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专
题
五
三
角
函
数
／
５７
５．３ 三角函数的图象和性质
§
特别提醒 平移前后两个三角函数的名称如果不一
（１）
致 应先利用诱导公式化为同名函数．
，
ω为负时应先变成正值．
考点一 三角函数的图象及其变换 （２）
１．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 考点二 三角函数的性质及其应用
正弦函数ｙ ｘ ｘ 的图象中 五个关键点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
（１）
( )
＝ｓｉｎ ，
(
∈［０，２π
)
］ ， ：
π ３ ， ． 函数
（０，０）， ，１ ，（π，０），① π －１ ，（２π，０） ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
２ ２ 性质 ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
余弦函数ｙ ｘ ｘ 的图象中 五个关键点
（２） ( ) ＝ｃｏｓ ， ∈ ( ［０，２π ) ］ ， ： { ｘ ｘ ≠ ｋ π＋
π （ ， ） ３π ． 定义域 Ｒ Ｒ
（０，１）， ，０ ，② π －１ ， ，０ ，（２π，１） }
２ ２ π ｋ Ｚ
２．用“五点法”画ｙ＝Ａ （ωｘ＋φ）（Ａ，ω ）在一个周期内的
２
， ∈
ｓｉｎ ≠０
简图
用五点法画ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 在一个周期内的简图 图象
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ≠０）
时 一般先列表 后描点 连线 其中所列表如下
， ， ， ， ：
φ φ φ φ φ 值域 Ｒ
ｘ π π－ ３π ２π－ ［－１，１］ ［－１，１］
－ω －ω ＋ ω ω ω－ω ω
２ ２ 对称轴 ｘ ｋ 对称轴 ｘ ｋ ｋ
： ＝ π＋ ： ＝ π（ 对称中心
Ｚ 对称中心 ：
ωｘ ＋ φ ０ π π ３π ２π 对称性 π （ ｋ ∈ Ｚ ）； ∈ ( ）； ) ： (ｋ π )
２ ２ ２ ｋ π， ，０
对称中心 ③ π＋ ０ ２
： ２ ｋ Ｚ
ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ Ａ Ａ （ ｋ π，０）（ ｋ ∈ Ｚ ） （ ｋ ∈ Ｚ ） （ ∈ ）
φ ０ ０ － ０
＋ ） 周期
２π ２π π
３．ｙ Ａ （ωｘ φ）（Ａ ，ω ，ｘ ［ ， ））的物理意义 单调增区间
＝ ｓｉｎ ＋ ＞０ ＞０ ∈ ０ ＋∞ ：
[
ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）（ Ａ ＞ 振幅 周期 频率 相位 初相 ④ ２ ｋ π－ π，
ω ｘ ２
０， ＞０）， ∈［０， ] 单调增区间 单调增区间
量 ＋∞ 时 ） 表示一个振动 Ａ Ｔ ＝ ２ ω π ｆ ＝ Ｔ １ ＝ ２ ω π ωｘ ＋ φ φ ２ ｋ π＋ π ２ ［ ｋ ２ ｋ π Ｚ －π， ： ２ ｋ π］ ⑥ ( ｋ π－ ： π，
单调性 ｋ Ｚ （ ∈ ）； ２
４．由函数ｙ ｘ的图象变换得到ｙ Ａ （ωｘ φ）（Ａ ，ω ） （ ∈ ）； 单调减区间 )
＝ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＋ ＞０ ＞０ 单调减区间 ： ｋ π
图象的步骤 ： ｋ ｋ π＋
[ ［２ π，２ π＋π］ ２
ｋ π， ｋ ｋ Ｚ ｋ Ｚ
⑤ ２ π＋ ２ π （ ∈ ） （ ∈ ）
２
]
３π ｋ Ｚ
＋ （ ∈ ）
２
奇偶性 奇 偶 奇
特别提醒 正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之
（１）
间距离的 倍是一个周期．
２
正弦曲线和余弦曲线相邻两个对称中心之间的距离的
（２）
倍是一个周期．
２
正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中
（３）
心之间距离的 倍是一个周期．
４
正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的 倍是一个
（４） ２
上述两种变换的区别 先相位变换再周期变换 伸缩变换 周期．
： （ ），
平移的量是 φ 个单位 而先周期变换 伸缩变换 再相位变换 不能认为 ｙ ｘ 在定义域上为增函数 应在区间
｜ ｜ ； （ ） ， （５） ＝ｔａｎ ， ( )
φ
平移的量是｜ ｜ ω 个单位．原因在于相位变换和周期变换都 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ 内为增函数． ω （ ＞０） π－ ， π＋ （ ∈ ）
２ ２
是针对ｘ而言的．
A
版
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考
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学
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考法一 三角函数的图象
例１ （２０２０ 山东潍坊 ６ 月模拟改编）已知函数
（１）
( )
ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ π 的图象如图所示 则
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０， ＞０，｜ ｜＜ ，
２
ｆ ｘ 的解析式为
（ ） ；
( )
将函数ｆ（ｘ） ｘ π 的图象向右平移π个单位后
② ＝２ｓｉｎ ２ ＋
６ ６
[ ( ) ] ( )
得到ｙ ｘ π π ｘ π 的图象，再将得到
＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ＝２ｓｉｎ ２ －
６ ６ ６
的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函
４
( ) ( ｘ ) ｘ
已知函数ｆ ｘ ｘ π ２ｘ． 数ｇ（ｘ） π 的图象，由 π ｋ （ｋ Ｚ）得ｘ ｋ
（２） （ ）＝－ ３ｃｏｓ ２ ＋ ＋１－２ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ － － ＝ π ∈ ＝２ π
２ ２ ６ ２ ６
用 五点作图法 在给定的坐标系中 画出函数 ｆ ｘ 在 ( )
① “ ” ， （ ） π（ｋ Ｚ），故ｇ（ｘ）图象的对称中心为 ｋ π， （ｋ Ｚ）．
上的图象 ＋ ∈ ２ π＋ ０ ∈
［０，π］ ； ３ ３
( )
答案 （ ）ｆ（ｘ） ｘ π
１ ＝２ｓｉｎ ２ ＋
３
方法总结 １．根据图象确定函数解析式
求函数ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω φ 解析式的方
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ （ ＞０， ＞０，｜ ｜＜π）
法与步骤
Ｍ ｍ
求Ａ Ｂ 确定函数的最大值Ｍ和最小值ｍ 则Ａ －
（１） 、 ， ， ＝ ，
２
Ｍ ｍ
Ｂ ＋ ．
＝
先将函数ｙ ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位 再将得到的 ２
② ＝ （ ） ， ω由周期得到．
６ （２）
图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍 纵坐标不变 得到函数 利用峰点 谷点或零点列出关于φ的方程 结合φ的范
４ ， ， （３） 、 ，
ｙ ｇ ｘ 的图象 求ｇ ｘ 图象的对称中心． 围解得φ的值 所列方程如下
＝ （ ） ， （ ） ， ：
解析 （ ） ｆ（ｘ） 且Ａ ， Ａ ．
１ ∵ ｍｉｎ＝－２ ＞０ ∴ ＝２ 峰点 ωｘ φ π ｋ 谷点 ωｘ φ π ｋ ．
( ) ： ＋ ＝ ＋２ π； ： ＋ ＝－ ＋２ π
由题图可知：最小正周期Ｔ ７π π ， ω ２π ． ２ ２
＝４× － ＝π ∴ ＝ Ｔ ＝２ 利用零点时 要区分该零点是升零点 还是降零点．
１２ ３ ， ，
( ) ( ) 升零点 图象上升时与ｘ轴的交点的横坐标 ωｘ φ ｋ
又ｆ ７π ７π φ ， ７π φ π ｋ （ｋ Ｚ）， （ ）： ＋ ＝２ π；
＝２ｓｉｎ ＋ ＝－２ ∴ ＋ ＝－ ＋２ π ∈ 降零点 图象下降时与 ｘ 轴的交点的横坐标 ωｘ φ
１２ ６ ６ ２ （ ）： ＋ ＝π
ｋ ．
解得φ ５π ｋ （ｋ Ｚ）， ＋２ π
＝－
３
＋２ π ∈ 以上ｋ Ｚ
( ) （ ∈ ）
又 φ π， φ π， ｆ（ｘ） ｘ π ． ２．画函数ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 图象的两种常用方法
｜ ｜＜ ∴ ＝ ∴ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０）
２ ３ ３ 五点法作图 用 五点法 作ｙ Ａ ωｘ φ 的简图 主
( ) （１） ： “ ” ＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ，
（ ） ｆ（ｘ） ｘ π ２ｘ
２ ① ＝－ ３ｃｏｓ ２ ＋ ＋１－２ｓｉｎ 要是通过变量代换 设ｚ ωｘ φ 由ｚ取 π ３ 来求出
２ ， ＝ ＋ ， ０， ，π， π，２π
( ) ２ ２
ｘ ｘ ｘ π ． 相应的ｘ 通过列表 计算得出五点坐标 描点后得出图象．
＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ， ， ，
６ 图象变换法 由函数ｙ ｘ 的图象通过变换得到 ｙ
列表如下： （２） ： ＝ｓｉｎ ＝
Ａ ωｘ φ 的图象有两种途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后
ｓｉｎ（ ＋ ） ：“ ” “
平移 ．
ｘ ０ π ５π ２π １１π π ”
６ １２ ３ １２ 经典例题教师用书
ｆ（ｘ） 例 （２０２０ 重庆育才中学３ 月月考，１０）函数 ｆ ｘ １ ２ ０ －２ ０ １ （ ）＝ ｃｏｓ
( )
描点、连线．函数ｆ（ｘ）在区间［ ， ］上的图象如图． ωｘ φ ω φ π 的部分图象如图所示 则函数 ｇ ｘ
０ π （ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ， （ ）＝
２
ｆ ｘ ３ φ 的最小正周期为
（ ）－ （ ）
π
专
题
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若 θ π 且 θ ２ 求ｆ θ 的值
（１） ０＜ ＜ ， ｓｉｎ ＝ ， （ ） ；
２ ２
求函数ｆ ｘ 在 上的单调递减区间．
（２） （ ） ［０，２π］
解析 方案一：选条件 ．
①
由题意可知，Ｔ ２π ， ω ， ｆ（ｘ） １ （ ｘ φ），
π ＝ ω＝π ∴ ＝１ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．４π Ｄ． ２ ２
２ ( )
( ) ｇ（ｘ） １ ｘ φ π ，又函数 ｇ（ｘ）图象关于原点对
解析 根据函数ｆ（ｘ） （ωｘ φ） ω ， φ π 的部分 ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ －
＝ｃｏｓ ＋ ＞０ ｜ ｜＜ ２ ６
２
Ｔ 称， φ ｋ π，ｋ Ｚ，
图象，可得 ７π π π Ｔ ２π ω ． ∴ ＝ π＋ ∈
＝ － ＝ ⇒ ＝π＝ ω⇒ ＝２ ６
４ １２ ３ ４ ( )
( ) φ π， φ π， ｆ（ｘ） １ ｘ π ．
点 π， 是五点作图的第二个点，则 π φ π φ ∵ ｜ ｜＜ ∴ ＝ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
０ ２× ＋ ＝ ⇒ ＝ ２ ６ ２ ６
３ ３ ２
( )
（ ） θ π， θ ２，
π， ｆ （ｘ） ｘ π ， ｇ （ｘ） ｆ（ｘ） ３ φ １ ∵０＜ ＜ ｓｉｎ ＝
－ ∴ ＝ ｃｏｓ ２ － ∴ ＝ － ＝ ２ ２
６ ６ π
( ) ( ) ( )
ｘ π １ ，易知ｙ ｇ（ｘ）与ｙ ｘ π １ 的最小 θ π， ｆ（θ） ｆ π １ ２ ３．
ｃｏｓ ２ － ＋ ＝ ＝ｃｏｓ ２ － ＋ ∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ｓｉｎ π＝
６ ２ ６ ２ ４ ４ ２ ３ ４
正周期相同，均为Ｔ ２π ．故选 ． （ ）由π ｋ ｘ π ３ ｋ ，ｋ Ｚ，
＝ ＝π Ａ ２ ＋２ π≤２ ＋ ≤ π＋２ π ∈
２ ２ ６ ２
答案 Ａ 得π ｋ ｘ ２ ｋ ，ｋ Ｚ，
＋ π≤ ≤ π＋ π ∈
思路分析 由函数的图象求出ω，由五点作图法求出φ的 ６ ３
值，可得ｇ（ｘ）的解析式，再利用三角函数的周期性，得出结论． 令ｋ ，得π ｘ ２ ，令ｋ ，得 ７ ｘ ５ ，
＝０ ≤ ≤ π ＝１ π≤ ≤ π
例 （２０１８河南天一联考，１４）已知函数ｆ ｘ ωｘ φ ６ ３ ６ ３
（ ）＝２ｓｉｎ（ ＋ ） 函 数 ｆ （ｘ） 在 ［ ， ］ 上 的 单 调 递 减 区 间 为
( ) ∴ ０ ２π
ω π φ 的部分图象如图所示 则φ ． [ ] [ ]
＞０，－ ＜ ＜０ ， ＝ π，２ ， ７ ，５ ．
２ π π π
６ ３ ６ ３
方案二：选条件 ．
②
( )
ｍ （ ωｘ， ωｘ），ｎ １ ωｘ，１ ， ｆ（ｘ） ｍ
∵ ＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ２ ＝ ｃｏｓ ∴ ＝
２ ４
æ ö
·ｎ ３ ωｘ ωｘ １ ωｘ １ ç ３ ωｘ １ ωｘ÷
＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ２ ＝ è ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ø ＝
２ ４ ２ ２ ２
( ) ( )
１ ωｘ π ，又Ｔ ２π ， ω ， ｆ（ｘ） １ ｘ π ．
ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ω＝π ∴ ＝１ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
２ ６ ２ ２ ６
Ｔ
解析 由 １１ ２ π，得Ｔ ，又知Ｔ ２π， ω ， （ ） θ π， θ ２，
＝ π－ π＝ ＝π ＝ ω ∴ ＝２ １ ∵０＜ ＜ ｓｉｎ ＝
４ １２ ３ ４ ２ ２
( ) ( ) ( )
ｆ（ｘ） （ ｘ φ）．又知ｆ １１ ， １１ φ ， θ π， ｆ（θ） ｆ π １ ２ ３．
∴ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ π ＝－２ ∴ ２ｓｉｎ π＋ ＝－２ ∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ｓｉｎ π＝
( ) １２ ６ ４ ４ ２ ３ ４
即 １１ φ ． １１ φ ｋ ３ （ｋ Ｚ）． （ ）由π ｋ ｘ π ３ ｋ ，ｋ Ｚ，
ｓｉｎ π＋ ＝－１∴ π＋ ＝２ π＋ π ∈ ２ ＋２ π≤２ ＋ ≤ π＋２ π ∈
６ ６ ２ ２ ６ ２
φ ｋ π（ｋ Ｚ），又 π φ ， φ π． 得π ｋ ｘ ２ ｋ ，ｋ Ｚ，
∴ ＝２ π－ ∈ ∵ － ＜ ＜０ ∴ ＝－ ＋ π≤ ≤ π＋ π ∈
３ ２ ３ ６ ３
答案 π 令ｋ ，得π ｘ ２ ，令ｋ ，得 ７ ｘ ５ ，
－ ＝０ ≤ ≤ π ＝１ π≤ ≤ π
３ ６ ３ ６ ３
函 数 ｆ （ｘ） 在 ［ ， ］ 上 的 单 调 递 减 区 间 为
考法二 三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对 ∴ ０ ２π
[ ] [ ]
π，２ ， ７ ，５ ．
称性
π π π
６ ３ ６ ３
例２ （２０２０ 山东泰安期末，１７）在 将函数 ｆ ｘ 方案三：选条件 ．
① （ ）＝ ③
( ) ( )
１ ωｘ φ ω φ π 的图象向右平移 π 个单位长度 ｆ（ｘ） ωｘ ωｘ π １ ｓｉｎ（２ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ＝ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ －
２ ２ １２ ( ６ ４ )
得到ｇ ｘ 的图象 ｇ ｘ 图象关于原点对称 向量 ｍ
（ ） ， （ ( ） ) ；② ＝ ＝ｃｏｓ ωｘ ｓｉｎ ωｘ ｃｏｓ π ＋ｃｏｓ ωｘ ｓｉｎ π － １
６ ６ ４
ωｘ ωｘ ｎ １ ωｘ １ ω ｆ ｘ ｍ ｎ
（ ３ｓｉｎ ，ｃｏｓ２ ）， ＝ ｃｏｓ ， ， ＞０， （ ）＝ · ；
２ ４ ３ ωｘ ωｘ １ ２ωｘ １ ３ ωｘ １ ωｘ
( ) ＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２
函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ π １ ω 这三个条件中任选 ２ ２ ４ ４ ４
③ （ ）＝ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ － （ ＞０） æ ö ( )
６ ４ １ ç ３ ωｘ １ ωｘ÷ １ ωｘ π ，
一个 补充在下面问题中 并解答．已知 函数ｆ ｘ 的图 ＝ è ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ø＝ ｓｉｎ ２ ＋
， ， ， （ ） ２ ２ ２ ２ ６
( )
象相邻两条对称轴之间的距离为π． 又Ｔ ２π ， ω ， ｆ（ｘ） １ ｘ π ．
＝ ω＝π ∴ ＝１ ∴ ＝ ｓｉｎ ２ ＋
２ ２ ２ ６
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６０
( )
（ ） θ π， θ ２， 图象的一条对称轴 若ｆ ｘ 在区间 π π 内单调 则φ
１ ∵０＜ ＜ ｓｉｎ ＝ ， （ ） ， ， ＝
２ ２ ６ ２
( ) （ ）
θ π， ｆ（θ） ｆ π １ ２ ３．
∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ｓｉｎ π＝ ５π ２π π π
４ ４ ２ ３ ４ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６ ３ ３ ６
（ ）由π ｋ ｘ π ３ ｋ ，ｋ Ｚ， ( ) Ｔ
２ ＋２ π≤２ ＋ ≤ π＋２ π ∈ 解析 ｆ（ｘ）在区间 π，π 内单调， π π π ，
２ ６ ２ ∵ ∴ － ＝ ≤
６ ２ ２ ６ ３ ２
得π ｋ ｘ ２ ｋ ，ｋ Ｚ，
＋ π≤ ≤ π＋ π ∈ 即Ｔ ２π，
６ ３ ≥
３
令ｋ ，得π ｘ ２ ，令ｋ ，得 ７ ｘ ５ ．
＝０ ≤ ≤ π ＝１ π≤ ≤ π 则２π ２π，则 ω ， ｘ π是函数ｆ（ｘ） （ωｘ φ）
６ ３ ６ ３ ω≥ ０＜ ≤３ ∵ ＝－ ＝ｓｉｎ ＋
函 数 ｆ （ｘ） 在 ［ ， ］ 上 的 单 调 递 减 区 间 为 ３ １２
∴ ０ ２π
[ ] [ ] （ω ， φ ）的零点，直线ｘ π是函数ｆ（ｘ）的图象的一条对
π，２ ， ７ ，５ ． ＞０ ０＜ ＜π ＝－
π π π ( ) ( ) ３
６ ３ ６ ３
称轴， π π π，
例３ （多选题）（２０２０山东济宁一中５月检测，１０）将函 ∴ － － － ＝
１２ ３ ４
( ) Ｔ
数ｆ ｘ ｘ π 的图象向左平移π个单位长度 再 若π ，则Ｔ ，此时２π ，得ω ，满足条件，
（ ）＝ ３ｃｏｓ ２ ＋ －１ ， ＝ ＝π ω ＝π ＝２
３ ３ ４ ４
向上平移 个单位长度 得到函数ｇ ｘ 的图象 则下列关于函数 Ｔ
１ ， （ ） ， 若π ３ ，则Ｔ π，此时２π π，得ω ，不满足条件，
ｇ ｘ 的说法正确的是 ＝ ＝ ω ＝ ＝６
（ ） （ ） ４ ４ ３ ３
Ａ．
最大值为
３，
图象关于直线ｘ
＝
π对称 则ｆ（ｘ）
＝ｓｉｎ
（
２
ｘ
＋
φ），
∵
ｘ
＝－
π是函数ｆ（ｘ）的图象的一条对
３
１２
称轴，
图象关于ｙ轴对称
Ｂ．
最小正周期为 π φ ｋ π，即φ ｋ ７π，ｋ Ｚ，
Ｃ． π ∴ － ×２＋ ＝ π＋ ＝ π＋ ∈
( ) ３ ２ ６
图象关于点 π 对称
Ｄ． ，０ φ ， 当ｋ 时，φ π，故选
４ ∵０＜ ＜π ∴ ＝－１ ＝ Ｄ．
( ) ６
解析 将函数ｆ（ｘ） ｘ π 的图象向左平移π 答案 Ｄ
＝ ３ｃｏｓ ２ ＋ －１
３ ３
[ ( ) ] ( )
个单位长度，得到ｙ ＝ ３ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ＋ π －１＝ ３ｃｏｓ （ ２ ｘ ＋π ） － 例 （２０１９广西百色一模，１）设函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π 的
３ ３ ６
图象为曲线Ｃ 则下列结论中正确的是
ｘ 的图象，再向上平移 个单位长度，得到函数 ， （ ）
１＝－ ３ｃｏｓ ２ －１ １ 函数ｆ ｘ 的最小正周期是
ｇ（ｘ） ｘ的图象，对于函数ｇ（ｘ），它的最大值为 ，由 Ａ． （ ） ２π
＝－ ３ｃｏｓ２ ３
曲线Ｃ关于直线ｘ π对称
于当ｘ π时，ｇ（ｘ） ３ ，不是最值，故ｇ（ｘ）的图象不关于直线 Ｂ． ＝ ６
＝ ＝－
１２ ２ 曲线Ｃ可由函数ｇ ｘ ｘ的图象向左平移π个单位
Ｃ． （ ）＝ｓｉｎ２
ｘ π对称，故 错误；由于函数ｇ（ｘ）为偶函数，故它的图象关 ３
＝ Ａ 长度得到
１２
( )
于ｙ轴对称，故 正确；ｇ（ｘ）的最小正周期为２π ，故 正确； 函数ｆ ｘ 在区间 π π 上是增函数
Ｂ ＝π Ｃ Ｄ． （ ） － ，
２ １２ ２
( ) ( )
当ｘ π时，ｇ（ｘ） ，故函数ｇ（ｘ）的图象关于点 π， 对 解析 由ｆ（ｘ） ｘ π ，得Ｔ ２π ，故 错；
＝ ＝０ ０ ① ＝ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ＝π Ａ
４ ４ ６ ２
称，故 正确．故选 ． ( ) ( )
Ｄ ＢＣＤ ｆ π π π ，故 正确；
答案 ＢＣＤ ② ＝ｓｉｎ ２× ＋ ＝１ Ｂ
６ ６ ６
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略 ｇ（ｘ） ｘ 图象向左平移 π 个单位得到函数 ｙ
③ ＝ ｓｉｎ ２ ＝
３
１．已知三角函数解析式求单调区间 ( ) ( )
ｘ π ｘ ２π 的图象，故 错；
求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式进行化 ｓｉｎ２ ＋ ＝ｓｉｎ ２ ＋ Ｃ
（１） ， ３ ３
简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 ． [ ]
， “ ” 由 ｙ ｘ 的增区间为 ｋ π， ｋ π （ｋ Ｚ），得
求形如ｙ Ａ ωｘ φ 或ｙ Ａ ωｘ φ 其中ω 的 ④ ＝ｓｉｎ ２ π－ ２ π＋ ∈
（２） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）（ ＞０） ２ ２
单调区间时 要视 ωｘ φ 为一个整体 通过解不等式求解．如果 ( )
， “ ＋ ” ， ｆ（ｘ） ｘ π 的增区间为 ｋ π ｘ π ｋｘ π，ｋ
ω 那么一定先借助诱导公式将ω化为正数． ＝ｓｉｎ ２ ＋ ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ ＋ π－
＜０， ６ ２ ６ ２
２．已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区
， π ｘ ｋ π，故 错．故选 ．
间 然后利用集合间的关系求解． ≤ ≤ π＋ Ｄ Ｂ
， ３ ６
经典例题教师用书 答案 Ｂ
例 （２０１９重庆巴蜀中学二诊，９）已知ｘ π是函数ｆ ｘ
＝－ （ ）
１２
ωｘ φ ω φ 的零点 直线ｘ π是函数ｆ ｘ 的
＝ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０，０＜ ＜π） ， ＝－ （ ）
３
专
题
五
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数
／
６１
[ ] [ ]
考法三 三角函数的最值 因为ｘ ∈ － π，３π ，所以ｘ － π ∈ － π，２π ，
４ ４ １２ ３ ３
( )
例４ （２０１７山东，１６，１２分）设函数ｆ ｘ ωｘ π 当ｘ π π，即ｘ π时，ｇ（ｘ）取得最小值 ３ ．
（ ）＝ｓｉｎ － ＋ － ＝－ ＝－ －
６ １２ ３ ４ ２
( ) ( ) 方法总结 求三角函数最值的常见函数形式
ωｘ π 其中 ω ．已知ｆ π ．
ｓｉｎ － ， ０＜ ＜３ ＝０
２ ６ ｙ ａ ｘ ｂ ｘ ａ２ ｂ２ ｘ φ 其中 φ
求ω （１） ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ＋ ｓｉｎ（ ＋ ）， ｃｏｓ ＝
（１） ； ａ ｂ
将函数ｙ ｆ ｘ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 φ ａ ｂ ．
（２） ＝ （ ） ２ ａ２ ｂ２ ，ｓｉｎ ＝ ａ２ ｂ２ （ ≠０， ≠０）
＋ ＋
倍 纵坐标不变 再将得到的图象向左平移 π 个单位 得到函 降次 整理
（ ），
[ ] ４
，
（２）
ｙ
＝
ａ
ｓｉｎ
２ｘ
＋
ｂ
ｃｏｓ
２ｘ
＋
ｃ
ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
（
ａ
≠０，
ｂ
≠０）
、
→
ｙ
数ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的图象 ， 求ｇ （ ｘ ） 在 － π ， ３π 上的最小值． ＝ Ａ ｓｉｎ２ ｘ ＋ Ｂ ｃｏｓ２ ｘ ＋ Ｃ ＝ Ａ２ ＋ Ｂ２ ｓｉｎ（２ ｘ ＋ φ ）＋ Ｃ ， 其中 ｔａｎ φ ＝ Ｂ Ａ， 再
４ ４
( ) ( )
解析 （ ）因为ｆ（ｘ） ωｘ π ωｘ π ， 利用有界性处理．
１ ＝ｓｉｎ － ＋ｓｉｎ －
６ ２ ｙ ａ ２ｘ ｂ ｘ ｃ ａ ｂ 可转化为关于 ｘ的
（３） ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ （ ≠０， ≠０） ｃｏｓ
二次函数求解．
所以ｆ（ｘ） ３ ωｘ １ ωｘ ωｘ ３ ωｘ ３ ωｘ
＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ ｃ
２ ２ ２ ２ ｙ ａ ｘ ａ ｂ ｃ 令 ｘ ｔ 则转化为求ｙ
æ ö ( ) （４） ＝ ｓｉｎ ＋ｂ ｘ（ ， ， ＞０）， ｓｉｎ ＝ ， ＝
ç １ ωｘ ３ ωｘ÷ ωｘ π ． ｓｉｎ
＝ ３è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø＝ ３ｓｉｎ － ｃ
２ ２ ３ ａｔ ｔ 且ｔ 的最值 一般可结合图象求解．
( ) ω ＋ｂｔ（－１≤≤１， ≠０） ，
由题设知ｆ π ，所以 π π ｋ ，ｋ Ｚ．
＝０ － ＝ π ∈ ｙ ａ ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｃ ａ ｂ 型常用换
６ ６ ３ （５） ＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ （ ≠０， ≠０）
故ω
＝６
ｋ
＋２
，ｋ
∈
Ｚ，又
０＜
ω
＜３
，所以ω
＝２
．
元法 令ｔ ｘ ｘ ｔ 则 ｘ ｘ
ｔ２
－１ 把三角问题
( ) ， ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ，｜ ｜≤ ２， ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ，
（ ）由（ ）得ｆ（ｘ） ｘ π ， ２
２ １ ＝ ３ｓｉｎ ２ － 转化为代数问题求解．
３
( ) ( )
所以ｇ（ｘ） ｘ π π ｘ π ．
＝ ３ｓｉｎ ＋ － ＝ ３ｓｉｎ －
４ ３ １２
