文档内容
第1讲 三角函数的图象与性质（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................7
【考点一】三角函数的运算............................................................................................................8
【考点二】三角函数的图象...........................................................................................................11
【考点三】三角函数的性质...........................................................................................................17
【专题精练】...............................................................................................................................24
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、
奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.
2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，
则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和
为函数y=f (x)的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取
值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024·全国·高考真题）对于函数 和 ，下列说法中正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
7．（2022·全国·高考真题）已知函数 的图像关于点 中心对称，则
（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
8．（2024·全国·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
9．（2023·全国·高考真题）若 为偶函数，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B D C BC AD
1．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
4 / 48
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
3．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 或
于是有 或 ，
即有 ，解得 ；
或者 ，解得 ；
所以 ， 或
.
故选：B
4．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
5．C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
6．BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
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学科网（北京）股份有限公司显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
7．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
(2π
)
(4π
)
4π
【详解】由题意得：f =sin +φ =0，所以 +φ=kπ， ，
3 3 3
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
2π 7π
对C，当 时，2x+ =3π，f( )=0，直线 不是对称轴；
3 6
( 2π ) ( 2π ) 1
对D，由y'=2cos 2x+ =-1得：cos 2x+ =- ，
3 3 2
解得 或 ,
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学科网（北京）股份有限公司从而得： 或 ,
2π
所以函数 在点 处的切线斜率为k= y'| =2cos =-1，
x=0 3
❑√3
切线方程为：y- =-(x-0)即 ．
2
故选：AD．
8．2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
9．2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2.
考点突破
【考点一】三角函数的运算
一、单选题
1．（2024·浙江宁波·二模）若 为锐角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的值域为
C． 的最小正周期为
D． 的图象关于直线 对称
三、填空题
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司6．（2024·江苏·一模）已知 ，且 ， ，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A D AB ACD
1．A
【分析】根据同角关系得 ，即可由和差角公式求解.
【详解】 为锐角， ,故 ，
所以 ，
故选：A
2．D
【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得 ，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为
切代入计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D
3．AB
【分析】A选项由同角三角函数的基本关系式可解；
B选项先结合诱导公式化简，再利用两角和与差的正切公式化简求值；
C选项将原式变形得 ，再代值求解；
D选项活用“1”，再结合三角函数的基本关系式化简求值.
【详解】对于A选项， ，故A选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B选项， ，故B选项正确；
对于C选项， ，故C选项错误；
对于D选项， ，故D选项错误．
故选：AB．
4．ACD
【分析】A.结合正弦函数的奇偶性，利用函数奇偶性的定义判断；B. 令 ，转化为对
勾函数求解判断；C. 结合诱导公式，利用周期函数的定义判断；D.结合诱导公式，利用函数的对称性判断.
【详解】解：因为 的定义域为 ，关于原点对称，又
，故 是奇函数，故A正确；
令 ，由对勾函数的性质得 ，故B错误；
因为 ，所以 的最小正周期为 ，故C正确；
因为 ，所以 的图象关于点直线 对称，故D
正确；
故选：ACD
5． /
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案．
【详解】因为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司.
故答案为： .
6． /
【分析】变形后得到 ，利用辅助角公式得到 ，得到 ，
两边平方后得到 ，利用同角三角函数关系求出 .
【详解】由题可知 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
两边平方后得 ，故 ，
．
故答案为：
核心梳理：
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
(1)若α∈，则sin α<α0，ω>0)图象的步骤
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学科网（北京）股份有限公司2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋
B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋
势．
【考点三】三角函数的性质
一、单选题
1．（2024·山东淄博·一模）已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期
B．函数 的图象关于点 中心对称
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在区间 上单调递增
2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数 ，则 的单调递增区
间是（ ）
A． B． C． ， D． ，
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数 的图象经过点
和点 ，则 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·山东济宁·一模）已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 和 为函数 图象的两条相邻的对称轴，则
B．若 ，则函数 在 上的值域为
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 为奇函数，则 的最小
值为
D．若函数 在 上恰有一个零点，则
5．（2024·广东·二模）下列函数中，是偶函数且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江嘉兴·二模）已知角 的顶点与原点重合，它的始边与 轴的非负半轴重合，终边过点
，定义： .对于函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 在区间 上单调递增
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．方程 在区间 上有两个不同的实数解
三、填空题
7．（2024·广东深圳·一模）若函数 的最小正周期为 ，其图象关于点
中心对称，则 ．
8．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数 ，函数 在每个闭区间
上均有两个零点，则正实数 的最小值是 .
9．（2024·上海·三模）函数 的最小正周期为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D D ACD AC AB
1．D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，函数 的最小正周期 ，A错误；
对于B，由 ，得函数f(x)的图象不关于点 对称，B错误；
对于C，由 ，得函数f(x)的图象不关于直线 对称，C错误；
对于D，当 时， ，而正弦函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司因此函数 在区间 上单调递增，D正确.
故选：D
2．D
【分析】利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】 ，可化为 ，
故单调增区间满足： ， ，
解得 ， .
令 ， ，令 ， ，
，
所以 的单调递增区间是 ， .
故选：D
3．D
【分析】由条件列方程求 ，结合正切函数的性质求 的单调递增区间.
【详解】依题意， ，且 ，
即 且 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以 时，故 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以 的单调递增区间是 ．
故选：D．
4．ACD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数
图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，若 和 为函数 图象的两条相邻的对称轴，
则函数 的最小正周期为 ，则 ，
所以， ，此时， ，合乎题意，A对；
对于B选项，若 ，则 ，
当 时，则 ，所以， ，
故当 时，则函数 在 上的值域为 ，B错；
对于C选项，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 为奇函数，
所以， ，解得 ，
因为 ，当 时， 取最小值 ，C对；
对于D选项，因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上恰有一个零点，则 ，解得 ，D对.
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司5．AC
【分析】由偶函数的定义判断奇偶性，由给定的区间 ，去掉绝对值，化简选项中的函数式，在
由正弦函数的单调性判断区间 是否符合函数的单调递增区间，即可得到答案.
【详解】对于A： ，为偶函数，
当 时， ， ，
的单调递减区间为 ，
的递增区间为 ，
而 ，
所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B： ，为偶函数，
当 时， ， ，
的单调递增区间为 ，
的单调递减区间为 ，
而 ，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C： ，为偶函数，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司的单调递减区间为 ，
则 的单调递增区间为 ，
而 ，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D： ，
所以 为非奇非偶函数，故D错误.
故选：AC.
6．AB
【分析】由三角函数定义可得 ，根据题意，可得 ，利用正切函数的性质依次判
断求解各个选项.
【详解】根据题意， ， ，
对于A，由正切函数的性质得 ， ，解得 ，
所以函数 的对称中心为 ， ，故A正确；
对于B， ， ，由正切函数的性质可知 在 上单调递增，故B正确；
对于C，将 的图象向左平移 个单位可得 ，为奇函数，故C错
误；
对于D， ， ，令 ，
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学科网（北京）股份有限公司由正切函数 的性质可知在 上单调递增，且 ，在 上单调递增，且 ，
所以方程 在区间 上只有一个实数解，故D错误.
故选：AB.
7．
【分析】由三角函数的周期公式求出 ，再由正弦型函数的对称中心即可求出 .
【详解】由 得， ，所以 ，
又 的图象关于点 中心对称，
所以 ,解得 ，又 ，
所以， .
故答案为：
8．
【分析】根据整体法可得零点满足 ，即可利用 时， ，求解符
合条件的 结合周期性验证所求 满足其他区间即可.
【详解】令 ,则 ，
函数的零点
，
当 时， ，此时符合条件的两个零点为故 ，
故 ，解得 ，
当 时， 的零点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此零点为 ，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间
上恰好有两个零点。
故答案为：
9．
【分析】利用函数 的最小正周期计算公式即可求解.
【详解】因为 的最小正周期为 ,
所以函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ,
故答案为： .
核心梳理：
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调
递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)
为偶函数．
2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求
f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由
x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024·广东茂名·一模）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ）在 有且仅有三个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江西九江·模拟预测）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司7．（2024·河南郑州·一模）已知函数 在 上的值域为 ，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南·模拟预测）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位
长度得到，若函数 的图象关于原点对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知函数 ，下列选项中正确的有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
10．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数 的部分图象如
图所示，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
11．（2024·山东济南·一模）已知函数 的图象在y轴上的截距为 ，
是该函数的最小正零点，则（ ）
A．
B． 恒成立
C． 在 上单调递减
D．将 的图象向右平移 个单位，得到的图象关于 轴对称
三、填空题
12．（2024·湖南株洲·一模）已知函数 （ ， ），若 为奇函数，且在
上单调递减，则ω的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司13．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 为偶函数，则 ．
14．（2024·上海·一模）已知 中， 为其三个内角，且 都是整数，则
．
四、解答题
15．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数 的部分图象如图所
示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到
函数 的图象，求 在 上的最大值和最小值；
(3)若关于 的方程 在 上有两个不等实根，求实数 的取值范围．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)在 中，内角 的对边分别为 为 的平分线，若 的最小正周期是
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学科网（北京）股份有限公司，求 的面积．
17．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数 的最小正周期为
.
(1)求 在 上的单调递增区间；
(2)在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 且 求 的取值范围.
18．（2024·山东临沂·一模）已知向量 ， ，函数 .
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)将 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原
来的 ，得到函数 的图象，当 时，解不等式 .
19．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)若方程 在 上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在 中，若 ，内角A的角平分线 ， ，求AC的长度．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A B C B D ACD AD
题号 11
答案 AC
1．A
【分析】由两角和与差的三角函数，结合
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学科网（北京）股份有限公司求解.
【详解】已知 ，
则 ，
，
， ，
则 ， ，
则
.
故选：A.
2．C
【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.
【详解】令 ， ，得 ，则 ，
即 ，整理得 ，且 ，
那么 ，则 .
故选：C.
3．A
【分析】根据三角函数的定义可求得 的值，再利用诱导公式，即可求得答案.
【详解】由题意知角α的终边上有一点 ，则 ，
故 ，则 ，
故选：A
4．A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】设 ，则
.
故选：A
5．B
【分析】当 时， ，依题意有 ，解出即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 （ ）在 有且仅有三个零点，
结合正弦函数的图象可知 ，
解得 ，
故选：B.
6．C
【分析】判断函数的奇偶性，并判断 时，函数值的正负，即可判断选项.
【详解】 ，
定义域为 ，关于原点对称，
由 ，
所以 为奇函数，排除BD；
当 时， ，因为 为 上减函数， 为 上的增函数，
则 为 上的减函数，且当 ， ，则当 ，
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学科网（北京）股份有限公司，故 ，排除A.
故选：C.
7．B
【分析】根据题意可得 ，再利用值域可限定 ，解得 的取值范围
为 .
【详解】由 及 可得 ，
根据其值域为 ，且 ，
由正弦函数图象性质可得 ，
即可得 ，解得 .
故选：B
8．D
【分析】首先利用平移规律求函数 的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解 的值.
【详解】由题意可知， ，
因为函数 关于原点对称，所以 ，
则 ， ,得 ，且 ，
所以 .
故选：D
9．ACD
【分析】利用最小正周期公式可得 ，可判断A；利用三角函数图象的平移可得 ，可判断B；利用余
弦函数的减区间列不等式组求 的取值范围，可判断C；结合 在区间(0,π)上只有一个零点，列
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学科网（北京）股份有限公司不等式组可求 的取值范围，可判断D.
【详解】对于A：由 的最小正周期 可得 ，又 ，解得 ，故A正确；
对于B：当 时， ，将其图象向右平移 个单位长度后，得
的图象，故B错误；
对于C：由x∈(0,π)得 ，令 ，
则 在区间 上单调递减，
于是 ，解得 ，即 ，故C正确；
对于D：因为 在区间(0,π)上只有一个零点，
所以 在区间 只有一个零点，
于是 ，解得 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的
解析式，判断新图象的对称中心.
【详解】由函数图象可知， ， 的最小正周期为 ，A选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
则 ，由 ，得 ，
所以 .
当 时， ， ， 的值域为 ，B选项错误；
将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象，C选项
错误；
将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数 的图
象，
，函数 的图象关于点 对称，D选项正确.
故选：AD
11．AC
【分析】由题意求出 ，然后由余弦型函数的性质判断即可.
【详解】函数 的图象在y轴上的截距为 ，
所以 ，因为 ，所以 .故A正确；
又因为 是该函数的最小正零点，
所以 ，所以 ，
解得 ，所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故B错误；
当 时， ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位，得到 ，
是非奇非偶函数，图象不关于 轴对称，故D错误.
故选：AC.
3
12． /
2
【分析】根据奇偶性先求解出 的值，然后化简 ，采用整体代换法得到 所满足的不等式组，由此分
析并求解出 的最大值.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 时能成立，所以 ，
所以 的最大值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13．
【分析】根据函数为偶函数得 恒成立，利用两角和与差的正弦公式化简得 恒成立，
根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】函数 为偶函数，
所以 恒成立，即 ，
所以 ，
即 恒成立，又 不恒成立，
所以 恒成立，即 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
14．6
【分析】不妨令 ，利用正切函数的单调性，结合已知求出 ，再利用和角的正切公式分析求
解即得.
【详解】在 中，不妨令 ，显然 为锐角，而 是整数，
若 ，又函数 在 上单调递增，则 ，
此时 与 矛盾，因此 ， ，
，整理得 ，
又 都是整数，且 ，因此 ，
所以 .
故答案为：6
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学科网（北京）股份有限公司15．(1) ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）利用函数图象的顶点求出 ，利用周期求出 ，由特殊点求出 ，即可求出解析
式；
（2）利用三角函数图象变换求得 ，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；
（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.
【详解】（1）由函数 的部分图象可知 ，
， ， ，又 ，
，解得 ，由 可得 ，
；
（2）将 向右平移 个单位，得到 ，
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，
令 ，由 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
可得 ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）因为关于 的方程 在 上有两个不等实根，
即 与 的图象在 有两个交点.
由图象可知符合题意的 的取值范围为 .
16．(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据三角恒等变换将 化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值
域；
（2）根据题意，求得 ，利用等面积法和余弦定理，求得 ，再求三角形面积即可.
【详解】（1）
,
当 时， ，又 ，故 ，
又 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司故函数 在 上的值域为 .
（2）由（1）知， ，由其最小正周期为 ，
可得 ，又 ，解得 ，则 ；
由 ，即 ，又 ，可得 ，则 ，即 ；
AD为 的平分线，故可得 ，
则 ，即 ， ；
在三角形 中由余弦定理可得 ，即 ，
将 代入上式可得： ，即 ，
解得 ，或 （舍去）；
故 的面积为 .
17．(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得 的值，从而得到函数的解
析式，整体代入法求解单调区间即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得 继而得到 整体代入求函数值
的范围即可.
【详解】（1）
.
因为 所以
故 .
由
解得
当 时 又
所以 在 上的单调递增区间为 .
（2）由
得（
所以 .
因为 所以
又 所以
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学科网（北京）股份有限公司又三角形为锐角三角形，则 ，则 ，所以 ，
又 ， ，
则 ，
所以 的取值范围为 .
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简 ，依题意可得
，即可求出 ，最后由 利用两角差的余弦公式计算
可得；
（2）根据三角函数的变换规则求出 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，函数 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
（2）将 图象上所有的点向右平移 个单位得到 ，
再将 向下平移1个单位得到 ，
最后将 的所有点的纵坐标变为原来的 得到 ，
即 ，
由 ，即 ，所以 ， ，
解得 ， ，
令 可得 ，令 可得 ，
又 ，所以 ，
即在 时不等式 的解集为 .
19．(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) .
【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数 ，再探讨 在 上的性质，画出图象，
数形结合求解作答.
（2）由（1）求出B，由正弦定理求出 ，进而求出 ，再利用等腰三角形性质求解作答.
【详解】（1）依题意，
，
当 时， ，则当 时， 单调递增，函数值从 增大到2，
当 时， 单调递减，函数值从 减小到 ，
方程 在 上有2个不同的实数根，即直线 与函数 在 的图象有两个
公共点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 在 的图象，如图，
观察图象，当 时，直线 与函数 在 的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是 .
（2）由（1）知， ，即 ，
在 中， ，即 ，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，由正弦定理得 ，
则 ，显然 ，有 ，
于是 ，即有 ，则 ， 是等腰三角形，
所以 .
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