文档内容
专题 09 三角函数的图象与性质小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 任意角和
1. 了解任意角和弧度制的概
弧度制及求扇形
念，能进行弧度与角度的互
的弧长、面积计 2022·全国甲卷、2020·浙江卷、2015·山东卷
化，借助单位圆理解三角函数
算
(正弦、余弦、正切)的定义，
（10年3考）
并能利用三角函数的定义解决
考点2 任意角的
相关问题，理解并掌握同角三
三角函数 2020·山东卷、2020·全国卷、2018·北京卷 角函数的基本关系式（平方关
（10年3考） 系+商数关系），够利用公式
2024·全国甲卷、2023·全国乙卷、2021·全国甲卷 化简求值，能借助单位圆的对
考点3 同角三角
2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·江苏卷 称性利用三角函数定义推导出
函数的基本关系
2018·全国卷、2018·全国卷、2016·全国卷 诱导公式，能够运用诱导公式
（含弦切互化）
2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·福建卷 解决相关问题，该内容是新高
（10年8考）
2015·四川卷 考卷的必考内容，一般会考查
三角函数化简求值或特殊角求
考点4 诱导公式
2023·全国甲卷、2022·浙江卷
三角函数值，需加强复习备考
及其化简求值
2017·全国卷、2017·北京卷
（10年3考）
2. 能用五点作图法作出正弦、
2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·上海卷
考点5 三角函数 余弦和正切函数图象，并掌握
2024·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷
的图象与性质 图象及性质，能用五点作图法
2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全国甲卷
（基础） 作出正弦型、余弦型和正切型
2021·全国乙卷、2019·北京卷、2018·全国卷
（10年6考） 函数图象，并掌握图象及性质
2017·山东卷、2017·全国卷
会求参数及函数解析式
2024·天津卷、2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ
该内容是新高考卷的必考内
卷
容，一般会综合考查三角函数
考点6 三角函数
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙
的图象与性质的综合应用，需
的图象与性质
卷2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·全国新
加强复习备考
（拔高）
Ⅱ卷
（10年10考）
2022·全国甲卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷
3. 理解并掌握三角函数的图象
2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷
与性质，会先平移后伸缩或先2020·山东卷、2020·全国卷、2019·全国卷
2019·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷
2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·全国卷
2018·全国卷、2018·北京卷、2017·全国卷
2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷
2016·全国卷、2016·全国卷、2016·山东卷
2016·浙江卷、2016·上海、2015·四川卷、
2015·安徽卷、2015·北京卷、2015·浙江卷
2015·湖南卷
考点7 三角函数
的图象与性质 2017·天津卷、2017·上海卷、2016·天津卷 伸缩后平移来综合解决三角函
（压轴） 2016·全国卷、2015·上海卷 数的伸缩平移变换，该内容是
（10年3考） 新高考卷的载体内容，一般会
2023·全国甲卷、2022·天津卷、2022·浙江卷 结合三角函数的图象与性质综
合考查三角函数的伸缩平移变
2022·全国甲卷、2021·全国乙卷、2020·天津卷
换，需加强复习备考
考点8 三角函数 2020·江苏卷、2019·天津卷、2018·天津卷
的伸缩平移变换 2018·天津卷、2017·全国卷、2016·四川卷
（10年9考） 2016·全国卷、2016·北京卷、2016·全国卷
2016·四川卷、2016·全国卷、2016·全国卷
2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
考点01 任意角和弧度制及求扇形的弧长、面积计算
1．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．
“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】连接 ，分别求出 ，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
2．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位： ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，
则这个圆锥的底面半径（单位： ）是 ．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
3．（2015·山东·高考真题）终边在 轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【详解】终边在 轴正半轴上的角的集合是
故选：A
考点02 任意角的三角函数1．（2020·山东·高考真题）已知直线 的图像如图所示，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出 、 ，即可得出结果.
【详解】结合图像易知， ， ，
则角 是第四象限角，
故选：D.
2．（2020·全国·高考真题）若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当 时， ，选项B错误；
当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
3．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），
点P在其中一段上，角 以 为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段 为余弦线，有向线段 为正弦线，有向线段 为正切线.
A选项：当点 在 上时， ，
，故A选项错误；
B选项：当点 在 上时， ， ，
，故B选项错误；
C选项：当点 在 上时， ， ，
，故C选项正确；
D选项：点 在 上且 在第三象限， ，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到
所对应的三角函数线进行比较.考点03 同角三角函数的基本关系（含弦切互化）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求 ，进而可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
3．（2021·全国甲卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
5．（2020·全国·高考真题）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角
间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】 ，得 ，即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能
力，属于基础题.
6．（2019·江苏·高考真题）已知 ，则 的值是 .
【答案】 .
【分析】由题意首先求得 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求
值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由 ，
得 ，
解得 ，或 .
，
当 时，上式
当 时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转
化与化归思想解题.7．（2018·全国·高考真题）已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得 ， ．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得 ，则 ．
又 或 ，所以 ．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由 ，可得 ，则 或
．
若 ，代入得 ，即
．
若 ，代入得 ，与题设矛盾．
综上所述， ．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由 ，得 ．
又 ， ，即 ，则
．从而 ．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则 或 ．若 ，则 ，即 ．
当k为偶数时， ，由 ，得 ，又
，所以 ．
当k为奇数时， ，得 ，这与已知矛盾．
若 ，则 ．则 ，得 ，
这与已知矛盾．
综上所述， ．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
8．（2018·全国·高考真题）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析:将函数 进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
9．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】试题分析：由 ，得 或 ，所以，故选A．
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，
进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
10．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
分子分母同时除以 ，即得： .
故选D.
11．（2015·重庆·高考真题）若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
,
所以 原式
，
故选C.
点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适
的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件
可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.
本题主要考查两角和与差的公式.12．（2015·福建·高考真题）若 ，且 为第四象限角，则 的值等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵sina= ,且a为第四象限角,
∴ ，
则 ，
故选D.
13．（2015·四川·高考真题）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是 .
【答案】－1
【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝
考点：本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.
考点04 诱导公式及其化简求值
1．（2023·全国甲卷·高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .故答案为：2.
2．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 ， ．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
3．（2017·全国·高考真题）函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得 ，则 ,
函数 的最大值为 .
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通
过变换把函数化为 的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注
意观察角、函数名、结构等特征．
4．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对
称.若 ,则 .
【答案】
【详解】试题分析：因为角 与角 的终边关于 轴对称，所以 ，所以
.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若 与 的终边关于
轴对称，则 ，若 与 的终边关于 轴对称，则 ，若 与 的终
边关于原点对称，则 .
5．（2016·四川·高考真题） = .
【答案】
【详解】试题分析：由三角函数的诱导公式得 .
【考点】三角函数的诱导公式
【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．
有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得
解．
考点05 三角函数的图象与性质（基础）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 ，当 时， ，当 时，即 时， .
故答案为：2
2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故
A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
3．（2024·上海·高考真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．4．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小值为
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
5．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数 的图像关于点 中
心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
6．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得
解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
7．（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
8．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
9．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为 ．【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小
正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的最
小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求解 .
10．（2021·全国乙卷·高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期
为 ，最大值为 .
故选：C．
11．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
【答案】 .
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数 ,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
12．（2018·全国·高考真题）函数 在 的零点个数为 ．
【答案】
【分析】方法一：求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】
由题可知 ，或
解得 ,或 故有3个零点．
故答案为： ．
方法二：
令 ，即 ，解得， ，分别令 ，得
，所以函数 在 的零点的个数为3．
故答案为： ．
【整体点评】方法一：先求出 的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
13．（2017·山东·高考真题）函数y＝ sin2x＋cos 2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.
【详解】∵y＝2 ＝2sin ，
，
故选：C.
【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.
14．（2017·全国·高考真题）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意 ，故选C．
【名师点睛】函数 的性质：
(1) .
(2)最小正周期
(3)由 求对称轴.
(4)由 求增区间;由 求减区间.
考点06 三角函数的图象与性质（拔高）
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在
的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出 ，得 ，再整体求出 时， 的
范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】 ，由 得 ，
即 ，当 时， ，
画出 图象，如下图，
由图可知， 在 上递减，
所以，当 时，
故选：A
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
3．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可
得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .故选：C.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线
和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
6．（2023·天津·高考真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
7．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
8．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
9．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，
且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求
的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先
把 化为正数．
11．（2020·全国·高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数
图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即
可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
12．（2019·全国·高考真题）若x= ，x= 是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 =
1 2
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得 .
【详解】由题意知， 的周期 ，得 ．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式
法，利用方程思想解题．
13．（2019·全国·高考真题）设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，
下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得 ，结合正弦函数的
图像分析得出答案．【详解】当 时， ，
∵f（x）在 有且仅有5个零点，
∴ ，
∴ ，故④正确，
由 ，知 时，
令 时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当 时， ，
若f（x）在 单调递增，
则 ，即 ，
∵ ，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思
想解三角函数问题，属于中档题．
14．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即
可做出选择．
【详解】因为 图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为 ，周期为 ，排
除C，作出 图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递增，A正确；作出 的
图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递减，排除B，故选A．【点睛】
利用二级结论：①函数 的周期是函数 周期的一半；② 不是周期函数；
15．（2019·全国·高考真题）关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】 为偶函数，故①正确．当 时，
，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点：
；当 时， ，它有一个零点： ，故 在 有 个零
点： ，故③错误．当 时， ；当
时， ，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④
正确．综上所述，①④ 正确，故选C．【点睛】画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
16．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
D． 的最小正周期为 ，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，之后应
用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
且最大值为 ，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解
题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
17．（2018·全国·高考真题）若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以由 得
因此 ，从而 的最大值为 ，故选：A.
18．（2017·全国·高考真题）设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x= 对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在( ,π)单调递减
【答案】D
【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f ＝cos ＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos ＝－cos ，∴f ＝－cos ＝－cos ＝0，故C正确；
由于f ＝cos ＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在 上不单调，故D错误．
故选D.
19．（2017·全国·高考真题）函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得 ，
则 ,
函数 的最大值为 .
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通
过变换把函数化为 的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注
意观察角、函数名、结构等特征．
20．（2016·全国·高考真题）函数 的部分图象如图所示，则A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题图知， ，最小正周期 ，所以 ，所以
.因为图象过点 ，所以 ，所以 ，所以
，令 ，得 ，所以 ，故选A.
【考点】三角函数的图象与性质
【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数 图象的最高点、最低点
确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
21．（2016·全国·高考真题）函数 的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】试题分析：因为 ，而 ，所以当 时，
取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 时，函数 取得最大值.
22．（2016·山东·高考真题）函数 的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
【答案】B
【分析】因为 ，根据辅助角公式可化简为
，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.
【详解】
,
故最小正周期 ,
故选：B.
【点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题
目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能
较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.
23．（2016·浙江·高考真题）设函数 ，则 的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【详解】试题分析： ，其中当
时， ，此时周期是 ；当 时，周期为 ，而 不影响周期．故选B．
【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．
【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数 ，再判断 和 的取值是否影响函数
的最小正周期．
24．（2015·四川·高考真题）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【详解】解：y＝cos（2x ）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为： ，满足题意，所以A正确
π
y＝sin（2x ）＝cos2x，函数是偶函数，周期为： ，不满足题意，所以B不正确；
π
y＝sin2x+cos2x sin（2x ），函数是非奇非偶函数，周期为 ，所以C不正确；
π
y＝sinx+cosx sin（x ），函数是非奇非偶函数，周期为2 ，所以D不正确；
π
故选A．
考点：三角函数的性质.
25．（2015·安徽·高考真题）已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为
，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可求 ＝2，又当x 时，函数f（x）取得最小值，可解得 ，从而可求解析式f（x）＝
ω φ
Asin（2x ），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
【详解】解：依题意得，函数f（x）的周期为 ，
∵ ＞0，
π
ω
∴ 2．
ω
又∵当x 时，函数f（x）取得最小值，∴2 ＝2k ，k Z，可解得： ＝2k ，k Z，
φ π ∈ φ π ∈
∴f（x）＝Asin（2x+2k ）＝Asin（2x ）．
π
∴f（﹣2）＝Asin（﹣4 ）＝Asin（ 4+2 ）＞0．
π
f（2）＝Asin（4 ）＜0，
f（0）＝Asin Asin 0，
又∵ 4+2 ，而f（x）＝Asinx在区间（ ， ）是单调递减的，
π
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．
故选A．
考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.
26．（2015·北京·高考真题）下列函数中为偶函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据偶函数的定义 ，
A选项为奇函数;B选项为偶函数；
C选项定义域为 不具有奇偶性；
D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
故选：B.
二、多选题
27．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）对于函数 和 ，下列说法中正确的有
（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
28．（2020·山东·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确
结果.
【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A,
不妨令 ,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求
待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x ，
0
则令ωx ＋φ＝0(或ωx ＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
三、填空题
29．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
30．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得， ，从而得到 的值，再根据 以及 ，即可得 ，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
31．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则
.
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
【详解】由题意可得： ，当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是
求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x，
0
则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
32．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的
定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
33．（2019·全国·高考真题）函数 的最小值为 ．
【答案】 .
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于
的二次函数，从而得解.
【详解】 ，
， 当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视 的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运
算错误．
34．（2018·江苏·高考真题）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是
．
【答案】 .
【详解】分析：由对称轴得 ，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得 ，所以 ，因为 ，所以
点睛：函数 （A>0,ω>0）的性质：(1) ；
(2)最小正周期 ；(3)由 求对称轴；(4)由 求增
区间; 由 求减区间.35．（2018·北京·高考真题）设函数 ，若 对任意的实数 都成立，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意 取最大值 ，根据余弦函数取最大值条件解得 的表达式，进而确定其最小值.
【详解】因为 对任意的实数x都成立，所以 取最大值 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取最小值为 .
【点睛】函数 的性质
（1） .
（2）周期
（3）由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ，最小值对应自变量满足
，
（4）由 求增区间；由 求减区间.
36．（2017·全国·高考真题）函数 （ ）的最大值是 ．
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由 ，可得 ，
当 时，函数 取得最大值1．
37．（2017·全国·高考真题）函数 的最大值为 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx （ cosx sinx） sin（x+ ），其中tan ＝2，
θ θ
可知函数的最大值为： ．
故答案为 ．
【点睛】通过配角公式把三角函数化为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时
注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用 求最值．
38．（2016·上海·高考真题）方程 在区间 上的解为 ．
【答案】
【详解】试题分析：
化简 得： ，所以 ，解得 或 （舍
去），又 ，所以 .
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求
解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
39．（2015·浙江·高考真题）函数 的最小正周期是 ，单调递增区间是
.
【答案】 ，
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周
期和单调区间．
【详解】解：函数f（x）＝sin2x+sinxcosx+1，
则： ，
则函数的最小正周期T ，
令： （k Z），
∈
解得： （k Z），
∈
单点递增区间为：[ ]（k Z），
∈故答案为 ；[ ]（k Z），
π ∈
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．
40．（2015·湖南·高考真题）已知 >0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图像的交点中，距离最短的两个交
点的距离为2 ，则 = .
【答案】
【详解】由题根据三角函数图像与性质可得距离最短的交点坐标可以为
, .
考点：三角函数图像与性质
【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性
结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五
点作图法上理解.
考点07 三角函数的图象与性质（压轴）
1．（2017·天津·高考真题）设函数 ， ，其中 ， .若 ，
，且 的最小正周期大于 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【详解】由题意 ，其中 ，所以 ，又 ，所以
，所以 ， ，由 得 ，故选A．
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关 问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般
先根据图象的最高点或最低点确定 ，再根据周期或 周期或 周期求出 ，最后再利用最高
点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的 值，另一种时根据题目用文字形容的函数图
象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，
题型很活，求 或 的值或最值或范围等.2．（2017·上海·高考真题）设 、 ，且 ，则 的最小值等于
【答案】
【详解】 由三角函数的性质可知 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
3．（2016·天津·高考真题）已知函数 ， .若 在区间 内没
有零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把 化成 ，求出 的零点的一般形式为 ，根据
在区间 内没有零点可得关于 的不等式组，结合 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的
取值范围.
【详解】由题设有 ，
令 ，则有 即 .
因为 在区间 内没有零点，
故存在整数 ，使得 ，
即 ，因为 ，所以 且 ，故 或 ，
所以 或 ，
故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，
本题属于难题.
4．（2016·全国·高考真题）已知函数 为 的零点， 为
图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为
A．11 B．9
C．7 D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得 为正奇数，且 ≤12，结合x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对
ω ω
称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ）上单调，可得 的最大值．
ω
【详解】∵x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，
∴ ，即 ，（n N）
∈
即 ＝2n+1，（n N）
即 为正奇数，
ω ∈
ω
∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ，
即T ，解得： ≤12，
ω
当 ＝11时， ＝k ，k Z，
ω φ π ∈
∵| | ，
φ
∴ ，
φ
此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；
当 ＝9时， ＝k ，k Z，
ω φ π ∈
∵| | ，
φ
∴ ，
φ此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意；
故 的最大值为9，
故选B．
ω
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本
题求解中用到的两个结论：① 的单调区间长度是最小正周期的一半;②
若 的图像关于直线 对称,则 或 .
5．（2015·上海·高考真题）已知函数 ，若存在 满足 ，且
（ ， ），则 的最小值为
．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，因此要使得满足条件
的 最小，须取
即
考点：三角函数性质
考点08 三角函数的伸缩平移变换
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
2．（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
4．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线
C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
5．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
6．（2020·天津·高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是
一道容易题.
7．（2020·江苏·高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y
轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】 /
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当 时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．（2019·天津·高考真题）已知函数 是奇函数，将 的图像
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期
为 ，且 ，则A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出 值即可．
【详解】因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ．
9．（2018·天津·高考真题）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】A
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足： ，
即 ，
令 可得一个单调递增区间为： .
函数的单调递减区间满足： ，
即 ，
令 可得一个单调递减区间为： ，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
10．（2018·天津·高考真题）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】A
【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解：由函数 图象平移变换的性质可知：
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足： ，
即 ，
令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足： ，
即 ，
令 可得函数的一个单调递减区间为 ，选项C，D错误；
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
11．（2017·全国·高考真题）已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
【答案】D
【详解】把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把
1
得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）
的图象，即曲线C ，
2
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以
也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函
数 ；函数 是偶函数 ；函数
是奇函数 ；函数 是偶函数
.
12．（2016·四川·高考真题）为了得到函数y=sin 的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向上平行移动 个单位长度
D．向下平行移动 个单位长度
【答案】A
【详解】试题分析：为得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，故选A.
【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数 的图象向右平移 个单位长度得 的
图象，而函数 的图象向上平移 个单位长度得 的图象．左、右平移涉及的是 的变化，
上、下平移涉及的是函数值 的变化．
13．（2016·全国·高考真题）若将函数y=2sin2x的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的对称轴为
A．x= （k∈Z）
B．x= （k∈Z）
C．x= （k∈Z）
D．x= （k∈Z）
【答案】B
【详解】试题分析：由题意得，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
由 ，得 ，即平移后的函数的对称轴方程为 ，故选
B．
考点：三角函数的图象与性质．
【方法点晴】本题主要考查了三角函数 的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变
换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数的解
析式 ，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与
运算能力．
14．（2016·北京·高考真题）将函数 图象上的点 向左平移 （ ） 个单位长度得
到点 ，若 位于函数 的图象上，则（ ）
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【答案】A【详解】由题意得， ，
可得 ，
因为 位于函数 的图象上
所以 ，
可得 ，
s的最小值为 ，故选A.
【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①
平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数
名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
15．（2016·全国·高考真题）函数 的图象可由函数 的图象至少向右平
移 个单位长度得到．
【答案】
【详解】试题分析： ,故应至少向右平移
个单位.
考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移.
16．（2016·四川·高考真题）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点
A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度
D．向右平行移动 个单位长度
【答案】D
【详解】试题分析：由题意，为得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，故选D.
【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数 的图象平移变换中要注意“ ”
的影响，变换有两种顺序：一种 的图象向左平移 个单位得 的图象，再把横坐标变
为原来的 倍，纵坐标不变，得 的图象，另一种是把 的图象横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得 的图象，再向左平移 个单位得 的图象．
17．（2016·全国·高考真题）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
，由 ，得 ，即平移后的函数的对称轴方
程为 ，故选C．
18．（2016·全国·高考真题）将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的周期为 ，
将函数 的图象向右平移 个周期即 个单位，
所得图象对应的函数为 ，
故选D.19．（2015·山东·高考真题）要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象
A．向左平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
D．向右平移 个单位
【答案】B
【详解】因为函数 ，要得到函数 的图象，只需要将函数
的图象向右平移 个单位．
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω
倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
20．（2015·山东·高考真题）要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象
A．向左平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
D．向右平移 个单位
【答案】B
【详解】因为函数 ，要得到函数 的图象，只需要将函数
的图象向右平移 个单位．
本题选择B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω
倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
21．（2015·湖南·高考真题）将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：向右平移 个单位后，得到 ，又∵ ，∴不妨
， ，∴ ，又∵ ，
∴ ，故选D.
考点：三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以
为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对
三
角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.
