文档内容
专题 07 三角函数与三角恒等变换
14 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01同角三角函数的基本关系
知识1 同角三
2023·全国甲卷 2023·全国乙卷2022·浙江
角函数的基本
2021·新高考全国Ⅰ卷
关系及诱导公
式 考点02诱导公式
（5年5考） 2025·北京 2024·北京 2023·北京 2021·北京
考点03三角函数的周期
2024·上海 2023·天津 2022·上海
考点04三角函数的单调性
2025·全国二卷2021·新高考全国Ⅰ卷 2022·北京
考点05三角函数的奇偶性
1. 三角函数图象伸缩变换及图象
2024·天津 2023·全国甲卷
定区间最值极值问题是高考的重
难点
考点06三角函数的对称性
2. 三角函数中ω的范围问题三角
2025·全国一卷 2022·新高考全国Ⅰ卷
知识2 三角函 函数综合性质应用的重难点
数的性质 考点07三角函数的零点问题 3. 三角函数恒等变换是高考数学
（5年5考） 2025·北京 2024·新课标Ⅰ卷 2024·新课标Ⅱ卷 高频考点，常考是二倍角公式的
2023·新课标Ⅰ卷 2023·新课标Ⅱ卷2022·北京 应用
2022·全国甲卷
考点08三角函数的值域（最值）
2025·全国一卷2025·上海 2024·全国甲卷 2024·
北京2024·天津2023·上海2021·北京 2021·全国
乙卷 2021·浙江
考点09三角函数的性质综合
2025·天津 2024·新课标Ⅱ卷2023·全国乙卷
2023·北京 2022·全国乙卷 2022·新高考全国Ⅱ
卷 2022·天津
知识3 三角函 考点10三角函数图象识别
数的图象 2023·天津 2022·全国乙卷 2022·全国甲卷考点11三角函数的图象变换
2025·北京 2023·全国甲卷 2022·浙江
2022·全国甲卷 2021·全国乙卷
（5年4考）
考点12由三角函数图象确定解析式
2021·全国甲卷
考点13和差角公式的应用
2024·新课标Ⅰ卷 2024·新课标Ⅱ卷
2024·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅱ卷
知识4 三角恒
2021·浙江 2021·新高考全国Ⅰ卷
等变换
考点14二倍角公式的应用
（5年5考）
2025·全国二卷 2023·上海 2023·新课标Ⅰ卷
2023·新课标Ⅱ卷2022·浙江2021·全国乙卷
2021·全国甲卷
考点01同角三角函数的基本关系
1．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求 ，进而可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
考点02诱导公式
5．（2025·北京·高考真题）已知 ，且 ， .写出满足
条件的一组 的值 ， ．【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为 ， ，
所以 的终边关于 轴对称，且不与 轴重合，
故 且 ，
即 ，
故取 可满足题设要求；
故答案为： ； （答案不唯一）
6．（2025·北京·高考真题）关于定义域为 的函数 ，给出下列四个结论：
①存在在 上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在 上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在 上的增函数 ，满足 ，
则 ，即 ，
故 时， ，故 ，
故 即 ，矛盾，故①错误；
对于②，取 ，该函数为 上的减函数且 ，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取 ，
此时 ，由 可得 有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在 ，使得 ，
令 ，则 ，但 ，矛盾，
故满足 的函数不存在，故④错误.故答案为：②③
7．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点
对称.若 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】首先得出 ，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意 ，从而 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .
故答案为： .
8．（2021·北京·高考真题）若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一个取值
为 ．
【答案】 （满足 即可）
【分析】根据 在单位圆上，可得 关于 轴对称，得出 求解.
【详解】 与 关于 轴对称，
即 关于 轴对称，
，
则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.
9．（2023·北京·高考真题）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假
命题的一组 的值为 ， ．
【答案】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，则 .
不妨取 ，即 满足题意.
故答案为： .
考点03三角函数的周期
10．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．
11．（2023·天津·高考真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
12．（2022·上海·高考真题）函数 的周期为 ；
【答案】
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】 ,
所以 的周期为：
故答案为： .
考点04三角函数的单调性
13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求
的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先
把 化为正数．
14．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得 ，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得 ，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数 的单
调区间.
【详解】（1）由题意 ，所以 ；
（2）由（1）可知 ，
所以
，
所以函数 的值域为 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
考点05三角函数的奇偶性
16．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则
，故A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ， ，
，则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，
因为 ，且 不恒为0，
则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
17．（2023·全国甲卷·高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
考点06三角函数的对称性
18．（2025·全国一卷·高考真题）若点 是函数 的图像的一个对称中心，则a的
最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质， 的对称中心横坐标满足 ，
即 的对称中心是 ，
即 ，
又 ，则 时 最小，最小值是 ，
即 .
故选：B
19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A
考点07三角函数的零点问题
20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
21．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 ，代入自变量 ，计算即可.
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
22．（2025·北京·高考真题）设函数 ，若 恒成立，且 在
上存在零点，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数 ，
设函数 的最小正周期为T，由 可得 ，所以 ，即 ；
又函数 在 上存在零点，且当 时， ，
所以 ，即 ；
综上， 的最小值为4.
故选：C.
23．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令
，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可
得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
24．（2022·全国甲卷·高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
25．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
26．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，依题可得， ，结合 的解可得， ，从而得
到 的值，再根据 以及 ，即可得 ，进而求得 ．
【详解】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性
质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
考点08三角函数的值域（最值）
27．（2025·上海·高考真题）函数 在 上的值域为 ．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数 在 上单调递增，在 单调递减，
且 ，
故函数 在 上的值域为 .
故答案为： .
28．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
29．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .故选：D.
30．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小值
为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
31．（2024·天津·高考真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在区间
上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】结合周期公式求出 ，得 ，再整体求出当 时， 的范围，
结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，则 ，所以 ，
即 ，当 时， ，
所以当 ，即 时，
故选：D
32．（2023·上海·高考真题）已知 ，函数 在区间 上最小值为 ，在区间 上的
最小值为 变化时，下列不可能的是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数 的最小正周期是 ，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当 时， ， ，而 ， ，
因此 在 上的最小值 ，在 上的最小值 ，A可能；
当 时， ， ，
因此 在 上的最小值 ，在 上的最小值 ，B可能；
当 时， ， ，
因此 在 上的最小值 ，在 上的最小值 ，D可能；
对于C，若 ，则 ，
若 ，则区间 的长度 ，并且 且 ，
即 且 与 矛盾，所以C不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
33．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
34．（2021·全国乙卷·高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期
为 ，最大值为 .
故选：C．
35．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
36．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数 ，求 在 的最大值；
（2）给定 ，设a为实数，证明：存在 ，使得 ；
（3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者
利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑 时 的范围，对于 时，可利用（2）中的结论结合特值法求得 ，从而
可得 的最小值；或者先根据函数解析特征得 ，再结合特值法可得 ，结合（1）的结果可得
的最小值.
【详解】（1）法1： ，
因为 ，故 ，故 ，
当 时， 即 ，
当 时， 即 ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
故 在 上的最大值为 .
法2：我们有.
所以：
.
这得到 ，同时又有 ，
故 在 上的最大值为 ，在 上的最大值也是 .
（2）法1：由余弦函数的性质得 的解为 ， ，
若任意 与 交集为空，
则 且 ，此时 无解，
矛盾，故无解；故存在 ，使得 ，
法2：由余弦函数的性质知 的解为 ，
若每个 与 交集都为空，
则对每个 ，必有 或 之一成立.
此即 或 ，但长度为 的闭区间 上必有一整数 ，该整数 不满足条件，矛盾.
故存在 ，使得 成立.
（3）法1：记 ，
因为 ，
故 为周期函数且周期为 ,故只需讨论 的情况.
当 时， ，
当 时， ，
此时 ，令 ，则 ，
而 ，
，故 ，
当 ，在（2）中取 ，则存在 ，使得 ，
取 ，则 ，取 即 ，
故 ，故 ，
综上 ，可取 ， 使得等号成立.
综上， .
法2：设 .
①一方面，若存在 ，使得 对任意 恒成立，则对这样的 ，同样有
.
所以 对任意 恒成立，这直接得到 .
设 ，则根据 恒成立，有
所以 均不超过 ，
再结合 ，
就得到 均不超过 .
假设 ，则 ，故 .
但这是不可能的，因为三个角 和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在
直线 左侧.
所以假设不成立，这意味着 .
②另一方面，若 ，则由（1）中已经证明 ，
知存在 ，使得
.
从而 满足题目要求.
综合上述两个方面，可知 的最小值是 .
考点09三角函数的性质综合
37．（2022·全国乙卷·高考真题）记函数 的最小正周期为T，若
， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得
解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
38．（2025·天津·高考真题） ，在 上单调递增，且 为
它的一条对称轴， 是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（ ）A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出 ，根据单调性得出 ，从而确定 ，结合对称轴与对
称中心再求出 ，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】设 的最小正周期为 ，根据题意有 ， ，
由正弦函数的对称性可知 ，
即 ，
又 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ，∴ 时， ，∴ ，
当 时， ，
由正弦函数的单调性可知 .
故选：A
39．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线
和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 即可得到答案.
【详解】因为 在区间 单调递增，所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
40．（2022·天津·高考真题）关于函数 ，给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个
单位长度得到，④不正确．
故选：A．
41．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 的图像关于点
中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
42．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数 和 ，下列说法中正确
的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
43．（2023·北京·高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1) .
(2)条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， .【分析】（1）把 代入 的解析式求出 ，再由 即可求出 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 的解析式化简，根据 在 上的单调性及
函数的最值可求出 ，从而求出 的值；把 的值代入 的解析式，由 和 即可求出
的值；若选条件③：由 的单调性可知 在 处取得最小值 ，则与条件②所给的条件一样，
解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
考点10三角函数图象识别
44．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
45．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
46．（2022·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
考点11 三角函数的图象变换
47．（2025·北京·高考真题）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有点的
（ ）
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【分析】由 ，根据平移法则即可解出．
【详解】因为 ，所以将函数 的图象上所有点的横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变，即
可得到函数 的图象，
故选：A.
48．（2023·全国甲卷·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长
度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
49．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的
点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
50．（2022·全国甲卷·高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲
线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
51．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
考点12由三角函数图象确定解析式
52．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则
.
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
【详解】由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是
求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x，
0
则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
53．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数x为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 的解析式，再求出 的值，然后求解三角不等式可得最小
正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的
最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求解 .
考点13和差角公式的应用
54．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 ，再缩小 的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得 ，
因为 ， ，
则 ， ，
又因为 ，
则 ， ，则 ，
则 ，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
故答案为： .
55．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求 的关系，结合 的值可求前者，故可求
的值.
【详解】因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
故 即 ，
从而 ，故 ，
故选：A.
56．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
57．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
58．（2021·浙江·高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，
大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不
可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
59．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
考点14二倍角公式的应用
60．（2023·上海·高考真题）已知 ，则 = .
【答案】 /
【分析】由正切的倍角公式求解
【详解】已知 ，则 .
故答案为：
61．（2021·全国乙卷·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得 ，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
62．（2025·全国二卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得 ，则 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.【详解】 ，
因为 ，则 ，则 ，
则 .
故选：D.
63．（2021·全国甲卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三角函
数的基本关系即可求解.
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
64．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
65．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
66．（2022·浙江·高考真题）若 ，则 ， ．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
