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第五章 三角函数章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.
【详解】因为 ，
所以由函数 的图象向左平移 个单位长度可以得到函数 的图象，
故选：C
2．已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：依题意，可得2sinαcosα= ＜0，又α∈（0，π），于是得sinα＞0，cosα＜0，sinα-cosα＞0，对所求的关系式平方后再开方即可．
详解：因为 ，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα= ，∴2sinαcosα= ＜0，又α∈（0，
π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα-cosα＞0，∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= ，∴sinα-cosα=
故选D．
点睛：本题考查同角三角函数间的关系，判断出sinα-cosα＞0是关键，考查运算求解能力，属于中档题．
3．已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
4．关于函数 有下述四个结论：①若 ，则
；② 的图象关于点 对称；③函数 在 上单调递增；④
的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于 轴对称.其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．①② C．③④ D．②④
【答案】D
【解析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据 的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.
【详解】①由 知 ， 是 图象的两个对称中心，
则 是 的整数倍（ 是函数 的最小正周期），即 ，所以结论①错误；
②因为 ，所以 是 的对称中心，所以结论②正确；
③由 解得 ，
当 时， 在 上单调递增，则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
结论③错误；
④ 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数为
，
是偶函数，所以图象关于 轴对称，所以结论④正确.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用，难度一般.(1) 的对称中心对应的
函数值为 ，对称轴对应的函数值为 ；(2)分析 的单调性，可令 满足
的单调区间，从而可求 的单调区间.
5．设 ，则 tan =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 利用正切函数的和差公式求解即可.【详解】所以 .
故选：D.
6．把函数 的图象向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象的平移变换可得到平移后的图象对应的函数的解析式，根据函数为偶函数，
可求得结果.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位后,
得到的图象对应的解析式是： ，
由于该函数为偶函数，故 ，
即 ，而 ，
故 ，
故选：D
7．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 求得 ，利用 的范围和
可得答案.【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
可得 .
故选：A.
8．已知函数 ， .若函数 只有一个极大值和一个极小值，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，根据 的范围，表示出 的范围，则问题等价于 在
上只有一个极大值和一个极小值，即可得到不等式组，解得即可，
【详解】解：令 ，因为 ，所以 则问题转化为
在 上只有一个极大值和一个极小值，
因为 函数 只有一个极大值和一个极小值，则 ，即 ，又 ，所
以 ，所以则 解得 故
故选：C
【点睛】本题考查正弦函数的性质的应用，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 轴对称，则实数 的值可能
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用辅助角公式可得 ，根据图象平移有 ，确定平移后的解析
式，根据对称性得到 的表达式，即可知可能值.
【详解】由题意，得： ，图象向左平移 个单位，
∴ 关于 轴对称，
∴ ，即 ，
故当 时， ；当 时， ；
故选：BD
10．函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A． 在 上单调递减
B． 关于直线 对称
C． 关于点 对称
D． 在 上的最小值为
【答案】BD
【分析】根据图象求出函数的解析式，然后结合正弦函数的图象和性质逐项进行判断即可求解.
【详解】由图象可知 ， ， ．
又 ，则 ，故 ．若 ，则 ，则 在
上单调递增，故选项 错误；
，则 关于直线 对称，故选项 正确；
，则 不关于点 对称，故选项 错误；
若 ，则 ，故 时， 取最小值 ，故选项 正确．
故选： .
11．若函数 同时满足以下条件：① 是函数 的零点，且；② ，有 ，则（ ）
A．
B．将 的图象向左平移 个单位长度得到的图象解析式为
C． 在 上单调递减
D．直线 是曲线 的一条对称轴
【答案】ABC
【分析】由条件先得出 ，再利用三角函数的图象与性质逐项分析正误即可.
【详解】函数 的零点，即方程 的解，所以 ， ，
由②知 是函数 的一条对称轴，则有 ，
解得 ，所以 .故A正确；
将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 .故B正确；
令 ，即 时函数单调递减， ，故C正确；
时， ，显然不是函数的对称轴，故D错误；
故选：ABC
12．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）A． 为函数 的一个周期 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上为减函数 D．函数 的值域为
【答案】ABD
【分析】计算 可判断A;计算 可判断B;将 化简为
，结合正弦函数的性质可判断C,D.
【详解】因为 ，
所以 为函数 的一个周期，故A正确；
因为 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
因为 ，
因为 ，所以 ，故 ，
由于 ，故 在 上为增函数，故C错误；
由C的分析可知 在 上为增函数，所以 ，
故D正确，
故选：ABD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】利用根式函数的定义域求法和正切函数不等式求解.【详解】解：由函数 ，
则 ，即 ，
解得 ，
所以函数的定义域是 ，
故答案为：
14．已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为______．
【答案】6
【分析】联立公式 和 ，即可得到本题答案.
【详解】设半径为 ，弧长为 ，
由题得， ， ，
②代入①得， ，所以 ，则 .
故答案为：6
15．已知 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】由 可得答案.
【详解】 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为： .
16．若函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心，则 的取值范围为________．
【答案】
【分析】化简 解析式，求得 的取值范围，根据三角函数对称轴和对称中心的知识列不等式，由
此求得 的取值范围.
【详解】由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，
要使得函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．
故答案为：
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象向右平移 个单位,再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变,然后再向下平移 个单位,得到 的图象,求 在 上的值域.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据函数图象上的最大值和最小值，求出 ，根据特殊点求出函数周期，结合 ，
得 ，再将点 代入 的解析式，求出 的值，从而得到函数的解析式；
（2）根据函数平移与缩放的规则，得 ，再由 得 ，结合函
数图象即可求出答案.
【详解】（1）由图可知, ， ，
由 可得： ，
再将点 代入 的解析式,得 ,
得 ，结合 ，可知 .
故 ；
（2）将 的图象向右平移 个单位，得到 ，
再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变,然后再向下平移 个单位,得到
，， ，
，
.
18．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
19．小明同学用“五点法”作某个正弦型函数 在一个周期内的图象时，
列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数 ， ， 的值；
（2）该函数在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） ， ， ；（2）最大值是3，最小值是 .
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解 ， ， 的值即可.
（2）首先根据（1）知： ，根据题意得到 ，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，即 ，
因为函数图象过点 ，则 ，即 ，
所以 ， ，解得 ， ，又因为 ，所以 .
（2）由（1）可知 .
因为 ，所以 ，
因此，当 时，即 时， ，
当 时，即 时， .
所以该函数在区间 上的最大值是3，最小值是 .
20．已知函数
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，然后再向右平移 ( )个单位
长度，所得函数的图象关于 轴对称．求 的最小值
【答案】(1) ， ， ．（2） .
【分析】(1) 根据诱导公式，二倍角公式，辅助角公式把 化为 的形式，再根据复合函数单
调性求解；(2)先根据变换关系得到函数解析式，所得函数的图象关于 轴对称，则 时， .
【详解】(1)
当即 时，函数单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 .
(2) 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，
纵坐标不变，然后再向右平移 ( )个单位长度，
所得函数为 ，
若图象关于 轴对称，则 ，
即 ，解得 ，
又 ，则当 时， 有最小值 .
【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图像的变换.关键在于化为 的形式，三角函数的平移
变换是易错点.
21．已知函数 ，其中 ．
(1)若函数 的周期为 ，求函数 在 ， 的值域；
(2)若 在区间 ， 上为增函数，求 的最大值，并求 取最大值时函数 的对称轴．
【答案】(1) ，
(2) 的最大值为2， ， ．
【分析】（1）由三角恒等变换化简 ，利用周期公式求解 的值，可得 的解析式，再由正弦函数
的性质求得值域；
（2）由正弦函数的单调性可求得 的取值范围，从而可得 的最大值，求出 的解析式，由正弦函数
的对称性即可得解．【详解】（1） ，
若函数 的周期为 ，则 ，可得 ，
所以 ，
由 ， ，可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
即函数 在 ， 上的值域为 ， ．
（2）因为 ， ，
所以 ，
因为 在区间 ， 上为增函数，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以取 ，可得 ，
所以 的最大值为2，
此时 ，
令 ， ，解得 ， ，所以函数 的对称轴为 ， ．
22．已知函数 ．
(1)求 最小正周期；
(2)将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，再将得到的函数图象向右平移 个单位，最后得到函
数 ，求函数 的单调递增区间；
(3)若 在 上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由三角函数的变换规则求出 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（3）由 的取值范围求出 的取值范围，从而求出函数的值域，依题意可得 ，解得即可.
【详解】（1）因为
，
所以函数 的最小正周期为 ．（2）将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，可得到函数 的图象，
再将 的函数图象向右平移 个单位，最后得到函数 的图象，
则 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ．
（3）当 时， ，
则 所以 ， 在区间 上的值域为 ．
由 ，得 ，
由 在 上恒成立，得 ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
