2)求 的最值； sinAsinB π π (3)若c=6，A∈ , 6 4 13  ，求△ABC的面积S的取值范围.题型四 解三角形中边长或周长最值范围 20.(2025·山东德州·三模) 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 2sinB = sinA + cosAtanC． (1)求C； (2)若2(a+b)=c2，求△ABC的边c的最大值． B 21.(2025·全国·模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c，且2ccos2 +bcosC= 2 π 2asin -A 2 14  +c．(1)求A； (2)若a=2，求△ABC的周长最大值． 技巧 在解三角形中，求解边长及周长最值是常见的基本题型，其中边长类最值包括“和”、“差”、“积”、 “商”类最值，需进行边角互化巧妙转化变量，进而结合三角函数的值域或基本不等式来求解. 1.基本不等式 a+b a+b a>0,b>0⇒ ab≤ ，当且仅当a=b时取等号，其中 叫做正数a，b的算术平均数， 2 2 ab叫做正数a，b的几何平均数，通常表达为：a+b≥2 ab(积定和最小)，应用条件：“一正，二定，三相 等” 2.辅助角公式及三角函数值域 b π π 形如y=asinx+bcosx，(a>0)⇒y= a2+b2sin(x+ϕ)，其中tanϕ= ，ϕ∈- , a 2 2 15  对于y=Asin(ωx+ϕ)+h，y=Acos(ωx+ϕ)+h类函数，A叫做振幅，决定函数的值域，值域为 -A,A  ，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围 22.(24-25高三下·河北沧州·阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2(A+C)= (sinA+sinC)2-sinAsinC． (1)求角B的大小； (2)若b=4，求2a+c的取值范围．23.(2025·江西新余·模拟预测)已知a、b、c分别为斜△ABC中角A、B、C的对边，2asinA-sinB 16  cosC= asinA+bsinB-csinC． sinB (1)求 ； sinA 4 (2)已知△ABC的面积为 15b2cosC，求c+ 的最小值． a 24.(24-25高三下·河南焦作·阶段练习)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，fx  = 3sin2cx-2cos2cx+1． (1)若fx  π 在 0,  3  上单调递增，求c的取值范围；(2)若c=1，fC 17  =-1，求a+b的最大值． π 25.(2025·江苏·模拟预测)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcos -C 2  = 3ccosB. (1)求角B； (2)若△ABC是锐角三角形，且c=4，求a的取值范围. 1 26.(2025·辽宁·二模)已知锐角△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a= 3， 3cosB+ b=c． 2 (1)求A； 2b2+c2 (2)求 的取值范围． bc27.(2025·新疆喀什·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知atanBcosC+csinA= asin2A ． cosB (1)证明：B+C=2A； (2)若a=3，求2b-c的取值范围． 1828.(2025·贵州遵义·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且 3bcosB=acosC+ ccosA． (1)求tanB； π π (2)若A∈  ,  4 3 19  ，且a=1，求b+c的取值范围．29.(2025·湖北武汉·模拟预测) 已知 a,b,c 分别为锐角 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边，且 acosC + 3asinC-b-c=0. (1)求A； (2)若a=3；求△ABC周长的取值范围. 30.(2025·湖南益阳·三模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=1，且bcosA-cosB=1． π (1)若C= ，求A； 4 (2)若△ABC是锐角三角形，求△ABC周长的取值范围． 20题型五 解三角形面积最值范围 31.(2025·广西·模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 3asinB=b2-cosA 21  . (1)求内角A的大小； (2)若a=1，求△ABC面积S的最大值.技巧 1、常用三角形的面积公式： 1 (1)S= ah； 2 1 1 1 (2)S= absinC= acsinB= bcsinA； 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径)； 2 1 (4)S= p(p-a)(p-b)(p-c)，即海伦公式，其中p= (a+b+c)为三角形的半周长。 2 2、针对三角形面积进行提问的取值范围问题,属于中等难度的一类解三角形问题,解答这类问题,主 要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最值,进而对问题作出具体 完整的解答,这些解题思路在解题过程中具体可表现为:(1)对所求三角形大致形状做出分析,明确选 择面积求解公式;(2)运用正余弦定理,取得三角形边长、角度具体值,将其代人面积公式中得到具体 表达式;(3)根据表达式结构特点,运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路,得到具体的范围 大小,即对应问题所求的面积范围值. 32.(2025·辽宁鞍山·模拟预测) 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 △ABC 的周长为 3bsinC sinB+sinC-sinA (1)求角A； (2)若a= 3，求△ABC面积的最大值． 22π 33.(2025·江西新余·模拟预测)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sinB+sinA-B- 6 23  = 5π sin -C 6  ． (1)求A； (2)若bcosC+ccosB=1，求△ABC面积的最大值． 3sin2C 34.(2025·湖北黄冈·三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=4sinB，且sin2A+ 2 =2. (1)若a=c，求b； (2)求△ABC面积的最大值.35.(2025·安徽·模拟预测)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=2b-c 24  sinB+ c2sinC-sinB  ． (1)求A；   (2)若BD=3DC，AD=4，求△ABC面积的最大值． B 36.(2025·新疆喀什·模拟预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知acos =bsinA. 2 (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围．题型六 三角形的角平分线、中线、垂线 37.(2025·河南·模拟预测)如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为∠BAC的角平分线，且交 BC于点D，且AB:AD:AC=24:15:40. (1)求∠BAC； 3 (2)若△ABC的内切圆的半径为 ，求△ABC的周长. 2 2538.(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，满足2bcosA +ccosA+acosC=0. (1)求角A的大小； (2)若a=2 7，BC边上的中线AM的长为2，求△ABC的面积； 39.(2025·广东·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3a=2c,csinB=3 7bcosC. (1)求cosC； (2)设c=6，求AB边上的高. 26技巧 1、涉及中线长的工具： 在ΔABC中，设D是BC的中点角A,B,C所对的边分别为a，b，c (1)向量形式：(记忆核心技巧，结论不用记忆)    核心技巧：2AD=AB+AC  2 1 结论：AD = (b2+c2+2bccosA) 4 (2)角形式： 核心技巧：∠ADB+∠ADC=π⇒cos∠ADB+cos∠ADC=0 DA2+DB2-AB2 在ΔADB中有：cos∠ADB= ; 2DA×DB DA2+DC2-AC2 在ΔADC中有：cos∠ADC= ; 2DA×DC 2、涉及角平分线的工具： 如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c (1)内角平分线定理： AB AC AB BD 核心技巧： = 或 = BD DC AC DC (2)等面积法 核心技巧 1 1 A 1 S = S + S ⇒ AB × AC × sinA = AB × AD × sin + AC × AD × ΔABC ΔABD ΔADC 2 2 2 2 A sin 2 (3)角形式： 核心技巧：∠ADB+∠ADC=π⇒cos∠ADB+cos∠ADC=0 DA2+DB2-AB2 在ΔADB中有：cos∠ADB= ; 2DA×DB 27DA2+DC2-AC2 在ΔADC中有：cos∠ADC= ; 2DA×DC 40.(2025·江西·三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c+ccos2A+2acosAcosC =0． (1)求A； 1 1 (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且b+c=4，求 + 的最小值． BD DC 41.(2025·四川乐山·三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知cosB+ 3sinB=2. (1)求B； (2)若a=2，c= 3+1，∠ABC的角平分线交AC于D，求BD. 2842.(24-25高三上·河北秦皇岛·期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinB+cosC=0， 且c= 3b． (1)求C； (2)若a=2，记∠BAC的角平分线与BC交于点D，求AD． 7 43.(2025·湖北武汉·三模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB= ，a=4，角B的角 9 平分线交AC于点D，且BD=3 2． (1)求CD的长； (2)求△ABC的面积． 2944.(24-25高三下·云南德宏·阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 5，且 A 6bsinCcos = 5csinB． 2 (1)求cosA； 2 30 (2)若点D在线段BC上，AD为∠BAC的角平分线，且AD= ，求△ABC的周长． 5 3045.(2025·河北·模拟预测)如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知AD是∠BAC的角平分 bc 线，且AD= ． b+c (1)求角A的值； (2)若a=1，求AD长的最大值． 3146.(2025·河北石家庄·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+ 3ccosB= 3a． (1)求角C的大小； 3 (2)若AB=2 2，且sinAsinB= ，求AB边上中线CT的长． 8 2π 47.(2025·河北张家口·一模) 在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A = ，7sin2B = 3 3bcosB. 13 (1)若cosB= ，求c； 14 (2)当BC边上的中线最小时，求△ABC的面积. 3248.(2025·湖南长沙·二模)在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°． (1)求sin∠ACB； (2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求cos∠MPN． 3349.(2025·海南三亚·一模)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 3b=2asinB. (1)求A； (2)若b=c+1,a= 7，求边BC上的高AD的长. 题型七 多三角形问题 50.(2024·内蒙古包头·一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是斜边AC上的一点，AB= 3AD，BC = 6. (1)若∠DBC=60°，求∠ADB和DA； (2)若BD= 2，证明：CD=2DA. 3451.(2025·黑龙江齐齐哈尔·二模)如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠AOD=60°， AC=3，BD=6，且AD=BC (1)求BO的长； π (2)若7sin2∠OCB- 6 35  =8 7cos∠ODA-15，求cos∠ODA的值． 技巧利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题 对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件 与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形 内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由 条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 52.(2025 高三·全国·专题练习) 在四边形 ABCD 中 ，BC = 1 ，AC = CD ，AC 平分 ∠BCD ， AB2+AC2-BC2 =2AC- 3BC． AC (1)求∠ACB； BD (2)当 取最大值时，求AC． AB 3653.(2025·山东·模拟预测)在四边形ABCD中，AB2=BC2+AC2-AC⋅BC， 2AB= 3BC，AC=3+ π 3，∠BAC+∠ACD=∠ACB+∠CAD= ． 2 (1)求△ABC的周长 (2)求四边形ABCD的面积． 3754.(24-25高一下·上海嘉定·期末)某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等 腰梯形形状，其中B=75°，BC长为400米；在BC上选择一点Q作为公园入口，从公园入口出发修建两 条观光步道QE、QF，其中步道终点E、F两点在边界AB、DC上，且∠BQE=∠CQF=60°. (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道EF用于建设“集市”，若建 设观光步道平均每米需花费100元，建设商业步道平均每米需花费300元，试求建设步道总花费的最小 值. 3855.(24-25高一下·云南·期中)如图，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，△ABC是等边三角形． (1)若∠ADC=60°，求△ABC的面积； (2)若BC=2，求△BCD的面积； (3)求△BCD的面积的最大值． 39题型八 三角函数与解三角形的综合 56.(24-25高一下·海南·阶段练习)已知函数fx 40  =2sinωx+φ  π π ω>0,- <φ< 2 2  的部分图象如图所 示． (1)求函数fx  的解析式及对称中心； (2)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若fC  = 3,c=4，求△ABC周长的取值范围．技巧 57.(2024·北京·三模)已知函数f(x)=2 3sinωxcosωx+2cos2ωx,(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； π (2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为f(x)在 0,  2 41  上的最大值，再从条件①、 条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a-b的取值范围.条件①：acosB+bcosA= 3a2+b2-c2 2ccosC；条件②：2asinAcosB+bsin2A= 3a；条件③：△ABC的面积为S，且S=  . 4 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.42π 58.(24-25高二下·安徽·阶段练习)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A= ， 3 C B b+c bcos2 +ccos2 = + 3，设B=x，△ABC的周长为y. 2 2 2 π (1)当x= 时，求y的值； 4 (2)求函数y=fx 43  的解析式及最大值. 题型九 解三角形与平面向量的综合  59.(24-25高二上·贵州遵义·期末)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m =1, 3sinB-cosB   ，n=cosA,cosC    ，m⎳n. (1)求A；2b (2)求 的取值范围. c 技巧 解三角形与平面向量的综合题，关键在于灵活转化。通常可将向量关系通过基底分解或坐标运算，转 化为边与角的关系，再利用正弦、余弦定理求解；或反过来，用三角形的边、角表示向量，通过向量的 模、数量积等工具处理长度、角度与垂直、平行等问题。解题时要根据已知条件选择合适的切入点，注 意数形结合，理清向量与三角形元素之间的对应关系，合理运用运算律和公式，逐步推导得出结论。  60.(24-25高三上·江西吉安·期末)在ΔABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m=(2cosC,    -b)，n=(1,acosC+ccosA)，且m⎳n. (1)求角C的大小； (2)若c= 3，求ΔABC的周长的取值范围. 44 61.(24 - 25 高一下·青海海南·期末) 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，向量 m = cosC,2b-c 45   ,n=a,-cosA    ，且m⊥n. (1)求A；    (2)若BD=2DC,AD  =4，求△ABC面积的最大值； (3)若a=2 3，求2b-c的取值范围. 62.(24 - 25 高一下·陕西渭南·期末) 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知向量 m = sinC,sinBcosA 46   ，n=2c,b    ，且m⎳n. (1)求角A的大小； (2)若D是BC的中点，AD=2，求△ABC面积的最大值.  63.(24 - 25 高一下·河北沧州·期末) 在锐角 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，向量 m = cosC,2b-c   ,n=a,-cosA    ，且m⊥n．(1)求A；    (2)若BD=DC,AD 47  =4，求△ABC面积的最大值； (3)若a=2 3，求2b-c的取值范围． 题型十 解三角形的实际应用 64.(2025·河南南阳·一模)如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测 点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的 一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播 速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km). 65.(2024·安徽合肥·三模)如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶，在A处测得山顶P处的仰角 ∠PAO=30°，该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达B处，此时测得仰角∠PBO=45°，且 3 cos∠AOB=- . 3 (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值． 48技巧 1.把握解三角形应用题的四步： ①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图； ②根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通过哪些量将未知与已知沟通起来， 将实际问题抽象成解三角形问题的模型； ③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； ④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角. 66.(2025高三·全国·专题练习)2019年7月4日下午在辽宁开原突发的龙卷风，风力超过15级．路边一棵参 天大树在树干某点B处被龙卷风折断，剩余部分AB与折断部分BC的夹角为120°，树尖C着地处与树 根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ(A,B,C三点所在平面与地面垂直，树 干粗度忽略不计)．(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449) (1)若θ=45°，求折断前树的高度(结果保留一位小数)； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由． 4967.(2025高三·全国·专题练习)如图，某城市有一条公路从正西方沿AO通过市中心O后转向东北方，沿 OB铺设．现要修一条铁路L，在AO上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分视为直线段，要求 市中心O与铁路AB的距离为10km，问把A,B分别设在距O多远的地方才能使AB最小？并求出AB 的最小值． 68.(2026高三·全国·专题练习)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射 型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，A、B、C三地位于同一水平面上，这 50种仪器在C地进行弹射实验，观测点A,B两地相距100m,∠BAC=60°.在A地听到弹射声音的时间比 2 B地晚 s.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°(已知声音的传播速度为340m/s). 17 (1)求A,C两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度CH. 69.(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年 (1621年)，为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护 文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度CD，选取了与蜚英塔底部D在同 一水平面上的A，B两点，测得AB=35 7米，∠CAD=45°,∠CBD=30°,∠ADB=150°，求蜚英塔的高 度CD. 5170.(24-25高一下·吉林延边·期中)海岸上建有相距40 3海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因 动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为α=∠BCA=45°， β=∠ACD=30°，γ=∠BDC=45°，δ=∠ADB=75°. (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求A，B之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援(说 明理由)？ 71.(2024·重庆·模拟预测)如图，某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m)测量重庆瞰胜楼的高 度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，∠MCE= 16.5°(点E在线段MO上)．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶 M的仰角∠MDE=48.5°，楼尖MN的视角∠MDN=3.5°(N是楼尖底部，在线段MO上)． 52(1)求楼高MO和楼尖MN； (2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底 的距离FO． sin16.5°sin48.5° 2 8 8 参考数据： ≈ ，tan16.5°≈ ，tan48.5°≈ ， 40×35≈37.4, sin32° 5 27 7 53刷大题 拿高分 刷模拟 72.(2025·福建漳州·模拟预测)设函数fx 54  = 3sin2ωx+cos2ωx+1ω>0  ，且fx  的图象相邻两条对称 π 轴的距离为 . 2 (1)求fx  的单调递增区间； (2)将fx  所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列x n  ，求数列的前30项和. 73.(25-26高三上·山东烟台·开学考试)fx  π = 3cos2x- 3  3 -sinxcosx+ cos2x-sin2x 2  (1)求fx  的最小正周期、单调递增区间 (2)fx  π =m在区间 - ,0  2  有两个不等的实根，求m的范围 74.(2025·河北衡水·模拟预测)已知向量m=sin2x,sinxcosx 55   ,n=cosα,sinα  ,fx    =m⋅n. (1)若α为钝角，且fx  1 的最大值为 ，求fx 4  的单调递增区间； π (2)若α为锐角，且x= 是函数fx 3  的一条对称轴，求函数fx  π 在 0,  2  上的值域.B+C 75.(2025·河北唐山·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知sinA=sin ，c= 2 5，△ABC的面积为10 3． (1)求a,b； (2)D为边BC上一点， ①若AD是∠BAC的平分线，求线段AD的长； ②若CD=2BD，求tan∠BAD． 5676.(2025·江苏宿迁·三模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 3sin(A+C)-cosB=1. (1)求B；   (2)若b=4，△ABC的面积为4 3，D为AC边上一点，满足AC=3AD， ①求△ABC的周长； ②求BD的长. 77.(2025·河北邯郸·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C满足2sinA+C 57  B 2cos2 -1 2  - 3cos2B=0. (1)求角B；(2)若AC=2，求△ABC面积的取值范围； (3)证明：cos2A+cos2C+2 3cosAcosC+3cos2B=0. 78.(2025·黑龙江大庆·一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且asinB- 3bcosA=0. (1)求A； (2)若a=4,△ABC的面积为2 3，求△ABC的周长. 58 79.(2025·湖南湘潭·一模)在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 b=2c，a=3 7．向量m=  3b,a 59   ，n=cosA,sinB    ,m⊥n,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线． (1)求角A； (2)求 AM 的长．  π 80.(2025·广西·模拟预测)已知向量m= sin +x 4   , 3sinx   π ，n= sin -x 4   ,cosx  ，设函数fx   =m⋅  n． (1)化简fx  并写出fx  的最小正周期； A (2)在△ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c，若f 2  3 3 =1，a= 7，△ABC的面积为 ，D是线 2 段BC的中点，求AD  的值．81.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AD= 2，∠ACD=30°，∠CAD= 45°. (1)求AC的长. (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 6082.(24 - 25 高一下·四川成都·期末) 在锐角 △ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 a-b c = . 3sinA-sinC sinA+sinB (1)求B的值； (2)若b=2，求△ABC面积的取值范围. π π 83.(2025·江苏连云港·模拟预测)在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD= ，∠DBC= ，AB=1． 2 6 61(1)若BC=2，求AD； (2)若AD=2CD，求AD． 84.(2025·全国·二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a2-(b-c)2=bc. (1)求A；   (2)延长AB至D，使AB=2BD,CD=2 3,∠DBC=120°，求tan∠BCD的值. 85.(2025·全国·二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinBacosC+ccosA 62  =bcosB. (1)求B；3 (2)设D为边BC的中点，若cosC= ，△ABC的面积为14，求AD的长 5 刷真题 86.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 2cosB，a2 +b2-c2= 2ab (1)求B； (2)若△ABC的面积为3+ 3，求c． 63b2+c2-a2 87.(2023·全国甲卷·高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2． cosA (1)求bc； acosB-bcosA b (2)若 - =1，求△ABC面积． acosB+bcosA c 88.(2023·全国乙卷·高考真题)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积. 89.(2023·天津·高考真题)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a= 39,b=2,∠A=120°． 64(1)求sinB的值； (2)求c的值； (3)求sinB-C 65  的值． 90.(2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知在△ABC中，A+B=3C,2sinA-C  =sinB． (1)求sinA； (2)设AB=5，求AB边上的高． 91.(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为 3，D为BC中点，且AD=1． π (1)若∠ADC= ，求tanB； 3 (2)若b2+c2=8，求b,c． 661 92.(2025·北京·高考真题)在△ABC中，cosA=- ,asinC=4 2． 3 (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高． 10 2 条件①：a=6；条件②：asinB= ；条件③：△ABC的面积为10 2． 3 93.(2025·天津·高考真题)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知asinB= 3bcosA，c-2b= 1，a= 7． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值． 6794.(2024·北京·高考真题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，sin2B= 3 bcosB． 7 (1)求∠A； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 13 5 条件①：b=7；条件②：cosB= ；条件③：csinA= 3． 14 2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分． 6895.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3cosA= 2． (1)求A． (2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC的周长． 6996.(2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a +2.． (1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 97.(2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在 70边AC上，BDsin∠ABC=asinC. (1)证明：BD=b； (2)若AD=2DC，求cos∠ABC. 717273