曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.4 解三角形
考点一 正弦定理和余弦定理
a2+b2−c2
1.(2018课标Ⅲ,理9,文11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为 ,则
4
C=( )
π π
A. B.
2 3
π π
C. D.
4 6
a2+b2−c2 2abcosC
答案 C 根据余弦定理得a2+b2-c2=2ab·cos C,因为S = ,所以S = ,又S =
△ABC 4 △ABC 4 △ABC
1 π
absin C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C= .故选C.
2 4
2
2.(2016课标Ⅰ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A= ,则b=( )
3
A.√2 B.√3 C.2 D.3
答案 D 由余弦定理得5=22+b2-2×2b·cos A,∵cos A=2,∴3b2-8b-3=0,∴b=3( 1 ).故选D.
b=− 舍去
3 3
评析 本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.
3.(2016山东文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( )
3π π π π
A. B. C. D.
4 3 4 6
答案 C 在△ABC中,由b=c,得cos A=b2+c2−a2 =2b2−a2 ,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即
2bc 2b2
π
tan A=1,又知A∈(0,π),所以A= ,故选C.
4
评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.
√3
4.(2015广东文,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A= 且b<c,则b=(
2
)
A.3 B.2√2 C.2 D.√3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=2√3,∴b=2.选C.
1
5.(2014课标Ⅱ理,4,5分)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC=√2,则AC=( )
2
A.5 B.√5 C.2 D.1
1 1 1
答案 B S = AB·BCsin B= ×1×√2sin B= ,
△ABC
2 2 2
√2
∴sin B= ,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此
2
B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2×1× ×( √2)=5,∴AC= .故选B.
√2 − √5
2
π π
6.(2013课标Ⅱ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B= ,C= ,则△ABC的面积为(
6 4
)
A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1
b c
答案 B 由 = 及已知条件得c=2√2.
sinB sinC
1 √2 √3 √2 √2+√6 1 1 √2+√6
又sin A=sin(B+C)= × + × = .从而S = bcsin A= ×2×2√2× =√3+1.故选
2 2 2 2 4 △ABC 2 2 4
B.
7.(2013课标Ⅰ文,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则
b=( )
A.10 B.9 C.8 D.5
答案 D 由23cos2A+cos 2A=0得25cos2A=1,
1 12
因为A为锐角,所以cos A= .又由a2=b2+c2-2bccos A得49=b2+36- b,整理得5b2-12b-65=0,
5 5
13
解得b=- (舍)或b=5,故选D.
5
π 1
8.(2016课标Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则cos A=( )
4 3
3√10 √10 √10 3√10
A. B. C.- D.-
10 10 10 10曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 2 √2 √5
答案 C 过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD= BC,则CD= BC,AB= BC,AC= BC,在
3 3 3 3
2 5
BC2+ BC2−BC2
AB2+AC2−BC2 9 9 √10
△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC= = =- ,故
2AB·AC √2 √5 10
2× BC× BC
3 3
选C.
4 5
9.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则b= .
5 13
21
答案
13
3 12 3 5 4 12 63 a b
解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,则sin B=sin(A+C)= × + × = ,再由 = ⇒b=
5 13 5 13 5 13 65 sinA sinB
63
1×
65 21
= .
3 13
5
思路分析 利用同角三角函数的基本关系求出sin A与sin C的值,进而由sin B=sin(A+C)求出sin B的值,
再利用正弦定理即可求出b的值.
10.(2019课标Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .
3
答案 π
4
解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.
在△ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,
∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0,
即tan B=-1,
3
又B∈(0,π),∴B= π.
4
11.(2017课标Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= .
答案 75°曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3 √6 √2
解析 由正弦定理得 = ,∴sin B= ,
sin60° sinB 2
又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.
√2
易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用b<c确定B=45°,从而求得A=75°.
2
12.(2017课标Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=
.
答案 60°
解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin
2B=sin(180°-B),可得B=60°.
a2+c2−b2 a2+b2−c2 b2+c2−a2 a2+c2−b2
解法二:由余弦定理得2b· =a· +c· ,即b· =b,所以a2+c2-
2ac 2ab 2bc ac
1
b2=ac,所以cos B= ,又0°<B<180°,所以B=60°.
2
思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.
2π b
13.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A= ,a=√3c,则 = .
3 c
答案 1
解析 在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cos A,
2π
将∠A= ,a=√3c代入,
3
可得( c)2=b2+c2-2bc·( 1),
√3 −
2
整理得2c2=b2+bc.
∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,
得2=b2 +bc,即2=(b) 2 +b.
c2 c2 c c
b
令t= (t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,
c
解得t=1或t=-2(舍去),
b
故 =1.
c曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
b
思路分析 本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以 为变元的方程求解.
c
评析 本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.
14.(2015福建理,12,4分)若锐角△ABC的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
1 √3
解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及 bcsin A=10√3得sin A= ,因为A为锐角,所以
2 2
1 1
A=60°,cos A= .由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40× =49,故a=7,即BC=7.
2 2
评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键.
15.(2015安徽文,12,5分)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .
答案 2
AB AC AB·sinB √6·sin45°
解析 由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由 = 知AC= = =2.
sinC sinB sinC sin60°
16.(2015福建文,14,4分)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC= .
答案 √2
AC BC
解析 B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得 = ,可得BC=√2.
sinB sin A
1
17.(2015重庆文,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则c=
4
.
答案 4
解析 由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×( 1)
−
4
=16,所以c=4.
sin2A
18.(2015北京理,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 = .
sinC
答案 1
b2+c2−a2 52+62−42 3
解析 在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos A= = = ,由正弦定理可知
2bc 2×5×6 4
3
sin2A 2sin AcosA 2a·cosA 2×4×
= = = 4=1.
sinC sinC c
6曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
评析 本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识
的应用转化能力.
19.(2014课标Ⅰ理,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin
C,则△ABC面积的最大值为 .
答案 √3
解析 因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得
b2+c2−a2 bc 1 π
(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A= = = ,又0<A<π,故A= .因为cos
2bc 2bc 2 3
1 b2+c2−4 2bc−4 1 1
A= = ≥ ,所以bc≤4,当且仅当b=c时取等号.由三角形面积公式知S = bcsin A=
2 2bc 2bc △ABC 2 2
√3 √3
bc· = bc≤√3,故△ABC面积的最大值为√3.
2 4
评析 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查学生对知识的综合应
用能力以及运算求解能力.能把2代换成a是正确解决本题的关键.
20.(2011课标文,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为 .
15√3
答案
4
解析 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,及已知条件得
49=a2+25-2×5×acos 120°.
整理得a2+5a-24=0,
解得a=3或a=-8(舍).
1 1 15√3
∴S = acsin B= ×3×5sin 120°= .
△ABC 2 2 4
评析 本题考查余弦定理、解三角形等知识,根据余弦定理正确求出a的值是解答本题的关键.
B
21.(2017课标Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 .
2
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
B
(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2 ,故sin B=4(1-cos B).
2
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
15
解得cos B=1(舍去),cos B= .
17
15 8 1 4
(2)由cos B= 得sin B= ,故S = acsin B= ac.
17 17
△ABC
2 17
17
又S =2,则ac= .
△ABC
2
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×17×( 15)=4.
1+
2 17
所以b=2.
解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-
2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.
3
22.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c= a.
7
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.
3
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c= a,
7
csin A 3 √3 3√3
所以由正弦定理得sin C= = × = .
a 7 2 14
3
(2)因为a=7,所以c= ×7=3.
7
1
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3× ,
2
解得b=8或b=-5(舍).
1 1 √3
所以△ABC的面积S= bcsin A= ×8×3× =6√3.
2 2 2
解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积
时,经常用余弦定理求出两边乘积.
23.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,⃗AB·⃗AC=-6,S =3,求A和a.
△ABC
解析 因为⃗AB·⃗AC=-6,所以bccos A=-6,
又S =3,所以bcsin A=6,
△ABC
3π
因此tan A=-1,又0<A<π,所以A= .
4
