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微重点 6 三角函数中 ω，φ 的范围问题
三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值
域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．
考点一 三角函数的最值(值域)与 ω，φ 的取值范围
例1 (1)若函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为ω>0，所以当x∈时，
ωx－∈.
又因为函数f(x)＝sin(ω>0)在上的值域是，
所以≤－≤，
解得≤ω≤3.
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(a>0，ω>0)的最大值为2，若使函数f(x)在区间[0,3]上至
少取得两次最大值，则ω的取值范围是________．
答案
解析 f(x)＝sin ωx＋acos ωx
＝sin(ωx＋φ)，
因为f(x) ＝＝2，a>0，故a＝，
max
原式为f(x)＝2sin，
当f(x)取到最大值时，ωx＋＝＋2kπ，k∈Z，
当x∈[0,3]，f(x)取得两次最大值时，k分别为0和1，当k＝1时，ωx＋＝＋2π，x＝，
此时需满足≤3，解得ω≥.
规律方法 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图
象求解，要注意自变量的范围．
跟踪演练1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对
任意的x∈，不等式f(x)>恒成立，则φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A解析 因为函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，所以函数y＝f(x)的
最小正周期为T＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
当x∈时，＋φ<2x＋φ<＋φ.
因为－<φ<，
所以－<＋φ<，<＋φ<.
又因为不等式f(x)>对任意的x∈恒成立，所以解得≤φ≤.
因此φ的取值范围是.
考点二 单调性与 ω，φ 的取值范围
例2 (1)(2022·张家口模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，f(0)＝且函数f(x)在区间上单调递减，
则ω的最大值为________．
答案 10
解析 因为f(0)＝sin φ＝，
又|φ|≤，所以φ＝，
所以f(x)＝sin，
当x∈且ω>0时，
＋<ωx＋<＋，
因为f(x)在区间上单调递减，
则⊆(k∈Z)，
即
解得4＋32k≤ω≤10＋16k(k∈Z)，
因为ω>0，则
则0≤k≤且k∈Z，故k＝0，从而4≤ω≤10，
因此，ω的最大值为10.
(2)(2022·柳州模拟)若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不
单调，则ω的最小值为( )
A．9 B．7 C．11 D．3
答案 C
解析 因为直线x＝是曲线
y＝sin(ω>0)的一条对称轴，
则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤，
得－≤x≤，
则函数y＝sin在上单调递增，
而函数y＝sin在区间上不单调，
则<，解得ω>9，
所以ω的最小值为11.
规律方法 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子
集，利用集合的包含关系即可求解．
跟踪演练2 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由x∈，可得2x－φ∈，
又由0<φ<，且f(x)在上单调递增，
可得－φ≤，所以≤φ＜.
当x∈时，2x－φ∈，
由f(x)在上有最小值，可得－φ>，
所以φ<.综上，≤φ<.
考点三 零点与 ω，φ 的取值范围
例3 (1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，
得ωx＋∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，
知<πω＋≤，得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，
知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为.(2)(2022·龙岩质检)已知函数f(x)＝2sin＋b(ω>0)，若存在实数a，对任意的实数x都有f(a＋x)
＋f(a－x)＝2，且f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点，则f 的取值范围是( )
A. B．[－1，)
C．[－1，＋1) D．[0，＋1)
答案 C
解析 因为f(a＋x)＋f(a－x)＝2，
所以f(x)的图象关于(a，1)对称，所以b＝1，
所以f(x)＝2sin＋1(ω>0)，
令f(x)＝0，则2sin＋1＝0，
即sin＝－，
因为x∈[0,1]，
所以ωx－∈，
因为f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点，
所以≤ω－<，则2π≤ω<，
所以≤－<，
则－1≤sin<，
所以－1≤2sin＋1<＋1，
即－1≤f <＋1.
规律方法 已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求
解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的
最大值、最小值点．
跟踪演练3 (2022·湛江模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，f ＝f ，f ＝0，且f(x)在区间上有且
只有一个极大值点，则ω的最大值为________．
答案
解析 由题意知，k，k∈Z，
1 2
则k，k′∈Z，
其中k＝k－k，k′＝k＋k＝2k－k，
2 1 2 1 2
当k′＝－1时，φ＝－，k＝2k＋1，k∈Z；
2 2
当k′＝0时，φ＝，k＝2k，k∈Z.
2 2
又f(x)在区间上有且只有一个极大值点，
所以－＝≤2T＝，
得0<ω≤10，即0<≤10，
所以－0，所以ω的最小值为2.
2．(2022·湖南六校联考)将函数f(x)＝3sin的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到g(x)的
图象．若g(x)在上单调递增，则φ的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 g(x)＝3sin，
当0)，已知f(x)在上单调递增，则f(x)在(0,2π)上的零点
最多有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 A
解析 由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z，取k＝0，可得－≤x≤.
若f(x)在上单调递增，
则
解得0<ω≤.
若x∈(0,2π)，
则ωx＋∈.
设t＝ωx＋，
则t∈，
因为2ωπ＋∈，
所以函数y＝sin t在上的零点最多有2个．
所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个．
4．(2022·萍乡模拟)设函数f(x)＝sin在区间上的最大值为M，最小值为m，则M－m的最小
值为( )
A. B.
C．1－ D.
答案 B
解析 当x∈时，
2x＋∈，
令2x＋＝t，2a＋＝h，
则问题转化为g(t)＝sin t在上的最大值是M，最小值是m，
由正弦函数性质，可知g(t)＝sin t的周期是2π，要使得M－m最小，则g(t)的最大值或最小
值点是区间的中点，
由周期性，不妨取h＋h＋＝π或h＋h＋＝3π，即h＝或h＝，
当h＝时，M＝1，m＝sin ＝，M－m＝，
当h＝时，m＝－1，
M＝sin ＝－，M－m＝.
5．(多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，f ＝0，f(x)≤恒成立，且f(x)在区间上单调，那么下列
说法中正确的是( )
A．存在φ，使得f(x)是偶函数
B．f(0)＝f
C．ω是奇数
D．ω的最大值为3
答案 BC
解析 由f(x)≤，知x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，所以f(0)＝f .
又f ＝0，
所以·T＝－＝(n∈Z)，
即·＝(n∈Z)，
即ω＝2n＋1(n∈Z)．
因为f(x)在上单调，
所以＝≥－＝，
所以ω≤8，所以ω ＝7.
max
因为|φ|<，
所以φ≠＋kπ(k∈Z)，
所以不存在φ，使得f(x)是偶函数．
6．(多选)(2022·山东学期联考)已知函数f(x)＝cos(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A．若将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4
B．若f ＝f ，则ω的最小值为1
C．若f(x)在上单调递减，则ω的取值范围为
D．若f(x)在上无零点，则ω的取值范围为
答案 BC
解析 f(x)＝cos＝cos
＝sin(ω>0)，
若将f(x)的图象向左平移个单位长度，
所得y＝sin的图象与原图象重合，
则＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k，k∈Z，故ω的最小值为8，故A错误；
若f ＝f ，且ω最小，则函数的图象关于直线x＝对称，
∴ω·＋＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝4k＋1(k∈Z)，则ω的最小值为1，故B正确；
∵x∈，
∴ωx＋∈，
若f(x)在上单调递减，
则k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，
令k＝0，可得ω的取值范围为，
故C正确；
若f(x)在上无零点，则k∈Z，
解得2k－≤ω≤k＋，k∈Z，
令k＝0，可得ω的取值范围为；
令k＝1，可得ω的取值范围为，
故ω的取值范围为∪，故D错误．
7．已知函数f(x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)(ω>0)在区间(0，π)上恰有2个最大值点，则ω的
取值范围是__________．
答案
解析 f(x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)
＝＋sin 2ωx
＝sin＋，
∵x∈(0，π)，
∴2ωx－∈，
∵f(x)在(0，π)上恰有2个最大值点，
∴y＝sin t在上恰有两个最大值点，
∵当t＝，，时，y可以取最大值，
∴<2ωπ－≤，
解得<ω≤.
8．(2022·衡阳模拟)已知函数 f(x)＝sin x＋|cos x|，则函数 f(x)的一个单调递增区间为
__________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．
答案
解析 当x∈，k∈Z时，
f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
当x∈，k∈Z时，
f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
令－≤x＋≤，
得－≤x≤，
所以函数f(x)的一个单调递增区间为，
f(x)＝
则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，
则当x∈时，f(x)∈[1,2]，
且f(0)＝，f ＝1，
当x∈时，
令－≤x－≤，则－≤x≤，
所以函数f(x)在上单调递增，
此时f(x)∈[1,2]；
令≤x－≤，得≤x≤，
所以函数f(x)在上单调递减，
当x∈时，
令f(x)＝1，得x＝，
因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，
所以≤a≤.
