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5.3 三角函数的图象与性质
考点清单
学生用书P36 知识结构化 考点清单化
考点一 三角函数的图象及其变换 续表
１.用五点法画ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 一个周期内的简图
＝ ｓｉｎ( ＋ )( ≠０ꎬ ≠０)
用五点法画ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 一个周期内的简图
＝ ｓｉｎ( ＋ )( ≠０ꎬ ≠０) 部分图象
时 要找五个关键点 如下表所示
ꎬ ꎬ :
φ φ φ φ φ
ｘ π π－ ３π ２π－
－ω －ω ＋ ω ω ω－ω ω
２ ２ 值域 [ ꎬ ] [ ꎬ ] Ｒ
－１ １ －１ １
ωｘ φ π ３π
对称轴:
＋ ０ π ２π
２ ２ 对称轴:ｘ ｋ ｘ ｋ
＝ π＋ ＝ π 对称中心:
ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ (ωｘ Ａ Ａ π(ｋ Ｚ)ꎻ (ｋ ∈ Ｚ)ꎻ (ｋ )
＋ φ) ０ ０ － ０ 对称性 ２ ∈ 对称中心: πꎬ ０ ( ｋ ∈
对称中心: ( ) ２
２.ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 的有关概念 ｋ πꎬ Ｚ)
＝ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０) (ｋ π ꎬ ０ )(ｋ ∈ Ｚ) π＋ ２ ０
ｙ
＝
Ａ
ｓｉｎ(
ωｘ
＋
φ
)(
Ａ
>０ꎬ
ω
>０)ꎬ
ｘ
∈[０ꎬ＋∞)
表示一个振动量时
ꎬ
(ｋ
∈
Ｚ)
ω
振幅为 Ａ 周期 Ｔ ２π 频率 ｆ １ 相位为 ωｘ φ 初相 周期
ꎬ ＝ ωꎬ ＝ Ｔ ＝ ꎬ ＋ ꎬ ２π ２π π
２π 单调增区间:
为φ.
[ 单调增区间:
３.函数ｙ ｘ的图象经变换得到ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω ｋ πꎬ ｋ
＝ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０) ２ π－ ２ π [ ｋ ꎬ
的图象的两种途径 ２ ２ π－π 单调增区间:
] ｋ ]
π (ｋ Ｚ)ꎻ ２ π (
＋ ∈ (ｋ Ｚ)ꎻ ｋ πꎬｋ
单调性 ２ ∈ π－ π＋
单调减区间: 单调减区间: ２
)
[ [ ｋ ꎬ π (ｋ Ｚ)
ｋ πꎬ ｋ ２ π ∈
２ π＋ ２ π ｋ ] ２
２ ２ π＋π
] (ｋ Ｚ)
３π (ｋ Ｚ) ∈
＋ ∈
２
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
２.求三角函数的最值常见的函数形式
ａ
ｙ ａ ｘ ｂ ｘ ａ２ ｂ２ ｘ φ 其中 φ
(１) ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ＋ ｓｉｎ( ＋ )ꎬ ｃｏｓ ＝ ａ２ ｂ２ ꎬ
＋
ｂ
φ .
ｓｉｎ ＝ ａ２ ｂ２
＋
降次 整理
ｙ ａ ２ｘ ｂ ２ｘ ｃ ｘ ｘ 、 ｙ Ａ ｘ Ｂ ｘ Ｃ
(２) ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ｃｏｓ → ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ＋
注意 函数图象变换要明确 要弄清楚是平移哪个函数的 Ｂ
(１) ꎬ Ａ２ Ｂ２ ｘ φ Ｃ 其中 φ 再利用有界性处理.
图象 得到哪个函数的图象. ＝ ＋ ｓｉｎ(２ ＋ )＋ ꎬ ｔａｎ ＝ Ａꎬ
ꎬ
要注意平移前后两个函数的名称是否一致 若不一致 应 ｙ ａ ２ｘ ｂ ｘ ｃ可转化为关于 ｘ的二次函数式.
(２) ꎬ ꎬ (３) ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ
先利用诱导公式化为同名函数. 上述两种变换的区别 先相 ｙ ａ ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｃ型常用换元法 令ｔ ｘ
(３) : (４) ＝ (ｓｉｎ ＋ｃｏｓ )＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ꎬ ＝ｓｉｎ ＋
位变换再周期变换 伸缩变换 平移的量是 φ 个单位长度 ｔ２
( )ꎬ ｜ ｜ ꎻ ｘ ｔ 则 ｘ ｘ －１ 把三角问题转化为代数问
φ ｃｏｓ ꎬ｜ ｜≤ ２ꎬ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ꎬ
而先周期变换 伸缩变换 再相位变换 平移的量是｜ ｜ ω ２
( ) ꎬ ω ( >０) 题求解.
年
个单位长度.原因在于相位变换和周期变换都是针对ｘ而言的.
高
考 考点二 三角函数的性质及其应用
年 １.常见三角函数的图象和性质
模
拟
函数
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
性质 ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
{
︵ ｘ ｘ ｋ
教 ≠ π＋
定义域 Ｒ Ｒ
师 }
用 πꎬｋ ∈ Ｚ
书 ２
︶
８４
题型方法
学生用书P37 题型经典 方法实用
一、利用三角函数图象求其解析式的方法
Ｔ ２π ω
由图象确定函数ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω 的解析式的 ∵ ＝ ω ꎬ >０ꎬ
＝ ｓｉｎ( ＋ )＋ ( >０ꎬ >０) ｜ ｜
步骤
ω ２π ２π π.
Ｍ ｍ ∴ ＝ Ｔ ＝ ＝
１.求Ａ Ｂ 确定函数的最大值 Ｍ 和最小值 ｍ 则 Ａ － Ｂ ４ ２
ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ( )
２ ｆ ｘ πｘ φ 把Ａ点坐标代入 则有
Ｍ ｍ ∴ ( )＝ ３ｓｉｎ ＋ ꎬ ꎬ
＋ . ２
＝ ( ) ( )
２ π １ φ 即 π φ .
３ｓｉｎ × ＋ ＝ ３ꎬ ｓｉｎ ＋ ＝１
２.求ω 确定函数的周期Ｔ 则ω ２π. ２ ２ ４
ꎬ ꎬ ＝ Ｔ
π φ π ｋ ｋ Ｚ φ π ｋ ｋ Ｚ. φ
３.求φ 常用方法 ∴ ＋ ＝ ＋２ ０π( ０∈ )ꎬ∴ ＝ ＋２ ０πꎬ ０∈ ∵ ０< <１ꎬ
ꎬ : ４ ２ ４
代入法 把图象上的一个已知点的坐标代入 此时要注意该 ( )
(１) : ( φ π. ｆ ｘ πｘ π .
点是在递增区间上还是在递减区间上 或把图象的最高点 最低 ∴ ＝ ∴ ( )＝ ３ｓｉｎ ＋
) ( ４ ２ ４
点 的坐标代入.
) 由πｘ π ｋ ｋ Ｚ 解得ｘ ｋ １ ｋ Ｚ 令ｋ ｋ
五点法 确定φ的值时 往往以寻找 五点法 中的特殊点 ＋ ＝ １π( １∈ )ꎬ ＝２ １－ ( １∈ )ꎬ １＝ ＋１
(２) : ꎬ “ ” ２ ４ ２
作为突破口.
ｋ Ｚ 则ｘ ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ ｆ ｘ 的图象的
( ∈ )ꎬ ＝２( ＋１)－ ＝２ ＋ ( ∈ )ꎬ∴ ( )
例1 函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 其中Ａ ω φ 的 ２ ２
(１) ( )＝ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π) ( )
图象如图所示 则ω φ的值为 对称中心是 ｋ ３ ｋ Ｚ .
ꎬ ꎬ ( ) ２ ＋ ꎬ０ ( ∈ )
２
故选 .
Ｃ
答案 Ａ Ｃ
(１) (２)
二、三角函数的性质及其应用
１.三角函数的单调性
求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式进行化
(１) ꎬ
简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 .
ꎬ “ ”
π π 求形如ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 其中ω 的
Ａ.３ꎬ Ｂ.３ꎬ－ (２) ＝ ｓｉｎ( ＋ )＋ ＝ ｃｏｓ( ＋ )＋ ( >０)
４ ４ 单调区间时 要视 ωｘ φ 为一个整体 通过解不等式求解.如
ꎬ “ ＋ ” ꎬ
Ｃ.６ꎬ－ π Ｄ.６ꎬ π 果ω 那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数.
２ ２ <０ꎬ
已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区
函数ｆ ｘ ωｘ φ ω φ 的部分图象如图 (３) ꎬ
(２) ( )＝ ３ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ０< <１) 间 然后利用集合间的关系求解.
所示.已知Ａ Ｂ两点之间的距离为 则ｆ ｘ 的图象的对称中 ꎬ
ꎬ ４ꎬ ( ) ２.三角函数的奇偶性
心是
( ) 对于ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 若为奇函数 则φ ｋ ｋ Ｚ
＝ ｓｉｎ( ＋ )ꎬ ꎬ ≠０ꎬ ꎬ ＝ π( ∈ )ꎻ
若为偶函数 则φ π ｋ ｋ Ｚ .对于ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω
ꎬ ＝ ＋ π( ∈ ) ＝ ｃｏｓ( ＋ )ꎬ ꎬ
２
若为奇函数 则φ π ｋ ｋ Ｚ 若为偶函数 则φ ｋ
≠０ꎬ ꎬ ＝ ＋ π( ∈ )ꎻ ꎬ ＝ π
２
ｋ Ｚ .
( ∈ )
３.三角函数的周期性
( )
ｋ ｋ Ｚ ｋ ３ ｋ Ｚ 求三角函数的最小正周期 一般先通过恒等变换化为 ｙ
Ａ.(２ π＋２ꎬ０)( ∈ ) Ｂ. ２ π＋ ꎬ０ ( ∈ ) ꎬ ＝
２ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ
( ) ｓｉｎ( ＋ )＋ ＝ ｃｏｓ( ＋ )＋ ＝ ｔａｎ( ＋ )＋ ( ꎬ
ｋ ３ ｋ Ｚ ｋ ｋ Ｚ
Ｃ. ２ ＋ ꎬ０ ( ∈ ) Ｄ.(２ ＋２ꎬ０)( ∈ ) ω φ Ｂ为常数 Ａ ω 的形式 再应用公式 Ｔ ２π 正
２ ꎬ ꎬ ꎬ ≠０ꎬ ≠０) ꎬ ＝ ω (
解析 由函数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 其中 Ａ ω ｜ ｜
(１) ( )＝ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ
弦 余弦型 或Ｔ π 正切型 求解.
φ 的图象 可得Ａ １ ２π ５π π 解得ω .再根 、 ) ＝ ω ( )
｜ ｜<π) ꎬ ＝１ꎬ ω ＝ － ꎬ ＝３ ｜ ｜
４ １２ ４ ４.三角函数图象的对称性
据五点作图法可得 π φ 解得 φ π 满足 φ .故 函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ为常数 Ａ ω 图象的 第
３× ４ ＋ ＝πꎬ ＝ ４ ꎬ ｜ ｜<π 对称轴 ( 一 ) 定 ＝ 经 ｓｉ 过 ｎ( 图象 ＋ 的 ) 最 ( 高 ꎬ 点 ꎬ 或最低点 ꎬ 对 ≠ 称 ０ 中 ꎬ 心 ≠ 的 ０ 横 ) 坐标一 五
选 ꎬ 章
Ａ. 定是函数的零点 因此在判断直线ｘ ｘ 或点 ｘ 是不是函
(２) 由题意 ꎬ 设Ａ点的横坐标为ｘ ０ꎬ 数图象的对称轴 ꎬ 或对称中心时 可通 ＝ 过检 ０ 验ｆ ( ｘ ０ꎬ 的 ０) 值进行. 三
则 ５
２
－ ｘ ０＝ ４ ２ －(２ ３) ２ ＝２ꎬ 例2 (２０１９课标
Ⅰ
理ꎬ１１ꎬ５分) ꎬ 关于函数ｆ
(
ｘ
)
(
＝
０
ｓ
)
ｉｎ｜
ｘ
｜＋｜ｓｉｎ
ｘ
｜
角 函
数
有下述四个结论
与
解得ｘ １ . :
０＝ ｆ ｘ 是偶函数 解
２ ① ( ) ꎻ 三
Ｔ ５ １ 即Ｔ . ｆ ｘ 在区间 ( π ) 单调递增 角
∴ ＝ － ＝２ꎬ ＝４ ② ( ) ꎬπ ꎻ 形
２ ２ ２ ２
８５
ｆ ｘ 在 有 个零点 正确
③ ( ) [－πꎬπ] ４ ꎻ ꎻ
ｆ ｘ 的最大值为 . 当ｘ 时 ｘ ｆ ｘ ｘ 有两个零点 当 ｘ
④ ( ) ２ ∈[０ꎬπ] ꎬｓｉｎ ≥０ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎ ꎬ ∈
其中所有正确结论的编号是 时 ｆ ｘ ｘ仅有一个零点 故 不正确
( ) [－πꎬ０) ꎬ ( )＝－２ｓｉｎ ꎬ ③ ꎻ
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 其最大值为 又ｆ ｘ 是Ｒ上
Ａ.①②④ Ｂ.②④ ≥０ ꎬ ( )＝ｓｉｎ ＋｜ｓｉｎ ｜ꎬ ２ꎬ ( )
的偶函数 故ｆ ｘ 在Ｒ上的最大值为 正确.
Ｃ.①④ Ｄ.①③ ꎬ ( ) ２ꎬ④
解析 ｆ ｘ 的定义域为 ｆ ｘ ｘ 综上 正确 不正确.
( ) (－∞ꎬ＋∞)ꎬ (－ )＝ ｓｉｎ｜－ ｜＋ ꎬ①④ ꎬ②③
ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ 故ｆ ｘ 是偶函数 正确 答案 Ｃ
｜ｓｉｎ(－ )｜＝ｓｉｎ｜ ｜＋｜ｓｉｎ ｜＝ ( )ꎬ ( ) ꎬ① ꎻ
( )
当ｘ π 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 单调递减 不
∈ ꎬπ ꎬ ( )＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ꎬ②
２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
８６
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 三角函数的图象及其变换
学生用书P171 把Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 再把
( ) Ｃ. １ ꎬ ꎬ
２
１.(２０２２全国甲文ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)将函数ｆ ｘ ωｘ π
( )＝ ｓｉｎ ＋ 得到的曲线向右平移π个单位长度 得到曲线Ｃ
３ ꎬ ２
６
ω 的图象向左平移π个单位长度后得到曲线Ｃ 若Ｃ关
( >０) ꎬ 把Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 再把
２ Ｄ. １ ꎬ ꎬ
于ｙ轴对称 则ω的最小值是 ２
ꎬ ( )
得到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ
１ １ １ １ ꎬ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. １２
６ ４ ３ ２ 答案 Ｄ
答案 Ｃ
５.(２０２０课标 ꎬ文 ７ꎬ理 ７ꎬ５ 分ꎬ综合性)设函数 ｆ ｘ
２.(２０２２浙江ꎬ６ꎬ４分ꎬ基础性)为了得到函数ｙ ｘ的图象 ( ) Ⅰ ( )＝
＝２ｓｉｎ ３ ꎬ
( ) ωｘ π 在 的图象大致如图 则ｆ ｘ 的最小正周
只要把函数ｙ ＝２ｓｉｎ ３ ｘ ＋ π 图象上所有的点 ( ) ｃｏｓ ＋ ６ [－πꎬπ] ꎬ ( )
５ 期为
( )
向左平移π个单位长度
Ａ.
５
向右平移π个单位长度
Ｂ.
５
向左平移π个单位长度
Ｃ.
１５
向右平移π个单位长度 １０π ７π ４π ３π
Ｄ. Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１５ ９ ６ ３ ２
答案 Ｄ 答案 Ｃ
３.(２０２１全国乙理ꎬ７ꎬ５分ꎬ基础性)把函数ｙ ｆ ｘ 图象上所有 ６.(２０１９天津ꎬ文 ７ꎬ理 ７ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知函数 ｆ ｘ
＝ ( ) ( )＝
Ａ ωｘ φ Ａ ω φ 是奇函数 将ｙ ｆ ｘ 的图象
点的横坐标缩短到原来的 １ 倍 纵坐标不变 再把所得曲线向 ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π) ꎬ ＝ ( )
ꎬ ꎬ 上所有点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 所得图
２ ２ ( )ꎬ
( ) ( )
右平移π个单位长度 得到函数ｙ ｘ π 的图象 则ｆ ｘ 象对应的函数为ｇ ｘ .若ｇ ｘ 的最小正周期为 且ｇ π
ꎬ ＝ｓｉｎ － ꎬ ( )＝ ( ) ( ) ２πꎬ ＝
３ ４ ( ) ４
则ｆ ３π
( ｘ ) ( ｘ ) ( ) ２ꎬ ８ ＝ ( )
７π π
Ａ.ｓｉｎ － Ｂ.ｓｉｎ ＋
２ １２ ２ １２ Ａ.－２ Ｂ.－ ２ Ｃ. ２ Ｄ.２ ( ) ( ) 答案 Ｃ
ｘ ７π ｘ π
Ｃ.ｓｉｎ ２ － Ｄ.ｓｉｎ ２ ＋ ７.(多选)(２０２０ 新高考 ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ综合性)如图是函数 ｙ １２ １２ Ⅰ ＝
答案 Ｂ ωｘ φ 的部分图象 则 ωｘ φ
ｓｉｎ( ＋ ) ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝ ( )
４.(２０１７课标 理ꎬ９ꎬ５分ꎬ基础性)已知曲线Ｃ ｙ ｘ Ｃ ｙ
Ⅰ １: ＝ｃｏｓ ꎬ ２:
( )
ｘ ２π 则下面结论正确的是
＝ｓｉｎ ２ ＋ ꎬ ( )
３
把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 再把
Ａ. １ ２ ꎬ ꎬ
得到的曲线向右平移π个单位长度 得到曲线Ｃ
ꎬ ２ ( ) ( )
６
ｘ π π ｘ
把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 再把 Ａ.ｓｉｎ ＋ Ｂ.ｓｉｎ －２
Ｂ. １ ２ ꎬ ꎬ ３ ３
( ) ( )
得到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ ｘ π ５π ｘ
ꎬ ２ Ｃ.ｃｏｓ ２ ＋ Ｄ.ｃｏｓ －２
１２ ６ ６
答案 ＢＣ ( ) ( )
３π ３π
８.(２０２１全国甲文ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ωｘ Ｃ. πꎬ Ｄ. ꎬ２π
( )＝２ｃｏｓ( ＋ ２ ２
( ) 答案 Ａ
φ 的部分图象如图所示 则ｆ π .
) ꎬ ＝ ｘ ｘ
２ ６.(２０２１全国乙文ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)函数ｆ ｘ
( )＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
３ ３
的最小正周期和最大值分别是
( )
和 和 和 和
Ａ.３π ２ Ｂ.３π ２ Ｃ.６π ２ Ｄ.６π ２
答案 Ｃ
７.(２０２１北京ꎬ７ꎬ４分ꎬ综合性)函数ｆ ｘ ｘ ｘ是
答案 ( )＝ｃｏｓ －ｃｏｓ２
－ ３
( )
考点二 三角函数的性质及其应用
学生用书P173 奇函数 且最大值为
Ａ. ꎬ ２
( )
偶函数 且最大值为
１.(２０２２全国甲理ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ ωｘ π Ｂ. ꎬ ２
( )＝ｓｉｎ ＋
３ 奇函数 且最大值为 ９
在区间 恰有三个极值点 两个零点 则ω的取值范围是 Ｃ. ꎬ
(０ꎬπ) 、 ꎬ ８
( ) 偶函数 且最大值为 ９
[ ) [ ) Ｄ. ꎬ
５ １３ ５ １９ ８
Ａ. ꎬ Ｂ. ꎬ 答案 Ｄ
３ ６ ３ ６
( ] ( ] ( )
１３ ８ １３ １９ ８.(２０２０天津ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ｘ π .给
Ｃ. ꎬ Ｄ. ꎬ ( )＝ｓｉｎ ＋
６ ３ ６ ６ ３
答案 Ｃ 出下列结论
( ) :
２.(２０２２新高考 ꎬ６ꎬ５分ꎬ综合性)记函数ｆ ｘ ωｘ π ① ｆ ( ｘ ) 的最小正周期为 ２πꎻ
Ⅰ ( )＝ｓｉｎ ＋ ( )
４ ｆ π 是ｆ ｘ 的最大值
② ( ) ꎻ
ｂ ω 的最小正周期为Ｔ.若２π Ｔ 且ｙ ｆ ｘ 的图象关 ２
＋ ( >０) < <πꎬ ＝ ( )
( ) ( ) ３ 把函数ｙ ｘ的图象上所有点向左平移π个单位长度 可
③ ＝ｓｉｎ ꎬ
于点 ３π 中心对称 则ｆ π ３
ꎬ２ ꎬ ＝ ( )
２ ２ 得到函数ｙ ｆ ｘ 的图象.
＝ ( )
３ ５ 其中所有正确结论的序号是
Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ.３ ( )
２ ２
答案 Ａ Ａ.① Ｂ.①③
３.(２０２２北京ꎬ５ꎬ４分ꎬ基础性)已知函数ｆ
(
ｘ
)＝ｃｏｓ
２ｘ
－ｓｉｎ
２ｘ
ꎬ
则 Ｃ.②
答
③
案 Ｂ
Ｄ.①②③
( ) ９.(２０１８课标 文ꎬ８ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ２ｘ
( ) Ⅰ ( )＝ ２ｃｏｓ －
ｆ ｘ 在 π π 上单调递减 ２ｘ 则
Ａ. ( ) － ꎬ－ ｓｉｎ ＋２ꎬ ( )
２ ６ ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
( ) Ａ. ( ) πꎬ ３
ｆ ｘ 在 π π 上单调递增 ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
Ｂ. ( ) － ꎬ Ｂ. ( ) πꎬ ４
４ １２ ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
( )
Ｃ. ( ) ２πꎬ ３
ｆ ｘ 在 π 上单调递减 ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
Ｃ. ( ) ０ꎬ Ｄ. ( ) ２πꎬ ４
( ３ ) 答案 Ｂ
Ｄ. ｆ ( ｘ ) 在 π ꎬ ７π 上单调递增 １０.(２０１７天津文ꎬ７ꎬ５分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ ωｘ φ
４ １２ ( ) ( ( ) )＝２ｓｉｎ( ＋ )ꎬ
答案 Ｃ
ｘ Ｒ 其中ω φ .若ｆ ５π ｆ １１π 且ｆ ｘ 的最
４.(多选)(２０２２ 新高考 ꎬ９ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ∈ ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π ８ ＝２ꎬ ８ ＝０ꎬ ( )
Ⅱ ( )＝
( ) 小正周期大于 则
２πꎬ ( )
ｘ φ φ 的图象关于点 ２π 中心对称 则
ｓｉｎ(２ ＋ )(０< <π) ꎬ０ ꎬ
３ ω ２ φ π ω ２ φ １１π
Ａ. ＝ ꎬ ＝ Ｂ. ＝ ꎬ ＝－
３ １２ ３ １２
( )
( )
ｆ ｘ 在区间 ５π 单调递减 Ｃ. ω ＝ １ ꎬ φ ＝－ １１π Ｄ. ω ＝ １ ꎬ φ ＝ ７π
Ａ. ( ) ０ꎬ ３ ２４ ３ ２４
１２
( ) 答案 Ａ
ｆ ｘ 在区间 π １１π 有两个极值点
Ｂ. ( ) － ꎬ １１.(２０２２全国乙理ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)记函数ｆ ｘ ωｘ φ
１２ １２ ( )＝ｃｏｓ( ＋ )
Ｃ. 直线ｘ ＝ ７π是曲线ｙ ＝ ｆ ( ｘ ) 的对称轴 ( ω >０ꎬ０< φ <π) 的最小正周期为Ｔ.若ｆ ( Ｔ )＝ ３ ꎬ ｘ ＝ π为ｆ ( ｘ ) 第
６ ２ ９ 五
的零点 则ω的最小值为 . 章
Ｄ.
直线ｙ
＝
３
－
ｘ是曲线ｙ
＝
ｆ
(
ｘ
)
的切线
答案
ꎬ
２ ３ 三
答案 ＡＤ １２.(２０１９北京理ꎬ９ꎬ５分ꎬ基础性)函数ｆ ｘ ２ ｘ的最小正 角
( )＝ｓｉｎ ２
５.(２０２１新高考 ꎬ４ꎬ５ 分ꎬ基础性)下列区间中 函数 ｆ ｘ 周期是 . 函
Ⅰ ꎬ ( )＝ 数
( )
与
ｘ π 单调递增的区间是 答案 π
７ｓｉｎ － ( ) 解
６ ２ 三
( ) ( ) ( )
π π １３.(２０１９课标 文ꎬ１５ꎬ５ 分ꎬ综合性)函数ｆ ｘ ｘ ３π 角
Ａ. ０ꎬ Ｂ. ꎬπ Ⅰ ( )＝ｓｉｎ ２ ＋ 形
２ ２ ２
８７
ｘ的最小值为 . 答案
－３ｃｏｓ ②③
答案 １６.(２０２１浙江ꎬ１８ꎬ１４分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ
－４ ( )＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ (
( ) Ｒ .
１４.(２０２０江苏ꎬ１０ꎬ５分ꎬ综合性)将函数ｙ ｘ π 的图 ∈ )
＝３ｓｉｎ ２ ＋ [ ( )]
２
４ 求函数ｙ ｆ ｘ π 的最小正周期
(１) ＝ ＋ ꎻ
象向右平移π个单位长度 则平移后的图象中与ｙ轴最近的 ２
ꎬ ( ) [ ]
６ 求函数ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π 在 π 上的最大值.
对称轴的方程是 . (２) ＝ ( ) － ０ꎬ
４ ２
[ ( )]
２
答案 ｘ ５ 解析 ( )由已知得ｙ ｆ ｘ π ( ｘ ｘ)２
＝－ π １ ＝ ＋ ＝ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝１－
２４ ２
１５.(２０２０课标 理ꎬ１６ꎬ５ 分ꎬ综合性)关于函数 ｆ ｘ ｘ ｘꎬ故所求的最小正周期Ｔ .
Ⅲ ( )＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ２ ＝π
( )
１ 有如下四个命题 ( )ｙ ｆ(ｘ)ｆ ｘ π ( ｘ ｘ) ｘ
ｘ : ２ ＝ － ＝ ２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ
ｓｉｎ ４
ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称. ( )
①( ) ｘ π ２ꎬ
ｆ ｘ 的图象关于原点对称. ＝ｓｉｎ ２ － ＋
②( ) ４ ２
[ ]
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称. 因为ｘ ꎬπ ꎬ
③( ) ＝ ∈ ０
２ ２
ｆ ｘ 的最小值为 . ( )
④( ) ２ 故当ｘ ３π时ꎬ函数ｙ ｆ(ｘ)ｆ ｘ π 取最大值 ２.
其中所有真命题的序号是 . ＝ ＝ － １＋
８ ４ ２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
８８
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2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P175
考点一 三角函数的图象及其变换
向上平移π个单位长度
Ａ.
１.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应性月考(八)ꎬ３)将函数ｆ ｘ 的 ４
( )
图象向右平移π个单位长度后得到函数ｇ ( ｘ )＝ｓｉｎ３ ｘ的图象 ꎬ Ｂ.
向下平移π
４
个单位长度
２
则ｆ ｘ
( )＝ ( ) 向左平移π个单位长度
Ｃ.
ｘ ｘ ｘ ｘ ４
Ａ.ｃｏｓ３ Ｂ.－ｃｏｓ３ Ｃ.ｓｉｎ３ Ｄ.－ｓｉｎ３
答案 Ｂ
向右平移π个单位长度
Ｄ.
２.(２０２２ 湖北九师联盟 ３ 月质检ꎬ８) 已知函数ｆ ｘ ４
( ) ＝
( ) 答案 Ｃ
ｃｏｓ ２ ｘ － π ꎬ 先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 ４ ５.(多选)(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ９)将函数ｙ ｘ的图
３ ＝ｓｉｎ ２
倍 纵坐标不变 再将所得到的图象向右平移２π个单位长度 象向右平移π个单位长度后得到函数ｆ ｘ 的图象 则
( )ꎬ ꎬ ( ) ꎬ ( )
３ ６
得到函数ｇ ｘ 的图象 则 ( )
( ) ꎬ ( ) ｆ ｘ ｘ π
ｇ ｘ 的最小正周期是 Ａ. ( )＝ｃｏｓ ２ ＋
Ａ. ( ) ２π ６
( )
ｇ ｘ 的最小值为
Ｂ. ( ) －２ π 是ｆ ｘ 图象的一个对称中心
ｇ ｘ 在 上单调递增 Ｂ. ꎬ０ ( )
Ｃ. ( ) (０ꎬπ) ６
( )
ｇ ｘ 的图象关于点 π 对称 当ｘ π时 ｆ ｘ 取得最大值
Ｄ. ( ) ꎬ０ Ｃ. ＝－ ꎬ ( )
２ １２ 答案 Ｃ [ ]
函数ｆ ｘ 在区间 ５π 上单调递增
３.(２０２２湖北八市联考ꎬ５)将函数ｙ ｘ φ 的图象沿ｘ轴 Ｄ. ( ) πꎬ ＝ｓｉｎ(２ － ) ４
答案 ＢＤ
向右平移π个单位长度后 得到一个偶函数的图象 则φ的一
ꎬ ꎬ
８ ６.(２０２１辽宁百校联盟质检ꎬ１５)将函数ｆ ｘ 的图象向左平移π
个可能取值为 ( )
( ) ３
个单位 再把所得的图象保持纵坐标不变 横坐标伸长到原来的
π π π ３π ꎬ ꎬ
Ａ.－ Ｂ. Ｃ. Ｄ. ( ｘ )
４ ４ ２ ４ 倍得到ｙ π 的图象 则ｆ ｘ 的解析式是
答案 Ｂ ４ ＝ｓｉｎ ＋ ꎬ ( )
２ ４
４.(２０２２河北衡水中学六调ꎬ２)要得到函数 ｙ ｘ 的图 [ ]
＝ ２ｃｏｓ 函数ｆ ｘ 在区间 π π 上的值域是 . ( ) ꎻ ( ) － ꎬ
象 只需将函数ｙ ｘ π 的图象 ８ １２
ꎬ ＝ ２ｓｉｎ ＋ ( ) ( ) é ù ４ 答案 ｆ(ｘ) ｘ ５π ꎻêê ꎬ ２úú
＝ｓｉｎ ２ － ë－１ － û
１２ ２
考点二 三角函数的性质及其应用
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
Ａ. ( ) ＝
１.(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ４)函数 ｆ ｘ ２
( )＝
( ) ｆ ｘ 的最小正周期为π
ｘ π 的图象的一个对称中心为 Ｂ. ( )
ｔａｎ ２ － －１ ( ) ２
３ ｆ ｘ 的最小值为
( ) ( ) Ｃ. ( ) １
Ａ. π ꎬ－１ Ｂ. ７π ꎬ－１ ｆ ｘ 的最大值为 ３ ４
１２ １２ Ｄ. ( ) ２
( ) ( ) 答案 ＡＣＤ
７π π
Ｃ. － ꎬ１ Ｄ. － ꎬ－１ ５.(多选)(２０２２河北邯郸一模ꎬ１１)已知函数ｆ ｘ ｘ
１２ １２ ( )＝ ｜ｓｉｎ ｜
答案 Ｄ ｘ 则
ｓｉｎ ꎬ ( )
２.(２０２２江苏泰州二调ꎬ４)时钟花是原产于南美热带雨林的一 ｆ ｘ 为周期函数
Ａ. ( )
种藤蔓植物 其开放和闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表 ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称
ꎬ Ｂ. ( )
明 当气温上升到 时 时钟酶活跃起来 花朵开始开放 当 ｆ ｘ 的值域为
ꎬ ２０℃ ꎬ ꎬ ꎻ Ｃ. ( ) [－１ꎬ１]
气温上升到 时 时钟酶的活性减弱 花朵开始闭合 且每 ( )
２８ ℃ ꎬ ꎬ ꎬ ｆ ｘ 在 ３π 上单调递增
天开闭一次.已知某景区一天内 时的气温Ｔ 单位 与 Ｄ. ( ) －２πꎬ－
５~１７ ( :℃) ２
( ) 答案 ＡＣＤ
时间ｔ 单位 近似满足关系式Ｔ πｔ π 则这
( :ｈ) ＝２０－１０ｓｉｎ － ꎬ ６.(２０２１天津南开一模ꎬ７)已知函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ ω
８ ８ ( )＝ ３ｓｉｎ －ｃｏｓ (
( ( )
天该景区的时钟花从开始开放到开始闭合约经历 注 ３π 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且 ｘ ｘ 的最小值为π 则 ｆ π
:ｓｉｎ >０) ( １)－( ２)＝４ꎬ ｜ １－ ２｜ ꎬ
１０ ２ ８
)
的值为
. ( )
≈０８ ( )
. . . . ６－ ２
Ａ.１４ ｈ Ｂ.２４ ｈ Ｃ.３２ ｈ Ｄ.５６ ｈ Ａ. Ｂ.１ Ｃ. ３ Ｄ.２
答案 Ｂ ２
答案 Ａ
３.(２０２２重庆第七次质检ꎬ８)若关于ｘ的不等式 ｓｉｎ ｘ ｜ｓｉｎ ｘ － ｋ ｜ ７.(多选 )(２ ０２２石家庄二模ꎬ１２)已知函数ｆ ｘ ｘ
[ ] ( )＝ｓｉｎ(ｓｉｎ )＋
对任意ｘ π ５π 恒成立 则实数ｋ的取值范围为 ｘ 则下列结论正确的是
≤２ ∈ ꎬ ꎬ ｃｏｓ(ｃｏｓ )ꎬ ( )
６ ６ 函数ｆ ｘ 的一个周期为
Ａ. ( ) ２π
( )
( )
[ ] 函数ｆ ｘ 在 π 上单调递增
７ ５ Ｂ. ( ) ０ꎬ
Ａ.[－１ꎬ３] Ｂ. － ꎬ ２
２ ２ 函数ｆ ｘ 的最大值为
Ｃ. ( ) ２
Ｃ.[－１ꎬ２ ２] Ｄ.[１ꎬ２ ２]
答案 Ａ 函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
Ｄ. ( ) ＝
４.(多选) (２０２２ 湖北八市联考ꎬ１２) 已知函数 ｆ ｘ ２
( ) ＝ 答案 ＡＢＤ
ｘ ｘ
则
ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ꎬ ( )
２ ２
第
五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
８９
B组 综合应用题组 学生用书P176
50分钟 65分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分) 上的一个质点 它从初始位置Ｐ 开始 按逆时针方向做圆周运
ꎬ ０ ꎬ
( )
１.(２０２２江苏苏州常熟抽测(二)ꎬ８)若函数ｆ ｘ ωｘ π 动 角速度为π .如图 以砂轮圆心为原点 建立平面直角
( )＝ｓｉｎ ＋ ꎬ ｒａｄ/ｓ ꎬ ꎬ
３ ２
在区间 内有且只有两个极值点 则正数ω的取值范围是
[０ꎬπ) ꎬ 坐标系ｘＯｙ 若 Ｐ Ｏｘ π 则点Ｐ的纵坐标ｙ关于时间ｔ 单
ꎬ ∠ ０ ＝ ꎬ (
( ) ３
[ ] [ )
位 的函数关系式为
５ ８ ５ ８ :ｓ) ( )
Ａ. ꎬ Ｂ. ꎬ
３ ３ ３ ３
( ] [ )
７ １３ ７ １３
Ｃ. ꎬ Ｄ. ꎬ
６ ６ ６ ６
答案 Ｃ
２.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ７)若函数ｆ ｘ
( )
( )
ｘ φ φ π 的图象向左平移π个单位长度后关于
＝ｓｉｎ(２ ＋ ) ｜ ｜<
２ ６
[ ] ( ) ( )
直线ｘ π对称 则函数ｆ ｘ 在区间 π 上的最小值为 ｙ ｔ π ｙ πｔ π
＝ ꎬ ( ) ０ꎬ Ａ. ＝３ｓｉｎ ４ ＋ Ｂ. ＝３ｓｉｎ ＋
４ ２ ３ ２ ３
( ) ( )
( ) ｙ ｔ π ｙ πｔ π
Ｃ. ＝３ｓｉｎ ４ － Ｄ. ＝３ｓｉｎ －
３ １ ３ １ ３ ２ ３
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ. 答案 Ｄ
２ ２ ２ ２
答案 Ａ ( )
４.(２０２２八省八校联考二ꎬ５)若将函数ｆ ｘ ｘ π 的
３.(２０２２福州一模ꎬ５)已知Ｐ是半径为 的圆形砂轮边缘 ( )＝ ２ｓｉｎ ２ －
３ ｃｍ ３
当水轮转动 秒时 点Ｐ处于最低点
图象分别向左平移π个单位长度与向右平移φ φ 个单位 Ｂ. ５０ ꎬ
( >０) 当水轮转动 秒时 点Ｐ距离水面 米
３ Ｃ. １５０ ꎬ ２
长度
ꎬ
所得的两个函数图象恰好重合
ꎬ
则φ的最小值为
( ) Ｄ.
点Ｐ第二次到达距离水面
(１＋ ３)
米时用时
２５
秒
答案 ＢＣＤ
２π π ５π
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.π
３ ２ ３ 三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
答案 Ａ
１０.(２０２２上海杨浦二模ꎬ１２)若函数ｆ ｘ ωｘ ω 在区
５.(２０２１ 江苏七市第二次调研ꎬ６)函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ( )＝ｃｏｓ ( >０)
( )＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ 间 内既没有最大值 也没有最小值 则ω的取值
(２πꎬ３π) １ꎬ －１ꎬ
２ｘ的图象的一条对称轴为 范围是 .
３ｃｏｓ ( )
( ] [ ]
ｘ π ｘ π ｘ π ｘ π 答案 ꎬ１ １ ꎬ２ { }
Ａ. ＝ Ｂ. ＝ Ｃ. ＝ Ｄ. ＝ ０ ∪ ∪ １
１２ ６ ３ ２ ３ ２ ３
答案 Ａ １１.(２０２２福建名校联盟全国优质校大联考ꎬ１６)已知函数ｆ ｘ
( )
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共２０分) ( ) ( )
ωｘ π 其中ω 若ｆ ｘ 在区间 π ２π 上恰有
＝２ｓｉｎ － －１ꎬ >０ꎬ ( ) ꎬ
６.(２０２２湖南衡阳八中开学考ꎬ１０)已知函数ｆ ｘ ３ ｘ ６ ４ ３
( )＝４ ３ｓｉｎ 个零点 则ω的取值范围是 .
２ ２ ꎬ
( ) ( ]
３ ｘ ２ ３ ｘ 则下列说法正确的是 答案 ７ ꎬ ９ ꎬ１３
ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ －２ꎬ ( ) ４ ∪
２ ２ ２ ２ ２
函数ｆ ｘ 的周期为２π 四、解答题(共１０分)
Ａ. ( )
３ １２.(２０２２重庆第七次质检ꎬ１８)已知函数ｆ ｘ ωｘ φ ω
( )＝ｓｉｎ( ＋ )(
函数ｆ ｘ 图象的一条对称轴为直线ｘ π φ 的部分图象如图所示 ｆ ｘ 图象的两条相邻对
Ｂ. ( ) ＝－ >０ꎬ ∈(０ꎬπ)) ꎬ ( )
９
[ ] 称轴之间的距离为 .
２π
函数ｆ ｘ 在 １０π 上单调递增
Ｃ. ( ) － ꎬ－π 求ｆ ｘ 的解析式 并求出ｆ ｘ 图象的对称中心
９ (１) ( ) ꎬ ( ) ꎻ
函数ｆ ｘ 的最小值为 若ｇ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｇ ｘ 在区间 ｍ 上单调递
Ｄ. ( ) －４ (２) ( )＝ ( )－ ( ＋π)ꎬ ( ) [０ꎬ ]
答案 ＡＢＤ 增 求ｍ的最大值.
ꎬ
７.(２０２２华大新高考联盟 ３ 月教学质量测评ꎬ１１)已知函数
ｆ ｘ ｘ ｘ 则下列说法正确的是
( )＝ｓｉｎ(ｃｏｓ )＋ｃｏｓ ꎬ ( )
直线ｘ 为函数ｆ ｘ 图象的一条对称轴
Ａ. ＝π ( )
函数ｆ ｘ 在 上单调递增
Ｂ. ( ) [０ꎬπ] 解析 ( )由 ｆ(ｘ)图象的两条相邻对称轴之间的距离为
函数ｆ ｘ 在 上单调递增 １
Ｃ. ( ) [πꎬ２π]
ꎬ可知函数ｆ(ｘ)的最小正周期Ｔ ２πꎬ又ω ꎬ故ω
ｘ Ｒ ｆ ｘ ６＋ ２ ２π ＝４π＝ ω >０ ＝
Ｄ.∃ ∈ ꎬ ( )≥１＋ ｜ ｜
４ Ｔ
答案 ＡＣ １ .由题图可知 ｔ ꎬ则ｔ πꎬ
６ ＝ ＝２π ＝
８.(２０２２湖南三湘名校联盟联考ꎬ９)已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ２ ２ ３
( )＝ ｃｏｓ － ( )
ｘ 下列结论正确的是 由ｆ( ｔ) ꎬ可得 １ ｔ φ ꎬ由 ｔ为ｆ(ｘ)的上升零点ꎬ
ｓｉｎ ꎬ ( ) － ＝０ ｓｉｎ － ＋ ＝０ －
ｆ ｘ 是以 为周期的函数 ２
Ａ. ( ) ２π
ｆ ｘ 在区间 上是增函数 可得 １ π φ ｋ ꎬｋ Ｚꎬ
Ｂ. ( ) [πꎬ２π] － × ＋ ＝２ π ∈
ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 ２ ３
Ｃ. ( )
是ｆ ｘ 的极值点 ∴ φ ＝２ ｋ π＋ πꎬｋ ∈ Ｚꎬ又 ∵ φ ∈ ( ０ ꎬ π )ꎬ故φ ＝ πꎬ
Ｄ.０ ( )
６ ６
答案 ＢＣ ( ｘ )
ｆ(ｘ) π .
９.(２０２２河北九师联盟３月质检联考(一模)ꎬ１１)筒车是我国 ∴ ＝ｓｉｎ ＋
２ ６
古代发明的一种水利灌溉工具 因其经济又环保 至今还在农 ｘ
ꎬ ꎬ 由 π ｋ ꎬｋ Ｚꎬ得ｘ ｋ πꎬｋ Ｚꎬ
业生产中得到使用 图 .明朝科学家徐光启在 农政全书 中 ＋ ＝ π ∈ ＝２ π－ ∈
( １) « » ２ ６ ３
用图画描绘了筒车的工作原理 图 .现有一半径为 米的筒 ( )
( ２) ２ 函数ｆ(ｘ)图象的对称中心为 ｋ πꎬ ꎬｋ Ｚ.
车水轮的示意图 如图 水轮圆心Ｏ距离水面 米 已知水 ∴ ２ π－ ０ ∈
( ３)ꎬ １ ꎬ ３
年 轮每 ６０ 秒逆时针匀速转动一圈 ꎬ 如果当水轮上点Ｐ从水面浮 ( )ｇ(ｘ) ｆ(ｘ) ｆ(ｘ ) ( ｘ π ) (ｘ ＋π π )
高 现时 图中点Ｐ 开始计时 则 ２ ＝ － ＋π ＝ｓｉｎ ＋ －ｓｉｎ ＋
考 ( ０) ꎬ ( ) ( ｘ ) ( ｘ ) ２ ６ ( ｘ ) ２ ６
π π π .
＝ｓｉｎ ＋ －ｃｏｓ ＋ ＝ ２ｓｉｎ －
年 ２ ６ ２ ６ ２ １２
模 ｘ
由 ｋ π π ｋ πꎬｋ Ｚꎬ得 ｋ ５π ｘ ｋ
拟 ２ π－ ≤ － ≤２ π＋ ∈ ４ π－ ≤ ≤４ π＋
２ ２ １２ ２ ６
７πꎬｋ Ｚꎬ ｇ(ｘ)在区间[ ꎬｍ]上单调递增ꎬ ｍ 的最大值
∈ ∵ ０ ∴
６
图 图 图
︵ １ ２ ３ 为７π.
教
师 Ａ. 点Ｐ再次进入水中时用时 ３０ 秒 ６
用
书
︶
９０
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
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学生用书P178
１.(２０２２ ５３原创题)在锐角 ＡＢＣ中 下列结论正确的是
△ ꎬ
( )
Ａ Ｂ Ｂ
Ａ.ｓｉｎ( ＋ )>ｓｉｎ
Ａ Ｂ Ｂ
Ｂ.ｓｉｎ( ＋ )<ｓｉｎ
Ａ Ｂ Ｂ
Ｃ.ｓｉｎ( ＋ )>ｃｏｓ
Ａ Ｂ Ｂ
Ｄ.ｓｉｎ( ＋ )<ｃｏｓ
答案 Ｃ
２.(多选)(２０２２ ５３原创题)已知函数ｆ ｘ ｘ ｍ ｘ
( )＝ ５ｓｉｎ － ｃｏｓ
的图象关于直线ｘ π对称 则
＝ ꎬ ( )
６
( ) ( )
ｆ ｘ ｆ π ｆ ｘ ｆ ７π
Ａ. ( )≤ Ｂ. ( )≥
６ ６
( ) ( )
ｆ ｘ ｆ π ｆ ｘ ｆ π
Ｃ.｜ ( )｜≥ Ｄ.｜ ( )｜≥ －
３ ３
答案 ＡＢＤ
３.(多选)(２０２２５３原创题)已知ｆ ｘ ａ ｘ ｂ ｘ ａｂ
( )＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ( ≠
ｆ ′ ｘ 是ｆ ｘ 的导函数 下列结论正确的是
０)ꎬ ( ) ( ) ꎬ ( )
将ｆ ｘ 图象向右平移π个单位长度可得ｆ ′ ｘ 的图象
Ａ. ( ) ( )
２
将ｆ ｘ 图象向左平移π个单位长度可得ｆ ′ ｘ 的图象
Ｂ. ( ) ( )
２
当ａ ｂ时 ｆ ｘ 与ｆ ′ ｘ 的图象关于ｙ轴对称
Ｃ. ＝ ꎬ ( ) ( )
当ａ ｂ时 ｆ ｘ 与ｆ ′ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
Ｄ. ＝－ ꎬ ( ) ( ) ＝
２
答案 ＢＣＤ
４.(２０２２ ５３原创题)如图为一块扇形铁板ＯＭＮ 半径ＯＭ
ꎬ ＝
圆心角 ＭＯＮ π 欲从这块铁板中截取两块矩形铁板 ２ꎬ ∠ ＝ ꎬ
４
ＡＢＣＤ和ＥＦＧＣ 具体操作方法如下 先在弧ＭＮ
ꎬ :
第
五
章
三
角
函
数
与
解
三
角
形
９１
(
当 ｘ为何值时 Ｓ ｆ ｘ 取得最大值
(２) ｔａｎ ꎬ ＝ ( ) ?
( )
解析 ( )由已知可得ｘ ꎬπ ꎬＡＤ ｘꎬＯＤ ｘꎬ
１ ∈ ０ ＝２ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ
４
在 ＢＣＯ中ꎬ ＢＯＣ πꎬ所以 ＯＣ ＢＣ ＡＤ ｘꎬ所以
Ｒｔ△ ∠ ＝ ＝ ＝ ＝２ｓｉｎ
４
ＣＤ ＯＤ ＯＣ ｘ ｘꎬ故矩形ＡＢＣＤ的面积为ＡＤＣＤ
＝ － ＝２ｃｏｓ －２ｓｉｎ ＝
ｘ( ｘ ｘ).
４ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ
因为Ｆ是线段ＯＢ的中点ꎬ所以ＥＦ ＦＧ １ ＢＣ ｘꎬ所以矩
＝ ＝ ＝ｓｉｎ
２
形ＥＦＧＣ的面积为 ２ｘꎬ
ｓｉｎ
故ｆ(ｘ) ｘ( ｘ ｘ) ２ｘ ｘ ｘ ２ｘꎬ定义域
＝４ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝４ｓｉｎ ｃｏｓ －３ｓｉｎ ( )
为ｘ ꎬπ .
∈ ０
４
( )由( )知Ｓ ｆ(ｘ) ｘ ｘ ２ｘ ｘ ３ ｘ
２ １ ＝ ＝ ４ｓｉｎ ｃｏｓ －３ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ｃｏｓ２ －
２
３ ５ ( ｘ θ) ３ ꎬ其中 θ ４ ꎬ θ ３ ꎬ
＝ ｓｉｎ ２ ＋ － ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＝
２ ２ ２ ５ ５
显然当 ( ｘ θ) 时ꎬＳ取得最大值 ꎬ此时 ｘ θ πꎬ即 ｘ
ｓｉｎ ２ ＋ ＝１ １ ２ ＋ ＝ ２
２ ( ) θ
π θꎬ所以 ｘ π θ ｃｏｓ ４ ꎬ又 ｘ ＝ － ｔａｎ ２ ＝ｔａｎ － ＝ θ ＝ ｔａｎ ２ ＝ ２ ２ ｓｉｎ ３
ｘ ｘ
上任取一点Ａ ２ｔａｎ ꎬ故 ２ｔａｎ ４ ꎬ即 ２ｘ ｘ ꎬ解得 ｘ １
ꎬ ２ｘ ２ｘ＝ ２ｔａｎ ＋３ｔａｎ －２＝０ ｔａｎ ＝
截取矩形ＡＢＣＤ 然后取线段ＯＢ的中点Ｆ 截取矩形ＥＦＧＣ 设 １－ｔａｎ １－ｔａｎ ３ ２
ꎬ ꎬ ꎬ
ＡＯＭ ｘ 两块矩形铁板的面积和为Ｓ ｆ ｘ . 或 ｘ (不合题意ꎬ舍去).综上ꎬ当 ｘ １ 时ꎬＳ ｆ(ｘ)取
∠ ＝ ꎬ ＝ ( ) ｔａｎ ＝－２ ｔａｎ ＝ ＝
２
(１)
求函数ｆ
(
ｘ
)
的解析式并写出定义域
ꎻ
得最大值.
