曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.3 三角函数的图象与性质
三年模拟
一、选择题
( π π)
1.(2022银川一中一模,4)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,- <φ< 的部分图象如图所示,
2 2
则ω,φ的值分别是( )
π π
A.2,- B.2,-
3 6
π π
C.4,- D.4,
6 3
3 5π ( π) 3π 2π
答案 A 根据函数f(x)的图象,可得 T= - - = ,可得T=π,所以ω=
4 12 3 4 T
=2,
(5π) ( 5π ) 5π π π
又由f =2,可得sin 2× +φ =1,即 +φ= +2kπ,k∈Z,解得φ=- +2kπ,k∈Z,
12 12 6 2 3
π π π
因为- <φ< ,所以φ=- .故选A.
2 2 3
2.(2022河南濮阳二模,8)已知曲线C :y=2√2cos2x-√2,曲线C :y=sin 2x+cos 2x,则下列
1 2
结论正确的是( )
A.曲线C 关于原点对称
1
π
B.x= 是曲线C 的一条对称轴
2
4
π
C.曲线C 向右平移 个单位长度,得到曲线C
1 2
8
π
D.曲线C 向左平移 个单位长度,得到曲线C
2 1
4
答案 C 曲线 C :y=2
1
( π) π π
√2cos2x-√2=√2cos 2x关于y轴对称;对于曲线C2:y=sin 2x+cos 2x=√2sin 2x+ ,令2x+ =
4 4 2
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π kπ
+kπ(k∈Z),得x= + (k∈Z),则直线x=
8 2
π ( π) π
不是曲线C2的一条对称轴;曲线C1:y=√2cos 2x=√2sin 2x+ 向右平移
4 2 8
个单位长度,得到曲线C .故选C.
2
3.(2022河南开封二模,8)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
( π) ( 1) π个单位长
ω>0,0<φ< 的图象过点P 0, ,现将y=f(x)的图象向左平移
2 2 3
度得到的函数图象也过点P,则( )
A.ω的最小值为2 B.ω的最小值为6
C.ω的最大值为2 D.ω的最大值为6
答案 A 因为函数f(x)的图象过点P
( 1) 1 π π π [ ( π) π] ( 1) (ωπ π) 1 ωπ π π ωπ π 5π
0, ,所以f(0)=sin φ= ,又0<φ< ,所以φ= ,将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,得g(x)=sin ω x+ + 的图象,又g(x)的图象也过点P 0, ,所以g(0)=sin + = ,所以 + = +2kπ或 + =
2 2 2 6 3 3 6 2 3 6 2 3 6 6 3 6 6
+2kπ(k∈Z),所以 ω=6k 或 ω=6k+2,k ∈ Z ,又ω>0,所以ω的最小值为2,故选A.
4.(2022河南焦作二模,9)已知函数f(x)=2sin( π)(ω>0),若方程|f(x)|=1在区间(0,2π)上
ωx+
6
恰有5个实根,则ω的取值范围是( )
A.(7 5] (5 13]
, B. ,
6 3 3 6
C.( 4] (4 3]
1, D. ,
3 3 2
答案 D 由|f(x)|=| 2sin ( ωx+ π)|=1可得
6
sin( π) 1 π π(k∈Z),
ωx+ =± ,所以ωx+ =kπ±
6 2 6 6
又当x∈(0,2π)时,ωx+π ∈(π
,2ωπ+
π),
6 6 6
所以ωx+
π 5π 7π 11π 13π 17π 19π 17π π
的可能取值为 , , , , , ,…,因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根,所以 <2ωπ+
6 6 6 6 6 6 6 6 6
19π 4 3
≤ ,解得 <ω≤ .
6 3 2
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5.(2022安徽江南十校3月联考,10)声音是由物体振动产生的声波,我们听到的声音中包
1
含着正弦函数.若某声音对应的函数可近似为f(x)=sin x+ sin 2x,则下列叙述正确的是(
2
)
π
A.直线x= 为f(x)的图象的对称轴
2
B.(3π )为f(x)的图象的对称中心
,0
2
C. f(x)在区间[0,10]上有3个零点
D. f(x)在区间[5π 7π]上单调递增
,
3 3
1 1 1
答案 D ∵f(π-x)=sin(π-x)+ sin[2(π-x)]=sin x- sin 2x, f(x)=sin x+ sin
2 2 2
2x,∴f(π-x)≠f(x),故A选项错误. f(3π) 3π 1sin 3π=-1≠0,故B选项错误. f(x)=sin
=sin +
2 2 2
x(1+cos x),令f(x)=0,得x=kπ(k∈Z),所以该函数在区间[0,10]内有4个零点,故C选项错误.
f '(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1,由x∈[5π
,
7π]得f '(x)≥0,可知f(x)在区间
3 3
[5π 7π]上单调递增.故选D.
,
3 3
6.(2022安徽马鞍山一模,10)为了得到函数y=sin( π)的图象,只需把函数y=sin x图
2x-
4
象上所有点的( )
3π
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度
8
3π
B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度
4
1 π
C.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度
2 4
1 π
D.横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度
2 8
答案 D 因为y=sin
( π) [ ( π)] ( π) 1 π
2x- =sin 2 x- ,因此,为了得到函数y=sin 2x- 的图象,只需把函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移
4 8 4 2 8
个单位长度.故选D.
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7.(2022新疆昌吉二模,8)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
( π) ( π ) (π ) [ π π] (π)
A>0,ω>0,0<φ< 的图象过点 - ,0 ,(0,√3), ,0 ,且f(x)在 - , 上仅有1个极值点,则f
2 6 3 6 3 4
=( )
1 1
A. B.- C.1 D.-1
2 2
答案 C 因为图象过点( π ) (π ) [ π π]上仅有1个极
- ,0 ,(0,√3), ,0 ,且f(x)在 - ,
6 3 6 3
值点,
所以T π ( π) π 2π=2.
= - - = ,即T=π,故ω=
2 3 6 2 T
因为Asin( π ) 2π+φ=π,
2× +φ =0,由五点法作图知,
3 3
π
所以φ= ,
3
由Asin( π) ,解得A=2,
2×0+ =√3
3
所以f(x)=2sin( π) (π) ( π π) π=1,故选C.
2x+ ,则f =2sin 2× + =2cos
3 4 4 3 3
8.(2022江西九江一模,6)将函数y=cos
( π) π个单位长度,得
4x+ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移
6 6
到的图象的一个对称中心为( )
A.(3π ) (π )
,0 B. ,0
16 4
C.(5π ) (π )
,0 D. ,0
24 3
答案 D 将函数y=cos
( π) ( π) π [ ( π) π] ( π)
4x+ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=cos 2x+ 的图象,再向右平移 个单位长度,得到y=cos 2 x- + =cos 2x-
6 6 6 6 6 6
的图象,
令2x-π
=
π+kπ(k∈Z),得x=π
+
kπ,k∈Z,可得图象的一个对称中心为(π
,0
).故选D.
6 2 3 2 3
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9.(2022皖南八校三模,6)若将函数y=sin
( π) π ( π)的图象
ωx+ (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数y=sin ωx+
4 3 6
重合,则ω的最小值是( )
1 1 3
A. B. C. D.1
4 2 4
答案 A 将函数y=sin
( π) π [ ( π) π] ( π π) ( π) π π π
ωx+ (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到函数y=sin ω x- + 的图象,故sin ωx- ω+ =sin ωx+ ,故- ω+ =
4 3 3 4 3 4 6 3 4 6
1 1
+2kπ(k∈Z),则ω= -6k(k∈Z),故当k=0时,正数ω取最小值,为 ,故选A.
4 4
10.(2022新疆三模,10)已知函数f(x)=2sin(1 π)-1,下列结论错误的是( )
x+
2 8
A. f(x)的值域为[-3,1]
5π
B. f(x)的图象关于直线x=- 对称
4
C. f(x)的图象关于点(7π )对称
,0
4
D. f(x)的图象可由函数y=2sin( π)-1图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
x+
8
2倍得到
答案 C A:因为sin(1
x+
π)∈[-1,1],
2 8
所以2sin(1
x+
π)-1∈[-3,1],即f(x)的值域为[-3,1],故A正确;
2 8
B:当x=-
5π ( 1 5π π) 5π
时, f(x)=2sin - × + -1=-3,为最小值,故函数f(x)的图象关于直线x=-
4 2 4 8 4
对称,故B正确;
C:当x=7π 1 π 1 7π π (7π) (7π )对
时, x+ = × + =π,f =-1,故函数图象不关于 ,0
4 2 8 2 4 8 4 4
称,故C错误;( 或由 f(x) 图象对称中心的纵坐标不为 0 知 C 错误 )
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D:将函数y=2sin
( π) (1 π)
x+ -1图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍得到y=2sin x+
8 2 8
-1的图象,故D正确.
故选C.
11.(2022贵州4月模拟,11)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,现
将f(x)的图象向右平移
π [ π 5π]上的值域为(
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)在区间 ,
6 12 12
)
A.[-√2,2]B.[-1,√2]
C.[0,√2] D.[0,2]
答案 C 由题中图象得T=2(11π 7π) 2π,所以ω=3.
- =
12 12 3
因为f(π) (3π )=-Acos φ=-1,故Acos φ=1.
=Asin +φ
2 2
因为f(7π) (7π ) ( π )=0,
=Asin +φ =Asin - +φ
12 4 4
又A>0,|φ|<π,
所以φ=π ( π).
,A=√2,所以f(x)=√2sin 3x+
4 4
所以g(x)= [ ( π) π] ( π).
√2sin 3 x- + =√2sin 3x-
6 4 4
因为x∈[ π
,
5π]
,所以3x-
π ∈[0,π],
12 12 4
所以sin(
3x-
π)∈[0,1],故g(x)∈[0,
√2
].故选C.
4
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12.(2022江西萍乡二模,12)设函数f(x)=sin( π) [ π]上的最大值为M,
2x+ 在区间 a,a+
4 3
最小值为m,则M-m的最小值为( )
√2 1 √2 √2-1
A. B. C.1- D.
2 2 2 2
答案 B 当x∈[
a,a+
π]时,
3
2x+π∈[ π π 2π] π π=h,
2a+ ,2a+ + ,令2x+ =t,2a+
4 4 4 3 4 4
则g(t)=sin t在[ 2π]上的最大值是M,最小值是m.
h,h+
3
g(t)=sin t的周期是2π,要使得M-m最小,则g(t)的最大值或最小值点的横坐标是区间
[ 2π]的中点值,
h,h+
3
2π 2π π 7π
由周期性,不妨取h+h+ =π或h+h+ =3π,则h= 或h= ,
3 3 6 6
π π 1 1
当h= 时,M=1,m=sin = ,M-m= ;
6 6 2 2
7π 7π 1 1
当h= 时,m=-1,M=sin =- ,M-m= ,故选B.
6 6 2 2
13.(2022四川广安二中二模,11)设函数f(x)=
|x| sinx+cosx sinx-cosx
,函数g(x)= + ·f(sin x-cos x)的值域为( )
x 2 2
A.[-1,1] B.[ √2]
-1,
2
C.[ √2 ] ( √2 ]
- ,1 D. - ,1
2 2
|x| { 1,x>0, π 5π
答案 D ∵f(x)= = ∴当sin x-cos x>0,即 +2kπ<x<
x -1,x<0, 4 4
+2kπ,k∈Z时,g(x)=
sinx+cosx sinx-cosx 3π π
+ ×1=sin x;当sin x-cos x<0,即- +2kπ<x< +2k
2 2 4 4
sinx+cosx sinx-cosx
π,k∈Z时,g(x)= + ×(-1)=cos x,
2 2
当π
+2kπ<x<
5π+2kπ,k∈Z时,g(x)=sin x∈(
-
√2
,1
];
4 4 2
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当-3π
+2kπ<x<
π+2kπ,k∈Z时,g(x)=cos x∈(
-
√2
,1
],
4 4 2
故g(x)的值域为( √2 ].故选D.
- ,1
2
π
14.(2022河北一模,7)将函数f(x)=sin 2x+√3cos 2x的图象向右平移 个单位长度后
6
得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递增区间为( )
A.[ π π] [π 3π]
- , B. ,
4 4 4 4
C.[ π π] [ π ]
- , D. - ,0
3 6 2
答案 A f(x)=sin 2x+ ( π),
√3cos 2x=2sin 2x+
3
将f(x)的图象向右平移π ( π) [ ( π) π]=2sin 2x
个单位长度后,得到f x- =2sin 2 x- +
6 6 6 3
的图象,
π π
∴g(x)=2sin 2x.令- +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,
2 2
π π
得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
4 4
∴函数g(x)的一个单调递增区间为[ π π].故选A.
- ,
4 4
15.(2022天津部分区一模,8)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(
)
5π 1 5π
A.ω=2,φ= B.ω= ,φ=
6 2 6
π 1 π
C.ω=2,φ= D.ω= ,φ=
6 2 6
1
答案 A 由题图知当x=0时,有2sin φ=1,故sin φ= ,
2
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又∵点(0,1)在下降的区间上,0<φ<π,
∴φ=5π ( 5π),
,∴y=2sin ωx+
6 6
∵( 7 ) ( 5π)的上升零点,
π,0 是y=2sin ωx+
12 6
7 5π 24 10
∴ πω+ =2kπ,k∈Z,∴ω= k- ,k∈Z,
12 6 7 7
T 7 3T 7
由题图可知 < π, > π,
2 12 4 12
π 7 3π 7 12 18
即 < π, > π,则 <ω< ,故ω=2.故选A.
ω 12 2ω 12 7 7
16.(2022和平一模,7)设函数f(x)=4sin(ωx+φ),其中0<ω<1,|φ|<π,若f(3π) (9π)=0,
=4,f
8 8
则f(x)在[0,2π]上的单调减区间是( )
A.[ 3π] [15π ]
0, B. ,2π
8 8
C.[3π 15π] D.[0,π]
,
8 8
答案 C 由题意可得直线x=3π (9π )分别是f(x)的图象的一条对称轴和一
和点 ,0
8 8
个对称中心,
9π 3π 2k-1 3π 2k-1 2π (2k-1)π
所以 - = T(k 0∈N*),即 = · = (k 0∈N*),
8 8 4 4 4 ω 2ω
4k-2 2
即ω= (k 0∈N*),又0<ω<1,所以ω= ,
3 3
由f(3π) (2 3π )=1,
=4得sin × +φ
8 3 8
π π π
所以 +φ=2kπ+ (k∈Z),即φ= +2kπ(k∈Z),
4 2 4
又|φ|<π,所以φ=π (2 π),
,所以f(x)=4sin x+
4 3 4
由2kπ+π≤2
x+
π≤2kπ+3π(k∈Z)得f(x)的单调减区间为[
3kπ+
3π
,3kπ+
15π](k∈Z),
2 3 4 2 8 8
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所以f(x)在[0,2π]上的单调减区间是[3π 15π].
,
8 8
故选C.
17.(多选)(2022广东深圳六校联考二,10)已知函数f(x)= ( π),则( )
√2sin 2x+
4
A.f( π)是奇函数
x+
4
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于点( π )对称
- ,0
8
D.f(x)在区间[ 3π π]上单调递增
- ,
8 8
答案 BCD 对于A, f
( π) ( 3π) 2π π ( π) ( π ) π
x+ =√2sin 2x+ ,不是奇函数,故A不正确;对于B, f(x)的最小正周期T= =π,故B正确;对于C,当x=- 时, f - =0,所以f(x)的图象关于点 - ,0 对称,故C正确;对于D,令-
4 4 2 8 8 8 2
π π 3π π
+2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z),解得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为
4 2 8 8
[ 3 π ],k∈Z,故D正确.故选BCD.
- π+kπ, +kπ
8 8
18.(多选)(2022福建南平10月联考,11)已知函数f(x)=cos2( π)-cos 2x,则( )
x-
6
1+√3
A.f(x)的最大值为
2
B.f(x)的图象关于点(7π )对称
,0
6
5π kπ
C.f(x)图象的对称轴方程为x= + (k∈Z)
12 2
D.f(x)在[0,2π]上有4个零点
( π)
1+cos 2x-
答案 ACD f(x)= 3 -cos 2x
2
=1 1(1 √3 )-cos 2x
+ cos2x+ sin2x
2 2 2 2
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=√3 3 1 √3 ( π) 1,
sin 2x- cos 2x+ = sin 2x- +
4 4 2 2 3 2
1+√3
则f(x)的最大值为 ,A正确.
2
π π 5π kπ
令2x- = +kπ(k∈Z),得x= + (k∈Z),即为f(x)图象的对称轴方程,C正确.
3 2 12 2
1
易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为 ,B错误.
2
由f(x)=√3 sin ( 2x- π) + 1 =0,得sin ( 2x- π) =- √3,当x∈[0,2π]时,2x-π ∈
2 3 2 3 3 3
[ π 11π].
- ,
3 3
因为sin( π) 11π √3 √3 ( π) √3在[0,2π]上有4
- =sin =- <- ,所以方程sin 2x- =-
3 3 2 3 3 3
个不同的实根,
即f(x)在[0,2π]上有4个零点,D正确.
二、填空题
19.(2022西宁一模,15)函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π)的部分图象如图所
A>0,ω>0,|φ|<
2
示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)= .
答案 √2
2π
解析 由题中图象可得A=2, =2×(6-2),
ω
π π
解得ω= ,由图象过原点,且|φ|< ,得φ=0,
4 2
π
∴f(x)=2sin x,这是一个周期为8的周期函数,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
4
则f(1)+f(2)+…+f(2 022)=252×[f(1)+f(2)+…+f(8)]+f(1)+f(2)+…+f(6)=
√2+2+√2+0-√2-2=√2.
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20.(2022内蒙古赤峰三模,16)已知f(x)不是常数函数,且同时具有下列四个性质:①定义域
为R;②f(x)=f( π) (π)≠-1.则函数f(x)的解析式可以是
x+ ;③1+f(2x)=2f 2(x);④f
2 4
.(答案不唯一,写出一个即可)
答案 f(x)=cos 8x(答案不唯一)
解析 f(x)定义域为R, f(x)=f( π) π是f(x)的一个周期;
x+ ,则
2 2
1+f(2x)=2f 2(x),即f(2x)=2f 2(x)-1,类似二倍角的余弦公式,例如, f(x)=cos 8x,则f
(π) ( π)=cos 2π=1≠-1.
=cos 8×
4 4
故猜想f(x)=cos 8x,满足①②③④.
三、解答题
21.(2022哈尔滨三中二模,17)已知f(x)=sin(πx π) πx+1.
- -2cos2
4 6 8
(1)求f(x)的单调递增区间及其图象的对称轴;
(2)当x∈(0,4)时,求f(x)的值域.
解析 (1)f(x)=sin(πx π) πx+1
- -2cos2
4 6 8
πx π πx π πx
=sin cos -cos sin -cos
4 6 4 6 4
=√3 πx 1 πx πx √3 πx 3 πx (πx π),
sin - cos -cos = sin - cos =√3sin -
2 4 2 4 4 2 4 2 4 4 3
π πx π π 2 10
由- +2kπ≤ - ≤ +2kπ,k∈Z,得- +8k≤x≤ +8k,k∈Z,
2 4 3 2 3 3
所以f(x)的单调递增区间为[
-
2
+8k,
10
+8k
](k∈Z).
3 3
πx π π 10 10
由 - = +kπ,k∈Z,得x= +4k,k∈Z,所以f(x)图象的对称轴方程为x= +4k,k∈Z.
4 3 2 3 3
π πx π 2π
(2)由x∈(0,4),得- < - < ,
3 4 3 3
所以-√3 (πx π)≤1,所以-3 (πx π)≤
<sin - <√3sin -
2 4 3 2 4 3
( 3 ].
√3,所以f(x)的值域为 - ,√3
2
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22.(2022石景山一模,16)已知函数f(x)=msin( π)(m>0,ω>0)只能同时满足下列三个
ωx+
6
条件中的两个:
①函数f(x)的最大值为2;
②函数f(x)的图象可由y= ( π)的图象平移得到;
√2sin 2x-
4
③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π.
(1)请写出这两个条件的序号,说明理由,并求出f(x)的解析式;
π
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A= ,a=f(A),求△ABC面积的最大值.
3
解析 (1)函数f(x)=msin( π)满足条件①③.
ωx+
6
理由如下:由题意可知条件①②互相矛盾,故③为函数f(x)=msin
( π) ( π) ( π)
ωx+ 满足的条件之一,由③可知:T=2π,所以ω=1,故②不合题意,所以函数f(x)=msin ωx+ 满足条件①③,由①知:m=2,所以f(x)=2sin x+
6 6 6
.
(2)由题意可得a=f(A)=f(π) π π,所以
=2sin =2,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos
3 2 3
1
4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取“=”,所以bc≤4,所以S = bcsin A≤
△ABC
2
1 π
×4×sin =√3,所以△ABC面积的最大值为√3.
2 3
23.(2022东城一模,16)已知函数f(x)=asin ωxcos ωx(a>0,ω>0).从下列四个条件中选择两
个作为已知,使函数f(x)存在且唯一确定.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-2cos2ωx+1,求函数g(x)在(0,π)上的单调递增区间.
条件①:f(π)=1;
4
条件②:f(x)为偶函数;
条件③:f(x)的最大值为1;
π
条件④:f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .
2
注:如果选择的条件不符合要求,第(1)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,
按第一个解答计分.
a
解析 (1)f(x)=asin ωxcos ωx= sin 2ωx.
2
选择条件①④:
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因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π 2π a
,所以 =π,即ω=1,所以f(x)= sin 2x.
2 2ω 2
因为f(π) a π=1,即a=2.
=1,所以 sin
4 2 2
所以f(x)=sin 2x.
选择条件③④:
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π 2π a
,所以 =π,即ω=1,所以f(x)= sin 2x.
2 2ω 2
a
因为函数f(x)的最大值为1,所以 =1,即a=2.
2
所以f(x)=sin 2x.
(2)g(x)=f(x)-2cos2ωx+1=sin 2x-cos 2x= ( π).
√2sin 2x-
4
因为y=sin x在(
-
π
+2kπ,
π
+2kπ
)(k∈Z)上单调递增,所以令-π
+2kπ<2x-
π
<
π
2 2 2 4 2
+2kπ(k∈Z),
π 3π
解得- +kπ<x< +kπ(k∈Z).
8 8
所以函数g(x)在(0,π)上的单调递增区间为( 3π) (7π ).
0, 和 ,π
8 8
24.(2022东城一模,16)已知函数f(x)=asin ωxcos ωx(a>0,ω>0).从下列四个条件中选择两
个作为已知,使函数f(x)存在且唯一确定.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-2cos2ωx+1,求函数g(x)在(0,π)上的单调递增区间.
条件①:f(π)=1;
4
条件②:f(x)为偶函数;
条件③:f(x)的最大值为1;
π
条件④:f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 .
2
注:如果选择的条件不符合要求,第(1)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,
按第一个解答计分.
a
解析 (1)f(x)=asin ωxcos ωx= sin 2ωx.
2
选择条件①④:
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因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π 2π a
,所以 =π,即ω=1,所以f(x)= sin 2x.
2 2ω 2
因为f(π) a π=1,即a=2.
=1,所以 sin
4 2 2
所以f(x)=sin 2x.
选择条件③④:
因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π 2π a
,所以 =π,即ω=1,所以f(x)= sin 2x.
2 2ω 2
a
因为函数f(x)的最大值为1,所以 =1,即a=2.
2
所以f(x)=sin 2x.
(2)g(x)=f(x)-2cos2ωx+1=sin 2x-cos 2x= ( π).
√2sin 2x-
4
因为y=sin x在(
-
π
+2kπ,
π
+2kπ
)(k∈Z)上单调递增,所以令-π
+2kπ<2x-
π
<
π
2 2 2 4 2
+2kπ(k∈Z),
π 3π
解得- +kπ<x< +kπ(k∈Z).
8 8
所以函数g(x)在(0,π)上的单调递增区间为( 3π) (7π ).
0, 和 ,π
8 8
25.(2022成都二诊,18)已知函数f(x)= ·sin ωxcos ωx+sin2ωx,其中0<ω<6,且f( π ) 1.
√3 =
12 2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若θ∈( π
,
π)
,且f(θ)=
5,求sin 2θ的值.
12 6 6
√3 1-cos2ωx
解析 (1)由题意得f(x)= sin 2ωx+
2 2
=sin( π) 1.
2ωx- +
6 2
∵f( π ) ( π π) 1 1 (ωπ π)=0.
=sin ω· - + = ,∴sin -
12 6 6 2 2 6 6
ωπ π
∴ - =kπ,k∈Z.
6 6
∴ω=6k+1,k∈Z.又0<ω<6,∴k=0,ω=1.
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∴f(x)=sin( π) 1.
2x- +
6 2
π π π
令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,
2 6 2
π π
得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
6 3
∴函数f(x)的单调递增区间为[
-
π
+kπ,
π
+kπ
],k∈Z.
6 3
(2)由f(θ)=sin( π) 1 5 ( π) 1.
2θ- + = 得sin 2θ- =
6 2 6 6 3
∵θ∈( π
,
π)
,∴2θ-
π ∈(
0,
π).
12 6 6 6
∴cos( π) 2√2.
2θ- =
6 3
∴sin 2θ=sin[( π) π]
2θ- +
6 6
=√3 ( π) 1 ( π)
sin 2θ- + cos 2θ-
2 6 2 6
√3 1 1 2√2 √3+2√2
= × + × = .
2 3 2 3 6
26.(2022天津三中一模,16)已知f(x)=2sin( θ)·cos( θ) ( θ) .
x+ x+ +2√3cos2 x+ -√3
2 2 2
(1)若0≤θ≤π,且函数f(x)为偶函数,求θ的值;
(2)在(1)成立的条件下,求满足f(x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.
解析 (1)f(x)=sin(2x+θ)+√3cos(2x+θ)
=2sin( π),
2x+θ+
3
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴2sin( π) ( π),
-2x+θ+ =2sin 2x+θ+
3 3
即sin 2xcos(
θ+
π)=0对x∈R恒成立,
3
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∴cos( π)=0,又0≤θ≤π,∴θ=π.
θ+
3 6
(2)当θ=π
时,f(x)=2sin
(
2x+
π)
=2cos 2x,令f(x)=1,则cos 2x=
1,∵x∈[-
6 2 2
π,π],∴x的取值集合为{ 5π π π 5π}.
- ,- , ,
6 6 6 6
一年创新
1.(2022 5·3改编题)七弦琴发出不同的声音是由于弦的长度各不相同.数学家傅里叶(公
元1768年—1830年)关于三角函数的研究告诉我们:人类的声音,小提琴的奏鸣,动物的
叫声都可以归结为一些简单声音的组合,而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知
描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象,图象对应的函数的解析式是f(x)
=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),则( )
π π
A.ω=3,φ= B.ω=6,φ=
6 3
π 5π
C.ω=3,φ= D.ω=6,φ=
4 6
答案 C 由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×
(11π 7π) 2π 2π (7π) (7π ) 7π 7π
- = ,则ω= =3,所以f(x)=Asin(3x+φ),因为f =Asin +φ =0,且函数f(x)在x= 附近单调递增,所以
12 12 3 T 12 4 12 4
7π π
+φ=2kπ(k∈Z),则φ=2kπ- (k∈Z),又0<φ<π,∴φ= .故选C.
4 4
2.(2022河北二模,8)给定函数f(x)=sin x+√3cos x,g(x)=sin x-√3cos x,x∈R.∀x∈R,
用m(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},关于函数m(x)有如下四个命
题:
①函数m(x)的最小正周期为π;
3π
②函数m(x)的图象关于直线x= 对称;
2
③函数m(x)的值域为[-2,2];
④函数m(x)在[ π π]上单调递增,
- ,
6 2
其中真命题是( )
A.②④ B.①② C.①③ D.③④
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答案 A f(x)=sin x+ ( π),
√3cos x=2sin x+
3
g(x)=sin x- ( π),
√3cos x=2sin x-
3
{f (x),f (x)≤g(x),
则m(x)=min{f(x),g(x)}=
g(x),f (x)>g(x),
{ ( π) π 3π
2sin x+ , +2kπ≤x≤ +2kπ,
3 2 2
∴m(x)= (k∈Z),如图所示.
( π) π π
2sin x- ,- +2kπ<x< +2kπ
3 2 2
由图可知,m(x)的最小正周期为2π,故①为假命题;
3π
m(x)的图象关于直线x= 对称,故②为真命题;
2
m(x)的值域为[-2,1],故③为假命题;
m(x)在区间[ π π]上单调递增,故④为真命题,
- ,
6 2
∴真命题为②④,故选A.
3.(2022天津三中一模,7)已知函数f(x)=cos x·|cos x|,给出下列结论:
①f(x)是周期函数;
②函数f(x)图象的对称中心为(
kπ+
π
,0
)(k∈Z);
2
③若f(x
1
)=f(x
2
),则x
1
+x
2
=kπ(k∈Z);
④不等式sin 2πx·|sin 2πx|>cos 2πx·|cos 2πx|的解集为{ 1 5 }.
x|k+ <x<k+ ,k∈Z
8 8
则正确结论的序号是( )
A.①② B.②③④ C.①③④ D.①②④
答案 D f(x+2π)=cos(x+2π)·|cos(x+2π)|=cos x·|cos x|=f(x),
∴f(x)是周期为2π的函数,①正确;
π π 1 1
当- ≤x≤ 时,cos x≥0,f(x)=cos2x= cos2x+ ;
2 2 2 2
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π 3π 1 1
当 <x≤ 时,cos x<0,f(x)=-cos2x=- cos 2x- ,
2 2 2 2
画出f(x)在一个周期[ π 3π]内的图象如图,
- ,
2 2
由图可知,函数f(x)图象的对称中心为(
kπ+
π
,0
)(k∈Z),②正确;
2
函数f(x)图象的对称轴为x=kπ(k∈Z),
若f(x
1
)=f(x
2
),则x
1
+x
2
=2kπ(k∈Z)或x
1
=x
2
+2kπ(k∈Z),③错误;
sin 2πx·|sin 2πx|=cos(π
-2πx
)· |
cos
(π
-2πx
)|
2 2
=cos(
2πx-
π)· |
cos
(
2πx-
π)|,
2 2
不等式sin 2πx·|sin 2πx|>cos 2πx·|cos 2πx|等价于f( π)>f(2πx),
2πx-
2
由图可知,2πx∈(π
+2kπ,
5π
+2kπ
)(k∈Z),
4 4
解得x∈(
k+
1
,k+
5)(k∈Z),④正确.故选D.
8 8
4.(2022河西一模,12)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
( π) (π (π))处的切
其中ω>0,A>0,|φ|< 的图象如图所示,则曲线f(x)在点 ,f
2 6 6
线方程为 .
π √3
答案 x+y- - =0
6 2
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解析 由题图得A=1且
T 7π π π 2π ( 7π ) π,
= - = ,则T=π,可得ω= =2.又sin 2× +φ =-1,所以φ=2kπ+
4 12 3 4 T 12 3
π π
k∈Z,而|φ|< ,则φ= ,
2 3
所以f(x)=sin( π) (π) 2π √3,
2x+ ,则f =sin =
3 6 3 2
f '(x)=2cos( π) (π) 2π=-1,
2x+ ,则f ' =2cos
3 6 3
所以曲线f(x)在
(π (π)) √3 ( π) π √3=0.
,f 处的切线方程为y- =- x- ,整理得x+ y- -
6 6 2 6 6 2
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页
