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5.3 三角函数的图象与性质
五年高考
考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2022浙江,6,4分,易)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin( π) 图象上
3x+
5
所有的点( )
π
A.向左平移 个单位长度
5
π
B.向右平移 个单位长度
5
π
C.向左平移 个单位长度
15
π
D.向右平移 个单位长度
15
1
2.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不
2
变,再把所得曲线向右平移π个单位长度,得到函数y=sin( π) 的图象,则f(x)= ( )
x−
3 4
A.sin(x 7π) (x π )
− B.sin +
2 12 2 12
C.sin( 7π) ( π )
2x− D.sin 2x+
12 12
3.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos( π) π个
2x+ 的图象向左平移
6 6
1 1
单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y= x− 的交点个数为 ( )
2 2
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分,中)设函数f(x)=cos( π) 在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的
ωx+
6
最小正周期为 ( )10π 7π
A. B.
9 6
4π 3π
C. D.
3 2
5.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=
( )
A.sin( π) (π )
x+ B.sin −2x
3 3
C.cos( π) (5π )
2x+ D.cos −2x
6 6
1
6.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y= 与曲线y=f(x)的
2
π
两个交点,若|AB|= ,则f(π)= .
6
考点2 三角函数的性质
1.(2023天津,5,5分,易)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的
解析式可能为 ( )
A.f(x)=sin(π ) B.f(x)=cos(π )
x x
2 2C.f(x)=sin(π ) D.f(x)=cos(π )
x x
4 4
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sin( π) 单调递增的区间是 ( )
x−
6
A.( π) (π )
0, B. ,π
2 2
C.( 3π) (3π )
π, D. ,2π
2 2
x x
3.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是 ( )
3 3
A.3π和√2 B.3π和2
C.6π和√2 D.6π和2
4.(2022北京,5,4分,易)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ( )
A. f(x)在 ( π π) 上单调递减
− ,−
2 6
B. f(x)在 ( π π ) 上单调递增
− ,
4 12
C. f(x)在 ( π) 上单调递减
0,
3
D. f(x)在 (π 7π) 上单调递增
,
4 12
5.(2023 全国乙理,6,5 分,中)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)在区间 (π 2π) 单调递增,直线 x=
,
6 3
π 2π为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f ( 5π)= ( )
和x= −
6 3 12
√3 1 1 √3
A.- B.− C. D.
2 2 2 26.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sin( π)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π0)在区间[0,2π]有且仅有3个零
点,则ω的取值范围是 .
13.(2022 全国乙理,15,5 分,中)记函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 T.若
√3 π
f(T)= ,x= 为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
2 9
14.(2020江苏,10,5分,中)将函数y=3sin( π) π个单位长度,则平移后
2x+ 的图象向右平移
4 6
的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
1
15.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+ 有如下四个命题:
sinx
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
π
③f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
16.(2023北京,17,13分,中)设函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ( π).
ω>0,|φ|<
2
√3
(1)若f(0)=- ,求φ的值;
2
(2)已知f(x)在区间[ π 2π]上单调递增, f (2π)=1,再从条件①、条件②、条件③这三
− ,
3 3 3
个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①: f (π) ;
=√2
3
条件②: f ( π)=-1;
−
3条件③: f(x)在区间[ π π]上单调递减.
− ,−
2 3
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按
第一个解答计分.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东湛江调研,4)已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x+2(a>0)的最小值为0,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.√3
x π
2.(2023北京昌平二模,5)将函数y=2cos2 −1的图象向右平移 个单位长度,所得图象对
2 4
应的函数 ( )
A.在区间[ π π]上单调递增
− ,
6 3
B.在区间[ π π]上单调递减
− ,
6 3
C.在区间[5π 7π]上单调递增
,
12 12
D.在区间[5π 7π]上单调递减
,
12 12
x x x 1
3.(2023皖南八校一模,6)已知函数f(x)=√3sin cos −sin2 + ,则下列结论正确的有(
2 2 2 2
)A.|f(x)|的最小正周期为2π
π
B.直线x=- 是f(x)图象的一条对称轴
3
C. f(x)在 ( π) 上单调递增
0,
2
D.若f(x)在区间[ π ]上的最大值为1,则m≥π
− ,m
2 3
4.(2024届福建厦门外国语学校期中,5)将函数f(x)=sin( π)(ω>0)的图象向左平移 π
ωx+
6 2ω
个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在[ π]上单调递减,则ω的取值范围为( )
0,
2
A.(0,3] B.(0,2] C.( 4] ( 5]
0, D. 0,
3 3
5.(2024届江苏连云港海州高级中学阶段测试,7)已知函数f(x)=sin x+√3cos x(x∈R),先将
1
y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将得到的图象上所有的点
3
向右平移θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值为 ( )
11π π 2π 5π
A. B. C. D.
18 3 3 18
6.(2024届四川眉山仁寿铧强中学诊断,10)已知函数f(x)=sin( π),则下列结论不正确
2x−
3
的是 ( )
5π
A.若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为
12
B.(2π ) 是函数f(x)图象的一个对称中心
,0
3
C.π为函数|f(x)|的一个周期
π
D.将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到一个偶函数的图象
127.(2024届云南昆明五华期中,13)函数f(x)=sin 2x+cos 2x在[ π]上的最大值是 .
0,
2
8.(2024届北京交大附中月考,12)函数f(x)=cos(πx+φ)( π) 的部分图象如图所示,则φ=
0<φ<
2
,x = .
0
综合拔高练
1.(2023河南郑州二模,9)将函数y=sin ( π) 图象上的点A(m,n)向右平移1个周期得到
2x+
3 4
点A',若A'位于函数y=cos 2x的图象上,则m的值可以是 ( )
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 3 12
2.(2024届四川雅安零诊,12)已知函数 f(x)=3sin( 4x+ π) +4sin ( 4x− π),设∀x∈R,∃x 0 ∈R,
3 6
f(x)≤f(x
0
),则tan(
4x −
2π) 等于 ( )
0 3
4 3 3 4
A.- B.− C. D.
3 4 4 3
3.(多选)(2024届山东德州临邑第一中学月考,9)在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以
坐标原点为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终点经过点P(x ,y ),且|OP|=r(r>0),定义:sos x=
0 0
y +x
0 0,称“sos x”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数f(x)=sos x”,有同学得到以下性质,
r
其中正确的是 ( )
A. f(x)的值域为[-√2,√2]
B. f(x)的图象关于 (π ) 对称
,0
4
3
C. f(x)的图象关于直线x= π对称
4D. f(x)为周期函数,且最小正周期为2π
{−1,x<0,
4.(多选)(2024届辽宁朝阳联考,12)设符号函数sgn(x)= 0,x=0, 已知函数f(x)=sgn(x+π)sin
1,x>0,
x+cos(x+π),则 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在[ π]上的值域为[- , ]
−2π, √2 √2
4
C.f(x)在[ π]上单调递减
−π,−
4
D.函数g(x)=2f(x)-1在[-3π,2π]上有5个零点
5. (多选)(2024届广东江门调研,12)若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)对任意x∈R,都有
f ( 2π ) (π )=0, f '(π ) (π )=0,其中 f '(x)为 f(x)的导数,则下列结
− +x +f −x −x +f ' +x
3 6 3 6
论正确的是( )
A.点 ( π ) 是函数f(x)图象的一个对称中心
− ,0
4
B.ω必定为奇数
C.当ω=3时, f(x)在 ( π π) 上单调递增
− ,
12 6
D.当ω=5时, f(x)在 ( π) 上存在极值
0,
6
6.(2023浙江强基联盟2月统测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π), f(x)≤| (π)|, f(x)
ω>0,|φ|< f
2 6
+f (4π )=0, f(x)在 ( π π) 上单调,则正整数ω的最大值为 .
−x ,
3 36 6
7.(2024届浙江名校联盟模拟(一),16)已知函数f(x)=√3cos ωx-sin ωx(ω>0)在区间[0,π]上
恰有三个极值点和三个零点,则ω的取值范围是 .8.(2024届黑龙江佳木斯第一中学第三次调研,16)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)( π)
ω>0,0<φ<
2
的部分图象如图, f(x )=f(x )=-2,则cos[π ]= .
1 2 (x −x )
3 6 2 1
5.3 三角函数的图象与性质
五年高考
考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2022浙江,6,4分,易)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin( π) 图象上
3x+
5
所有的点( )
π
A.向左平移 个单位长度
5
π
B.向右平移 个单位长度
5
π
C.向左平移 个单位长度
15
π
D.向右平移 个单位长度
15
答案 D
1
2.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不
2
变,再把所得曲线向右平移π个单位长度,得到函数y=sin( π) 的图象,则f(x)= ( )
x−
3 4A.sin(x 7π) (x π )
− B.sin +
2 12 2 12
C.sin( 7π) ( π )
2x− D.sin 2x+
12 12
答案 B
3.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos( π) π个
2x+ 的图象向左平移
6 6
1 1
单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y= x− 的交点个数为 ( )
2 2
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
4.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分,中)设函数f(x)=cos( π) 在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的
ωx+
6
最小正周期为 ( )
10π 7π
A. B.
9 6
4π 3π
C. D.
3 2
答案 C
5.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=
( )A.sin( π) (π )
x+ B.sin −2x
3 3
C.cos( π) (5π )
2x+ D.cos −2x
6 6
答案 BC
1
6.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y= 与曲线y=f(x)的
2
π
两个交点,若|AB|= ,则f(π)= .
6
√3
答案 -
2
考点2 三角函数的性质
1.(2023天津,5,5分,易)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的
解析式可能为 ( )
A.f(x)=sin(π ) B.f(x)=cos(π )
x x
2 2
C.f(x)=sin(π ) D.f(x)=cos(π )
x x
4 4
答案 B
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sin( π) 单调递增的区间是 ( )
x−
6
A.( π) (π )
0, B. ,π
2 2
C.( 3π) (3π )
π, D. ,2π
2 2
答案 Ax x
3.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是 ( )
3 3
A.3π和√2 B.3π和2
C.6π和√2 D.6π和2
答案 C
4.(2022北京,5,4分,易)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ( )
A. f(x)在 ( π π) 上单调递减
− ,−
2 6
B. f(x)在 ( π π ) 上单调递增
− ,
4 12
C. f(x)在 ( π) 上单调递减
0,
3
D. f(x)在 (π 7π) 上单调递增
,
4 12
答案 C
5.(2023 全国乙理,6,5 分,中)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)在区间 (π 2π) 单调递增,直线 x=
,
6 3
π 2π为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f ( 5π)= ( )
和x= −
6 3 12
√3 1 1 √3
A.- B.− C. D.
2 2 2 2
答案 D
6.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sin( π)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π0)在区间[0,2π]有且仅有3个零
点,则ω的取值范围是 .
答案 [2,3)
13.(2022 全国乙理,15,5 分,中)记函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 T.若
√3 π
f(T)= ,x= 为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
2 9
答案 3
14.(2020江苏,10,5分,中)将函数y=3sin( π) π个单位长度,则平移后
2x+ 的图象向右平移
4 6
的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
5
答案 x=- π
24
1
15.(2020课标Ⅲ理,16,5分,难)关于函数f(x)=sin x+ 有如下四个命题:
sinx
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
π
③f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
答案 ②③
16.(2023北京,17,13分,中)设函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ( π).
ω>0,|φ|<
2
√3
(1)若f(0)=- ,求φ的值;
2
(2)已知f(x)在区间[ π 2π]上单调递增, f (2π)=1,再从条件①、条件②、条件③这三
− ,
3 3 3
个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①: f (π) ;
=√2
3条件②: f ( π)=-1;
−
3
条件③: f(x)在区间[ π π]上单调递减.
− ,−
2 3
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按
第一个解答计分.
解析 (1)由题意得f(x)=sin(ωx+φ),
√3 π π
∴f(0)=sin φ=- ,∵|φ|< ,∴φ=- .
2 2 3
(2)条件①与f(x)在[ π 2π]上单调递增, f (2π)=1矛盾,显然不选条件①.
− ,
3 3 3
选条件②.
∵f(x)在[ π 2π]上单调递增,且f (2π)=1, f ( π)=-1,∴T 2π ( π)=π,∴T=2π=2π,
− , − = − −
3 3 3 3 2 3 3 ω
∴ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ),∵f (2π) (2π )=1,
=sin +φ
3 3
2π π π
∴ +φ= +2kπ(k∈Z),即φ=- +2kπ(k∈Z),
3 2 6
π π
∵|φ|< ,∴φ=- .
2 6
选条件③.
∵f(x)在[ π π]上单调递减,在[ π 2π]上单调递增,∴f(x)在x=-π处取得最小值,
− ,− − ,
2 3 3 3 3
即f ( π)=-1.
−
3
以下同选条件②.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东湛江调研,4)已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x+2(a>0)的最小值为0,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.√3答案 D
x π
2.(2023北京昌平二模,5)将函数y=2cos2 −1的图象向右平移 个单位长度,所得图象对
2 4
应的函数 ( )
A.在区间[ π π]上单调递增
− ,
6 3
B.在区间[ π π]上单调递减
− ,
6 3
C.在区间[5π 7π]上单调递增
,
12 12
D.在区间[5π 7π]上单调递减
,
12 12
答案 D
x x x 1
3.(2023皖南八校一模,6)已知函数f(x)=√3sin cos −sin2 + ,则下列结论正确的有(
2 2 2 2
)
A.|f(x)|的最小正周期为2π
π
B.直线x=- 是f(x)图象的一条对称轴
3
C. f(x)在 ( π) 上单调递增
0,
2
D.若f(x)在区间[ π ]上的最大值为1,则m≥π
− ,m
2 3
答案 D
4.(2024届福建厦门外国语学校期中,5)将函数f(x)=sin( π)(ω>0)的图象向左平移 π
ωx+
6 2ω
个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数g(x)在[ π]上单调递减,则ω的取值范围为( )
0,
2A.(0,3] B.(0,2] C.( 4] ( 5]
0, D. 0,
3 3
答案 D
5.(2024届江苏连云港海州高级中学阶段测试,7)已知函数f(x)=sin x+√3cos x(x∈R),先将
1
y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将得到的图象上所有的点
3
向右平移θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值为 ( )
11π π 2π 5π
A. B. C. D.
18 3 3 18
答案 D
6.(2024届四川眉山仁寿铧强中学诊断,10)已知函数f(x)=sin( π),则下列结论不正确
2x−
3
的是 ( )
5π
A.若函数f(x)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为
12
B.(2π ) 是函数f(x)图象的一个对称中心
,0
3
C.π为函数|f(x)|的一个周期
π
D.将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到一个偶函数的图象
12
答案 A
7.(2024届云南昆明五华期中,13)函数f(x)=sin 2x+cos 2x在[ π]上的最大值是 .
0,
2
答案 √2
8.(2024届北京交大附中月考,12)函数f(x)=cos(πx+φ)( π) 的部分图象如图所示,则φ=
0<φ<
2
,x = .
0π 5
答案 ;
6 3
综合拔高练
1.(2023河南郑州二模,9)将函数y=sin ( π) 图象上的点A(m,n)向右平移1个周期得到
2x+
3 4
点A',若A'位于函数y=cos 2x的图象上,则m的值可以是 ( )
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 3 12
答案 D
2.(2024届四川雅安零诊,12)已知函数 f(x)=3sin( 4x+ π) +4sin ( 4x− π),设∀x∈R,∃x 0 ∈R,
3 6
f(x)≤f(x
0
),则tan(
4x −
2π) 等于 ( )
0 3
4 3 3 4
A.- B.− C. D.
3 4 4 3
答案 B
3.(多选)(2024届山东德州临邑第一中学月考,9)在平面直角坐标系xOy中,已知任意角θ以
坐标原点为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终点经过点P(x ,y ),且|OP|=r(r>0),定义:sos x=
0 0
y +x
0 0,称“sos x”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数f(x)=sos x”,有同学得到以下性质,
r
其中正确的是 ( )
A. f(x)的值域为[-√2,√2]
B. f(x)的图象关于 (π ) 对称
,0
4
3
C. f(x)的图象关于直线x= π对称
4
D. f(x)为周期函数,且最小正周期为2π
答案 AD
{−1,x<0,
4.(多选)(2024届辽宁朝阳联考,12)设符号函数sgn(x)= 0,x=0, 已知函数f(x)=sgn(x+π)sin
1,x>0,
x+cos(x+π),则 ( )A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在[ π]上的值域为[- , ]
−2π, √2 √2
4
C.f(x)在[ π]上单调递减
−π,−
4
D.函数g(x)=2f(x)-1在[-3π,2π]上有5个零点
答案 CD
6. (多选)(2024届广东江门调研,12)若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)对任意x∈R,都有
f ( 2π ) (π )=0, f '(π ) (π )=0,其中 f '(x)为 f(x)的导数,则下列结
− +x +f −x −x +f ' +x
3 6 3 6
论正确的是( )
A.点 ( π ) 是函数f(x)图象的一个对称中心
− ,0
4
B.ω必定为奇数
C.当ω=3时, f(x)在 ( π π) 上单调递增
− ,
12 6
D.当ω=5时, f(x)在 ( π) 上存在极值
0,
6
答案 ABD
6.(2023浙江强基联盟2月统测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π), f(x)≤| (π)|, f(x)
ω>0,|φ|< f
2 6
+f (4π )=0, f(x)在 ( π π) 上单调,则正整数ω的最大值为 .
−x ,
3 36 6
答案 7
7.(2024届浙江名校联盟模拟(一),16)已知函数f(x)=√3cos ωx-sin ωx(ω>0)在区间[0,π]上
恰有三个极值点和三个零点,则ω的取值范围是 .
答案 (17 10)
,
6 38.(2024届黑龙江佳木斯第一中学第三次调研,16)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)( π)
ω>0,0<φ<
2
的部分图象如图, f(x )=f(x )=-2,则cos[π ]= .
1 2 (x −x )
3 6 2 1
1
答案
3
