曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.3 三角函数的图象和性质
考点一 三角函数的图象及其变换
π
1.(2016课标Ⅱ理,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为(
12
)
kπ π kπ π
A.x= - (k∈Z) B.x= + (k∈Z)
2 6 2 6
kπ π kπ π
C.x= - (k∈Z) D.x= + (k∈Z)
2 12 2 12
π [ ( π )]
答案 B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin 2 x+ =2sin
12 12
( π) π π kπ π kπ π
2x+
的图象,由2x+ =kπ+ (k∈Z),可得x= + (k∈Z).则平移后图象的对称轴为x= +
6 6 2 2 6 2 6
(k∈Z),故选B.
( π )
易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin
2x+
的图象.
12
( π) 1
2.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin
2x+
的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为(
6 4
)
( π) ( π)
A.y=2sin
2x+
B.y=2sin
2x+
4 3
( π) ( π)
C.y=2sin 2x− D.y=2sin 2x−
4 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π
答案 D 该函数的周期为π,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin
4
[ ( π) π] ( π)
2 x− + =2sin 2x− ,故选D.
4 6 3
π π
易错警示 三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x- ,而不是将2x变为2x- .
4 4
评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.
( π)
3.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin 2x− 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点( )
3
π
A.向左平行移动 个单位长度
3
π
B.向右平行移动 个单位长度
3
π
C.向左平行移动 个单位长度
6
π
D.向右平行移动 个单位长度
6
π [ ( π)] ( π)
答案 D 将y=sin 2x的图象向右平行移动 个单位长度得到y=sin 2 x− =sin 2x− 的图象,
6 6 3
故选D.
( π) [ ( π)]
评析 将y=sin 2x− 化为y=sin 2 x− 是解题的关键.
3 6
4.(2016课标Ⅱ文,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
( π) ( π)
A.y=2sin 2x− B.y=2sin 2x−
6 3
( π) ( π)
C.y=2sin
x+
D.y=2sin
x+
6 3
T π ( π) π (π )
答案 A 由题图可知A=2, = - − = ,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点 ,2 ,
2 3 6 2 3
( π ) 2π π π π
所以2sin 2× +φ =2,所以 +φ=2kπ+ ,k∈Z,即φ=2kπ- ,k∈Z,当k=0时,φ=- ,所以y=2sin
3 3 2 6 6
( π)
2x− ,故选A.
6
评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,ω由周期确定,相邻的最高点
与最低点之间的水平距离为半个周期,φ通过确定点的坐标来求即可.
5.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
( 1 3)
A. kπ− ,kπ+ ,k∈Z
4 4
( 1 3)
B. 2kπ− ,2kπ+ ,k∈Z
4 4
( 1 3)
C. k− ,k+ ,k∈Z
4 4
( 1 3)
D. 2k− ,2k+ ,k∈Z
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T 5 1 [ 3 5]
答案 D 由题图可知 = - =1,所以T=2.结合题图可知,在 − , (f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单
2 4 4 4 4
( 1 3) ( 1 3)
调递减区间为 − , .由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为 2k− ,2k+ ,
4 4 4 4
k∈Z,故选D.
(π )
6.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
x+φ
+k,据
6
此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
(π )
答案 C 因为函数y=3sin
x+φ
+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为
6
3+5=8(m),选C.
评析 在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k的函
数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.
7.(2014课标Ⅰ理,6,5分)
如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线
OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π ( π)
答案 C 由题图可知:当x= 时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈ 0, 时,OM=cos x,设点M到
2 2
d
直线OP的距离为d,则 =sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,
OM
1 1
∴f(x)=sin xcos x= sin 2x≤ ,排除B,故选C.
2 2
π 5π
8.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x= 和x= 是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,
4 4
则φ=( )
π π π 3π
A. B. C. D.
4 3 2 4
2π (5 π) π π π
答案 A 由题意得 =2 π− ,∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ),∴ +φ=kπ+ (k∈Z),φ=kπ+ (k∈Z),又
ω 4 4 4 2 4
π
0<φ<π,∴φ= ,故选A.
4
评析 本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.
( π) (π )
9.(2016北京,7,5分)将函数y=sin 2x− 图象上的点P ,t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若
3 4
P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )
1 π √3 π
A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为
2 6 2 6
1 π √3 π
C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为
2 3 2 3
(π ) ( π)
答案 A 点P ,t 在函数y=sin 2x− 的图象上,
4 3
( π π) 1
∴t=sin 2× − = .
4 3 2
(π 1)
所以P , .
4 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(π 1)
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P' −s, .
4 2
因为P'在函数y=sin 2x的图象上,
[ (π )] 1 1
所以sin 2 −s = ,即cos 2s= ,
4 2 2
π 5 π 5π
所以2s=2kπ+ (k∈Z)或2s=2kπ+ π(k∈Z),即s=kπ+ (k∈Z)或s=kπ+ (k∈Z),又s>0,所以s的最小值为
3 3 6 6
π
.
6
10.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-√3cos x的图象可由函数y=sin x+√3cos x的图象至少向右平移
个单位长度得到.
2
答案 π
3
( 5 ) ( π)
解析 设f(x)=sin x-√3cos x=2sin x+ π ,g(x)=sin x+√3cos x=2sin x+ ,将g(x)的图象向右平移
3 3
( π) ( 5π) π
φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin
x−φ+
=2sin
x+
=f(x)的图象,所以x-φ+ =2kπ+x+
3 3 3
5π 4π 2π
,k∈Z,此时φ=-2kπ- ,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为 .
3 3 3
方法指导 先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的
“左加右减”规律求解.
11.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .
答案 7
解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7
个交点.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
思路分析 解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关
键.
12.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的
距离为2√3,则ω= .
π
答案
2
{y=2sinωx,
解析 由 消去y,得sin ωx-cos ωx=0,
y=2cosωx
( π) kπ π
即√2sin ωx− =0,解得x= + ,k∈Z.
4 ω 4ω
( π )(5π )
取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 ,√2 , ,−√2 ,又两交点的距离为2√3,
4ω 4ω
( π 5π ) 2 π
所以 − +(√2+√2)2=(2√3)2,解得ω= .
4ω 4ω 2
( π π)
13.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,− ≤φ<
图象上每一点的横坐标缩短为原来
2 2
π (π)
的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到y=sin x的图象,则f = .
6 6
√2
答案
2
( π)
x+
解析 y=sin x y=sin 6
(1 π)
x+
y=sin ,
2 6
(1 π) (π) ( π π) π √2
即f(x)=sin
x+
,∴f =sin
+
=sin = .
2 6 6 12 6 4 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π ( π)
14.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数y=sin
2x+
2 3
的图象重合,则φ= .
5
答案 π
6
π ( π) [ ( π) ]
解析 令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移 个单位后得f x− =cos 2 x− +φ =cos(2x+φ-
2 2 2
π π ( π) π π
2x+
π)=sin (2x+φ-π)+ =sin 2x+φ- ,因为与y=sin 的图象重合,所以φ- = +2kπ(k∈Z),所以
2 2 3 2 3
5 5
φ=2kπ+ π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ= π.
6 6
(π ) π
15.(2011浙江文,18,14分)已知函数f(x)=Asin
x+φ
,x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分图象如图所示,P、
3 2
Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
2π
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求A的值.
3
2π
解析 (1)由题意得,T= π =6.
3
(π )
因为P(1,A)在y=Asin
x+φ
的图象上,
3
(π )
所以sin
+φ
=1.
3
π π
又因为0<φ< ,所以φ= .
2 6
(2)设点Q的坐标为(x,-A).
0曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π π 3π
由题意可知 x+ = ,得x=4,所以Q(4,-A).
3 0 6 2 0
2π
连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ= ,由余弦定理得
3
RP2+RQ2−PQ2
cos∠PRQ=
2RP·RQ
A2+9+A2−(9+4A2
) 1
= =- ,
2A·√9+A2 2
解得A2=3.
又A>0,所以A=√3.
评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,根据△PRQ的边
角关系,列出关于A的方程是求解关键.
考点二 三角函数的性质及其应用
( π)
1.(2019课标Ⅲ理,12,5分)设函数f(x)=sin
ωx+
(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结
5
论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
( π )
③f(x)在 0, 单调递增
10
[12 29)
④ω的取值范围是 ,
5 10
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 D 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识,通过对函
( π)
数f(x)=sin
ωx+
图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问题转化为熟悉问题的能力,
5
考查了直观想象的核心素养.
π
令t=ωx+ (ω>0),∵x∈[0,2π],
5
[π π]
∴t∈
,2ωπ+
且y=sin t,
5 5
∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,
[π π]
∴y=sin t在
,2ωπ+
上有且仅有5个零点,
5 5
π
∴2ωπ+ ∈[5π,6π),
5
[12 29)
∴ω∈ , ,故④正确.
5 10
[π π]
y=sin t在
,2ωπ+
上极值点的个数即为f(x)在[0,2π]上极值点的个数.
5 5
[π π]
由y=sin t在
,2ωπ+
上的图象可知f(x)在[0,2π]有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点,故
5 5
①正确,②错误.
( π ) (π ωπ π)
当x∈ 0, 时,t∈ , + ,
10 5 10 5
[12 29)
又ω∈ , ,
5 10
ωπ π [11π 49π)
∴ + ∈ , ,
10 5 25 100
49π π
∵ < ,
100 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(π ωπ π) ( π)
∴ , + ⊆ 0, ,
5 10 5 2
(π ωπ π)
∴y=sin t在t∈ , + 上单调递增.
5 10 5
( π )
∴y=f(x)在 0, 上单调递增,故③正确.
10
故选D.
π
解题关键 ①令t=ωx+ (ω>0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究.
5
( π) ( π)
②当ω>0时,y=sin
ωx+
的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin
ωx+
的增、
5 5
减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.
( π)
2.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin
2x+
的最小正周期为( )
3
π
A.4π B.2π C.π D.
2
答案 C 本题考查三角函数的性质.
( π) 2π
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin
2x+
的最小正周期T= =π.故选C.
3 ω
3.(2017山东文,7,5分)函数y=√3sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )
π 2π
A. B. C.π D.2π
2 3
答案 C 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.
( π)
y=√3sin 2x+cos 2x=2sin 2x+ ,
6
2π
从而最小正周期T= =π.
2
1 ( π) ( π)
4.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)= sin x+ +cos x− 的最大值为( )
5 3 6曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
6 3 1
A. B.1 C. D.
5 5 5
1 ( π) ( π)
答案 A ∵f(x)= sin x+ +cos x−
5 3 6
1(1 √3 ) √3 1
= sinx+ cosx + cos x+ sin x
5 2 2 2 2
3 3√3
= sin x+ cos x
5 5
3 ( π)
= ×2sin
x+
5 3
6 ( π)
= sin
x+
,
5 3
6
∴f(x)的最大值为 .
5
故选A.
( π) (π )
一题多解 ∵cos x− =cos −x
6 6
[π (π )] (π )
=sin − −x =sin +x ,
2 6 3
6 ( π) 6
∴f(x)= sin
x+
,∴f(x) = .故选A.
5 3 max 5
(π )
5.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos −x 的最大值为( )
2
A.4 B.5 C.6 D.7
( 3) 2 11
答案 B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 sinx− + ,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.
2 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(π )
思路分析 利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos −x 转化为关于sin x的二次函数,
2
通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
6.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( )
π 3π
A. B.π C. D.2π
2 2
( π) ( π) ( π) 2π
答案 B ∵f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)=4sin x+ ·cos x+ =2sin 2x+ ,∴T=
6 6 3 2
=π,故选B.
评析 本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.
7.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
1
答案 B f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c= (1-cos 2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周
2
期为2π,所以选B.
2π
8.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x= 时,函数
3
f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)
C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)
2π (2π) (4π ) 4π 3π
答案 A ∵ω>0,∴T= =π,∴ω=2.又A>0,∴f =-A,即sin
+φ
=-1,得φ+ =2kπ+ ,k∈Z,
ω 3 3 3 2
π ( π) ( π) ( π)
即φ=2kπ+ ,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin
2x+
,∴f(2)=Asin
4+
, f(-2)=Asin
−4+
,
6 6 6 6曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π π 3π 7π π ( 7π )
f(0)=Asin .∵π<4+ < ,∴f(2)<0.∵- <-4+ <-π,且y=sin x在 − ,−π 上为减函数,∴sin
6 6 2 6 6 6
( π) ( 7π) π ( π)
−4+ <sin − =sin ,且sin −4+ >sin(-π)=0,从而有0<f(-2)<f(0).故有f(2)<f(-2)<f(0).
6 6 6 6
π π
评析 本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+ 与-4+ 的范围
6 6
是解题的关键.
( π) ( π)
9.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos 2x+ ,④y=tan 2x− 中,最小正
6 4
周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
答案 A ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
( π) 2π
③y=cos
2x+
的最小正周期T= =π;
6 2
( π) π
④y=tan 2x− 的最小正周期T= .
4 2
因此选A.
评析 本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.
( π) (π )
10.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin ωx+ 在 ,π 单调递减,则ω的取值范围是( )
4 2
[1 5] [1 3]
A. , B. ,
2 4 2 4
( 1]
C. 0, D.(0,2]
2
π ωπ π π π
答案 A 由 <x<π得 + <ωx+ <ωπ+ ,
2 2 4 4 4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(π 3 )
又y=sin α在 , π 上递减,
2 2
ωπ π π
{ + ≥ ,
2 4 2
所以
π 3
ωπ+ ≤ π,
4 2
1 5
解得 ≤ω≤ ,故选A.
2 4
评析 本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.
( π)
11.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
ω>0,|φ|<
的最小正周期为π,且f(-
2
x)=f(x),则( )
( π)
A.f(x)在 0, 单调递减
2
(π 3π)
B.f(x)在 , 单调递减
4 4
( π)
C.f(x)在 0, 单调递增
2
(π 3π)
D.f(x)在 , 单调递增
4 4
π 2π
答案 A f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+ ,∵周期T= =π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函
4 ω
π π π
数,∴φ+ =kπ+ ,φ=kπ+ ,k∈Z.
4 2 4
π π ( π) ( π)
又|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=√2sin 2x+ =√2cos 2x,易得f(x)在 0, 上单调递减,故选A.
2 4 2 2
评析 本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试
题.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
( π) ( π)
12.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin
2x+
+cos
2x+
,则( )
4 4
( π) π
A.y=f(x)在 0, 单调递增,其图象关于直线x= 对称
2 4
( π) π
B.y=f(x)在 0, 单调递增,其图象关于直线x= 对称
2 2
( π) π
C.y=f(x)在 0, 单调递减,其图象关于直线x= 对称
2 4
( π) π
D.y=f(x)在 0, 单调递减,其图象关于直线x= 对称
2 2
( π) ( π) ( π)
答案 D f(x)=sin 2x+ +cos 2x+ =√2·sin 2x+ =√2cos 2x,其部分图象如图.故选D.
4 4 2
评析 本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解
决问题的能力,属中等难度试题.
( π) π π
13.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,|φ|≤
,x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图
2 4 4
( π 5π)
象的对称轴,且f(x)在 , 单调,则ω的最大值为( )
18 36
A.11 B.9 C.7 D.5
{ ( π)
ω· − +φ=mπ,
( π 5π) π 5π π 4
答案 B 由f(x)在 , 上单调,得 ≥ - ,∴ω≤12,依题意,有 (m、
18 36 ω 36 18 π π
ω· +φ=nπ+
4 2
n∈Z),曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{ω=2(n−m)+1,
∴
2(m+n)+1
φ= π.
4
π π ( π)
又|φ|≤ ,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ= ,取n=2,得ω=9, f(x)=sin
9x+
符合题意.当
2 4 4
π ( π) ( π 5 ) π
m+n=-1时,φ=- ,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin 11x− ,此时,当x∈ , π 时,11x- ∈
4 4 18 36 4
(13 23 )
π, π , f(x)不单调,不合题意.故选B.
36 18
解后反思 本题要求ω的最大值,正面入手难度较大,故对ω取特殊值进行检验.
( π)
14.(2018课标Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos
3x+
在[0,π]的零点个数为 .
6
答案 3
( π) kπ π π 4π
解析 令f(x)=0,得cos
3x+
=0,解得x= + (k∈Z).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当k=2时,x=
6 3 9 9 9
7π
,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
9
( π π) π
15.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ) − <φ< 的图象关于直线x= 对称,则φ的值是 .
2 2 3
π
答案 -
6
解析 本题考查正弦函数的图象和性质.
π π (2π )
∵函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,∴x= 时,函数取得最大值或最小值,∴sin
+φ
=±1.
3 3 3
2π π π
∴ +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z),
3 2 6曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π π π
又- <φ< ,∴φ=- .
2 2 6
( π) (π)
16.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos ωx− (ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x都成立,则ω的最
6 4
小值为 .
2
答案
3
解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用.
(π) (π)
∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立,∴f =1,
4 4
π π 2
∴ ·ω- =2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+ ,k∈Z.
4 6 3
2
又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值 .
3
π
名师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.
4
3( [ π])
17.(2017课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+√3cos x- x∈ 0, 的最大值是 .
4 2
答案 1
解析 本题主要考查三角函数的最值.
1 ( √3) 2
由题意可得f(x)=-cos2x+√3cos x+ =- cosx− +1.
4 2
[ π]
∵x∈ 0, ,∴cos x∈[0,1].
2
√3
∴当cos x= 时, f(x) =1.
2 max
18.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .
答案 √5
解析 本题主要考查三角函数的最值.
由题意可知f(x)=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(tan φ=2),
∴f(x)的最大值为√5.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
19.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函
数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
√π
答案
2
3
( π) π π π 2kπ− π
解析 由已知得f(x)=√2sin ωx+ ,令2kπ- ≤ωx+ ≤2kπ+ ,k∈Z,由ω>0,得 4 ≤x≤
4 2 4 2
ω
π
2kπ+
4 ,
ω
[ 3π π ]
k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为 − , ,
4ω 4ω
[ 3π π ]
所以(-ω,ω)⊆ − , ,
4ω 4ω
3π
{− ≤−ω,
4ω √π
所以 解得0<ω≤ ,
π 2
≥ω,
4ω
π π
又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+ =kπ+ ,
4 2
π √π √π
k∈Z,解得ω2=kπ+ ,k∈Z,又0<ω≤ ,所以ω= .
4 2 2
20.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .
答案 1
解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φ·cos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ-φ)
=sin x,
∴f(x)的最大值为1.
21.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为 .
答案 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x
=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x
=sin xcos φ-cos xsin φ
=sin(x-φ)≤1,
所以f(x) =1.
max
22.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= .
2√5
答案 -
5
(√5 2√5 ) 2√5 √5
解析 由辅助角公式得:f(x)=√5 sinx− cosx =√5sin(x-φ),其中sin φ= ,cos φ= ,由
5 5 5 5
π π ( π)
x=θ时, f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+ ,k∈Z,即θ=φ+ +2kπ,∴cos θ=cos
φ+
=-sin φ=-
2 2 2
2√5
.
5
评析 本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.
23.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+√3sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π ] 3
(2)若f(x)在区间 − ,m 上的最大值为 ,求m的最小值.
3 2
1 1 √3
解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x
2 2 2
( π) 1
=sin 2x− + .
6 2
2π
所以f(x)的最小正周期为T= =π.
2
( π) 1
(2)由(1)知f(x)=sin 2x− + .
6 2
π
由题意知- ≤x≤m.
3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5π π π
所以- ≤2x- ≤2m- .
6 6 6
[ π ] 3
要使得f(x)在 − ,m 上的最大值为 ,
3 2
( π) [ π ]
即sin 2x− 在 − ,m 上的最大值为1.
6 3
π π
所以2m- ≥ ,
6 2
π
即m≥ .
3
π
所以m的最小值为 .
3
24.(2016山东文,17,12分)设f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
π
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移 个单位,得
3
(π)
到函数y=g(x)的图象,求g 的值.
6
解析 (1)f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2√3sin2x-(1-2sin xcos x)
=√3(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-√3cos 2x+√3-1
( π)
=2sin 2x− +√3-1.
3
π π π
由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),
2 3 2
π 5π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
12 12
[ π 5π]
所以f(x)的单调递增区间是 kπ− ,kπ+ (k∈Z).
12 12曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
( ( π 5π) )
或 kπ− ,kπ+ (k∈Z)
12 12
( π)
(2)由(1)知f(x)=2sin 2x− +√3-1.
3
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
( π)
得到y=2sin x− +√3-1的图象,
3
π
再把得到的图象向左平移 个单位,
3
得到y=2sin x+√3-1的图象,
即g(x)=2sin x+√3-1.
(π) π
所以g =2sin +√3-1=√3.
6 6
方法总结 研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视
“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)
+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.
π π
25.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsin -x ·cos x- -√3.
2 3
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
[ π π]
(2)讨论f(x)在区间 − , 上的单调性.
4 4
{ π }
解析 (1)f(x)的定义域为
x|x≠ +kπ,k∈Z
.
2
( π)
f(x)=4tan xcos xcos x− -√3
3
( π)
=4sin xcos x− -√3
3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(1 √3 )
=4sin x cosx+ sinx -√3
2 2
=2sin xcos x+2√3sin2x-√3
=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3
( π)
=sin 2x-√3cos 2x=2sin 2x− .
3
2π
所以, f(x)的最小正周期T= =π.
2
π [ π π ]
(2)令z=2x- ,易知函数y=2sin z的单调递增区间是 − +2kπ, +2kπ ,k∈Z.
3 2 2
π π π π 5π
由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
2 3 2 12 12
[ π π] { π 5π } [ π π]
设A= − , ,B= x|− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z ,易知A∩B= − , .
4 4 12 12 12 4
[ π π] [ π π] [ π π ]
所以,当x∈ − , 时, f(x)在区间 − , 上单调递增,在区间 − ,− 上单调递减.
4 4 12 4 4 12
方法总结 研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差
的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sin x的性质进行研究.
评析 本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、
最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.
26(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
( π)
=√2sin 2ωx+ ,(3分)
4
2π π
所以f(x)的最小正周期T= = .(4分)
2ω ω曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π
依题意, =π,解得ω=1.(6分)
ω
( π)
(2)由(1)知f(x)=√2sin 2x+ .
4
[ π π]
函数y=sin x的单调递增区间为 2kπ− ,2kπ+ (k∈Z).(8分)
2 2
π π π
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2 4 2
3π π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).(12分)
8 8
[ 3π π]
所以f(x)的单调递增区间为 kπ− ,kπ+ (k∈Z).(13分)
8 8
易错警示 本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注
意x的系数.
评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.
( π)
27.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2 x− ,x∈R.
6
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π π]
(2)求f(x)在区间 − , 上的最大值和最小值.
3 4
解析 (1)由已知,有
( π)
1−cos2x 1−cos 2x− 1(1 √3 ) 1 √3 1 1
f(x)= - 3 = cos2x+ sin2x - cos 2x= sin 2x- cos 2x=
2 2 2 2 2 4 4 2
2
( π)
sin 2x− .
6
2π
所以, f(x)的最小正周期T= =π.
2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
[ π π] [ π π] ( π) 1 ( π)
(2)因为f(x)在区间 − ,− 上是减函数,在区间 − , 上是增函数, f − =- , f − =-
3 6 6 4 3 4 6
1 (π) √3 [ π π] √3 1
, f = .所以, f(x)在区间 − , 上的最大值为 ,最小值为- .
2 4 4 3 4 4 2
x x x
28.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=√2sin cos -√2sin2 .
2 2 2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
√2 √2
解析 (1)因为f(x)= sin x- (1-cos x)
2 2
( π) √2
=sin
x+
- ,
4 2
所以f(x)的最小正周期为2π.
3π π π
(2)因为-π≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ .
4 4 4
π π 3π
当x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值.
4 2 4
( 3π) √2
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f − =-1- .
4 2
29.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π]
(2)求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
2
( π)
解析 (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=√2sin 2x+ +1,
4
2π
所以函数f(x)的最小正周期为T= =π.
2
( π)
(2)由(1)的计算结果知,f(x)=√2sin 2x+ +1.
4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
[ π] π [π 5π]
当x∈ 0, 时,2x+ ∈ , ,
2 4 4 4
[π 5π]
由正弦函数y=sin x在 , 上的图象知,
4 4
π π π
当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最大值√2+1;
4 2 8
π 5π π
当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最小值0.
4 4 2
[ π]
综上,f(x)在 0, 上的最大值为√2+1,最小值为0.
2
评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.
( π)
30.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)
ω>0,|φ|<
在某一个周期内
2
的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π 5π
x
3 6
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中
(5π )
心为 ,0 ,求θ的最小值.
12
π
解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .
6
数据补全如下表:
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π π 7π 5π 13
x π
12 3 12 6 12
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
且函数表达式为f(x)=5sin( π).
2x−
6
(2)由(1)知 f(x)=5sin( π),
2x−
6
得g(x)=5sin( π).
2x+2θ−
6
因为y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
π
令2x+2θ- =kπ,
6
kπ π
解得x= + -θ,k∈Z.
2 12
由于函数y=g(x)的图象关于点(5π )中心对称,
,0
12
kπ π 5π
令 + -θ= ,
2 12 12
kπ π
解得θ= - ,k∈Z.
2 3
π
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值 .
6
31.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点( π )
,√3
12
和点(2π ).
,−2
3
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的
距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
解析 (1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.
