文档文本内容
专
题
五
三
角
函
数
／
５１
专题五 三角函数
５．１ 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
§
三角函数值在各象限内的符号
（２）
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关
系及诱导公式
上述符号规律可简记为 一全正 二正弦 三正切 四余弦．
一、三角函数的概念 ： ， ， ，
５．终边相同的角的三角函数
１．任意角的概念
α ｋ α
我们把角的概念推广到任意角 任意角包括正角 负角 ｓｉｎ（ ＋ ·２π）＝ｓｉｎ ，
（１） ， 、 、 α ｋ α
零角． ｃｏｓ（ ＋ ·２π）＝ｃｏｓ ，
α ｋ α 其中ｋ Ｚ
正角 按 逆时针 方向旋转形成的角 ｔａｎ（ ＋ ·２π）＝ｔａｎ ， ∈ ，
： ① ； 即终边相同的角的同一三角函数值相等．
负角 按 顺时针 方向旋转形成的角
： ② ； 知识拓展 终边相同的角与对称性
零角 如果一条射线 没有作任何旋转 我们称它形成了
： ③ ，
一个零角． β α终边相同 β α ｋ ｋ Ｚ．
（１） ， ⇔ ＝ ＋２ π， ∈
终边相同的角 与α终边相同的角可表示为 ｛β β α β α终边关于ｘ轴对称 β α ｋ ｋ Ｚ．
（２） ： ④ ｜ ＝ （２） ， ⇔ ＝－ ＋２ π， ∈
ｋ ，ｋ Ｚ｝ ． β α终边关于ｙ轴对称 β α ｋ ｋ Ｚ．
＋２ π ∈ （３） ， ⇔ ＝π－ ＋２ π， ∈
２．弧度与角度的互化 β α终边关于原点对称 β α ｋ ｋ Ｚ．
（４） ， ⇔ ＝π＋ ＋２ π， ∈
弧度的角 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角． 二、同角三角函数的基本关系式
（１）１ ： ⑤
ｌ
角α的弧度数公式 α ． １．平方关系 ２α ２α ．
（２） ：｜ ｜＝⑥ ｒ ： ｓｉｎ ＋ｃ α ｏｓ ( ＝１ )
角度与弧度的换算 ２．商数关系 α ｓｉｎ α π ｋ ｋ Ｚ ．
（３） ：ｔａｎ ＝ α ≠ ＋ π， ∈
( ) ｃｏｓ ２
° ° π １８０ ° ． ° 三、诱导公式
３６０ ＝⑦ ２π ｒａｄ，１ ＝⑧ ｒａｄ，１ ｒａｄ＝⑨ ≈５７３０ ＝
１８０ π
° ′． 函数
５７ １８ 正弦 余弦 正切
扇形的弧长及面积公式 角
（４） ：
弧长公式 ｌ α ·ｒ ． α α α α
： ＝⑩ ｜ ｜ － －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｔａｎ
α α α α
面积公式 Ｓ １ ｌ·ｒ １ α ｒ２． π－ ｓｉｎ －ｃｏｓ －ｔａｎ
： ＝ ＝ ｜ ｜· α α α α
２ ２ π＋ －ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ
３．象限角 α α α α
２π－ －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｔａｎ
{ } α α α α
第一象限角的集合 α ｋ α π ｋ ｋ Ｚ ２π＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ
２ π＜ ＜ ＋２ π， ∈
{ ２ } π α α α
第二象限角的集合 α ｋ π α ｋ ｋ Ｚ － ｃｏｓ ｓｉｎ
２ π＋ ＜ ＜２ π＋π， ∈ ２
{ ２ } π α α α
第三象限角的集合 α ｋ α ｋ ３ ｋ Ｚ ＋ ｃｏｓ －ｓｉｎ
２ π＋π＜ ＜２ π＋ π， ∈ ２
{ ２ }
第四象限角的集合 α ｋ ３ α ｋ ｋ Ｚ ３π α α α
２ π＋ π＜ ＜２ π＋２π， ∈ － －ｃｏｓ －ｓｉｎ
２ ２
４．三角函数 ３π α α α
＋ －ｃｏｓ ｓｉｎ
任意角的三角函数的定义 ２
（１） ｋ
设角α终边上任意一点Ｐ 原点除外 的坐标为 ｘ ｙ 它与 角 π α ｋ Ｚ 的三角函数的记忆口诀为 奇变偶不变
（ ） （ ， ）， “ ± （ ∈ ）” “ ，
ｙ ｘ ｙ ２
原点的距离为ｒ 则 α α α ｘ ． 符号看象限 ．
， ｓｉｎ ＝ ｒ ，ｃｏｓ ＝ ｒ ，ｔａｎ ＝ ｘ （ ≠０） ”
A
版
高
考
数
学
／
５２
ｋ ｋ
当ｋ 时，ｒ ｋ， θ ２ ２ ５， θ
＜０ ＝－ ５ ∴ ｓｉｎ ＝－ ｋ＝－ ｃｏｓ ＝－ ｋ＝－
５ ５ ５
æ ö２ æ ö２
考法一 三角函数定义的应用 ５． θ ２θ ２θ ç ５÷ ç ２ ５÷ ３ ．综上可得，
∴ ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝è－ ø －è－ ø ＝－
例１ 函数ｙ ｘ ａ 且ａ 的图象过 ５ ５ ５ ５
（１） ＝ｌｏｇａ（ －３）＋２（ ＞０ ≠１）
θ ３ ，故选 ．
定点Ｐ 且角α的顶点在原点 始边与ｘ轴非负半轴重合 终边过 ｃｏｓ２ ＝－ Ｂ
， ， ， ５
点Ｐ 则 α α的值为 解法二：因为该直线的斜率ｋ θ，
， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （ ） ＝２＝ｔａｎ
２θ ２θ ２θ
７ ６ ５ ３ 所以 θ ｃｏｓ －ｓｉｎ １－ｔａｎ ３ ．故选 ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５ ｃｏｓ２ ＝ ２θ ２θ＝ ２θ＝－ Ｂ
５ ５ ５ ５ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ ５
答案 Ｂ
已知角α的终边经过点Ｐ ｘ 且 α ５ 则
（２） （－ ，－６）， ｃｏｓ ＝－ ，
１３ 例 （２０１８浙江金华十校模拟（４月），１１）在平面直角坐
１ １ ．
标系中 角α的顶点与原点重合 始边与ｘ轴的非负半轴重合
α＋ α＝ ， ， ，
ｓｉｎ ｔａｎ 终边过点 Ｐ 则 α α
解析 （
１
）因为函数ｙ
＝ｌｏｇａ
（ｘ
－３
）
＋２
（ａ
＞０
且ａ
≠１
）的图象
( )
（－ ３，－ １）， ｔａｎ ＝ ，ｃｏｓ ＋
α π ．
过定点Ｐ（ ， ），且角α的终边过点Ｐ，所以ｘ ，ｙ ，ｒ ．由 ｓｉｎ － ＝
４ ２ ＝４ ＝２ ＝２ ５ ２
三角函数的定义可得 α ５， α ２ ５，所以 α α 解析 根据三角函数的定义知 α －１ ３， α
ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ｔａｎ ＝ ＝ ｃｏｓ ＋
５ ５ － ３ ３
( )
５ ２ ５ ３ ．故选 α π α α ．
＋ ＝ ５ Ｄ． ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝０
５ ５ ５ ２
（ ） 角α的终边经过点Ｐ（ ｘ， ），且 α ５ ， 答案 ３；
２ ∵ － －６ ｃｏｓ ＝－ ０
１３ ３
ｘ
∴ ｃｏｓ α ＝ ｘ － ２ ＋３６ ＝－ １ ５ ３ ，解得ｘ ＝ ２ ５ 或ｘ ＝－ ２ ５ （舍去）， 考法二 同角三角函数的基本关系式的应用
( )
Ｐ ５ ， ， α １２， α １２，则 １ １
例２ 已知ｘ
∈（－π，０），ｓｉｎ
ｘ
＋ｃｏｓ
ｘ
＝
１ ．
∴ － －６ ∴ ｓｉｎ ＝－ ∴ ｔａｎ ＝ α＋ α＝ ５
２ １３ ５ ｓｉｎ ｔａｎ
求 ｘ ｘ的值
（１） ｓｉｎ ｃｏｓ ；
－ １３ ＋ ５ ＝－ ２ ． （２） 求 ｓｉｎ ｘ －ｃｏｓ ｘ的值 ；
１２ １２ ３
ｘ ２ｘ
求ｓｉｎ２ ＋２ｓｉｎ 的值．
答案 （ ）Ｄ （ ） ２ （３） ｘ
１ ２ － １－ｔａｎ
３
方法总结 １．已知角α终边上一点Ｐ 不与原点重合 的坐 解析 （ ）由 ｘ ｘ １ 两边平方得 ２ｘ ｘ ｘ
（ ） １ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋
标 求三角函数值 先求出点Ｐ到原点的距离ｒ 然后利用三角函 ５
， ： ，
数的定义求解
；
若含参数
，
则需对参数进行讨论．
ｃｏｓ
２ｘ
＝
１ ，化简整理得
２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝－
２４，即
ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝－
１２．
２５ ２５ ２５
２．已知角α的终边所在直线的方程 求三角函数值 先设出
终边上一点 除原点 的坐标 求出此点到
，
原点的距离 然
：
后利用
（
２
）由（
１
）可得，（
ｓｉｎ
ｘ
－ｃｏｓ
ｘ）２
＝１－２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝
４９．
（ ） ， ， ２５
三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 则 由ｘ （ ， ），知 ｘ ，又 ｘ ｘ ，所以 ｘ ，
； ， ∈ －π ０ ｓｉｎ ＜０ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＞０ ｃｏｓ ＞０
可直接写出角α的三角函数值．
则 ｘ ｘ ，故 ｘ ｘ ７ ．
经典例题教师用书 ｓｉｎ －ｃｏｓ ＜０ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－
５
例 （２０１９福建永安一中、德化一中、漳平一中三校联考， ｘ ２ｘ ｘ（ ｘ ｘ）
（ ）ｓｉｎ２ ＋２ｓｉｎ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ
３）已知角θ的顶点与原点重合 始边与ｘ轴的正半轴重合 终边 ３ ｘ ＝ ｘ
， ， １－ｔａｎ ｓｉｎ
在直线ｙ ｘ上 则 θ １－ ｘ
＝２ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ） ｃｏｓ
４ ３ ２ ３ ２４ １
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． ｘ ｘ（ ｘ ｘ） － ×
５ ５ ３ ４ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２５ ５ ２４． ＝ ｘ ｘ ＝ ＝－
解析 解法一：设角θ的终边上任一点为Ｐ（ｋ， ｋ）（ｋ ）， ｃｏｓ －ｓｉｎ ７ １７５
２ ≠０
５
则ｒ ＝ ｋ２ ＋ （ ２ ｋ）２ ＝ ５｜ ｋ ｜ ． 方法总结 １．已知 α α与 α三者中的一个求另
ｓｉｎ ，ｃｏｓ ｔａｎ
ｋ ｋ 外两个 利用平方关系和商数关系求解
当ｋ 时，ｒ ｋ， θ ２ ２ ５， θ ５， ： ；
＞０ ＝ ５ ∴ ｓｉｎ ＝
５
ｋ＝
５
ｃｏｓ ＝
５
ｋ＝
５ ２．已知 ｔａｎ α的值 ， 求关于 ｓｉｎ α与 ｃｏｓ α的齐ｎ次分式的值 ：
æ ö２ æ ö２ 分子 分母同除以 ｎα 转化为关于 α的式子求解
θ ２θ ２θ ç ５÷ ç２ ５÷ ３ ． 、 ｃｏｓ ， ｔａｎ ； ∴ ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝è ø －è ø ＝－ ３． 的代换问题 含有 ２α ２α及 α α的整式求
５ ５ ５ “１” ： ｓｉｎ ，ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ
专
题
五
三
角 函
数
／
５３
值问题 可将所求式子的分母看作 利用 ２α ２α 代 ( )
， “１”， “ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１” π α α α ａ ａ ．
换后转化为 切 然后求解． ｓｉｎ ＋ ＝－ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ＝－ ＋ ＝０
“ ”， ２
特别提醒 对于 ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ，ｓｉｎ α ｃｏｓ α ，ｓｉｎ α －ｃｏｓ α这三个 （ ３ ）因为 ｓｉｎ （ ３π＋ θ） ＝－ｓｉｎ θ ＝ １ ，所以 ｓｉｎ θ ＝－ １ ．
式子 已知其中一个式子的值 其余二式的值可求．转化的公式为 ３ ３
， ， θ （ θ）
（ｓｉｎ α ±ｃｏｓ α ） ２ ＝１±２ｓｉｎ α ｃｏｓ α． 原式 ＝ θ（ －ｃｏｓ θ ）＋ ( ｃｏｓ ) ２π－
经典例题教师用书 ｃｏｓ －ｃｏｓ －１ ３π θ （ θ） θ
－ｓｉｎ － ｃｏｓ π－ ＋ｃｏｓ
例 （２０１７重庆巴蜀中学三模）已知角α满足 α 则 ２
ｔａｎ ＝２， θ
α α １ ｃｏｓ １ １ ２ ２
ｓｉｎ
α
＋ｃｏｓ
α
的值为
（ ）
＝
１＋ｃｏｓ
θ＋
－ｃｏｓ
２θ
＋ｃｏｓ
θ＝
１＋ｃｏｓ
θ＋
１－ｃｏｓ
θ＝
１－ｃｏｓ
２θ＝
ｓｉｎ
２θ＝
ｓｉｎ －ｃｏｓ
２ ．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ( ) ２ ＝１８
α １
解析 分子分母同时除以 α得，原式 ｔａｎ ＋１，将 α －
ｃｏｓ ＝ α ｔａｎ ３
ｔａｎ －１ 答案 （ ）Ａ （ ）
代入，得原式 ． １ ２ ０
＝２ ＝３
方法总结 １．化简求值的思路方法
答案 Ｃ ：
分析结构特点 选择恰当的公式
（１） ， ；
例 （２０１８江苏金陵中学高三阶段练习）已知 α １ 利用公式化成单角三角函数
ｓｉｎ ＝ ，
（２） ；
３
( ) 整理得出最简形式．
且α π 则 α ． （３）
∈ ，π ， ｔａｎ ＝ ２．化简要求
２ ：
( ) 化简过程是恒等变形
（１） ；
解析 ∵ ｓｉｎ α ＝ １ ，α ∈ π， π ， ∴ ｃｏｓ α ＝－ ２ ２， ∴ ｔａｎ α ＝ 结果要求项数尽可能少 次数尽可能低 结构尽可能简
（２） ， ，
３ ２ ３
单 能求值的要求出值．
，
１
α ３．求任意角的三角函数值的步骤
ｓｉｎ ３ ２．
α＝ ＝－ 负角化正角 正角化锐角 最后求值．
ｃｏｓ ２ ２ ４ ， ，
－ 经典例题教师用书
３
例 （２０２０ 云南统一检测，９）已知 α 则
ｔａｎ（π－ ）＝ ２，
答案 ２
－ α
４ ( ｓｉｎ４ ) ＝ （ ）
π α
考法三 利用诱导公式化简求值 ｓｉｎ ＋２
２
例３ 设 ° ｋ 那么 ° ８ ８ ８ ６
（１） ｃｏｓ（－３６ ）＝ ， ｔａｎ２０１６ ＝ （ ） Ａ．± Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
５ ５ ５ ５
１－
ｋ２
１－
ｋ２ ｋ ｋ
解析 因为 （ α） α ，所以 α ，所以
Ａ． ｋ Ｂ．－ ｋ Ｃ． ｋ２ Ｄ．－ ｋ２ ｔａｎ π－ ＝－ｔａｎ ＝２ ｔａｎ ＝－２ ｓｉｎ
( ) (
１－
) (
１
)
－ α
＝－２ｃｏｓ
α，且α是第二或第四象限角，又
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１
，所以
已知 π θ ａ 则 ５π θ ２π θ 的值是
（２） ｃｏｓ － ＝ ， ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ － α ２ ５， α ５ 或 α ２ ５， α ５，所以
６ ６ ３ ｓｉｎ ＝ ｃｏｓ ＝ － ｓｉｎ ＝ － ｃｏｓ ＝
． ５ ５ ５ ５
α α α α
θ ｓｉｎ４ ｓｉｎ４ ２ｓｉｎ２ ｃｏｓ２ α α α
已知 θ １ 求 ｃｏｓ（π＋ ） ( ) ＝ α＝ α ＝２ｓｉｎ ２ ＝４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
（３） ｓｉｎ （３π ＋ ） ＝ ， θ θ ＋ π α ｃｏｓ２ ｃｏｓ２
３ ｃｏｓ ［ｃｏｓ（π－ ）－１］ ｓｉｎ ＋２
θ ２
ｃｏｓ（ －２π） 的值．
( ) ( ) ８ ，故选 ．
θ ３π θ ３π θ － Ｃ
ｓｉｎ － ｃｏｓ（ －π）－ｓｉｎ ＋ ５
２ ２
答案 Ｃ
解析 （ ） （ °） ° ｋ，
１ ｃｏｓ －３６ ＝ｃｏｓ３６ ＝ ( )
所以 ｓｉｎ３６ ° ＝ １－ｃｏｓ ２ ３６ ° ＝ １－ ｋ２， 例 （２０１７湖北襄阳五中模拟，１５）已知 ｔａｎ α ＋ π ＝２，
所以 ｔａｎ２０１６ ° ＝ｔａｎ （ ３６０ ° ×５＋２１６ °） ＝ｔａｎ ２１６ ° ＝ｔａｎ （ １８０ ° ＋ ( ) ( ) ３
α ４π ２π α
° ｋ２ ｓｉｎ ＋ ＋ｃｏｓ －
°） ° ｓｉｎ３６ １－ ． 则 ３ ３ ．
３６ ＝ｔａｎ３６ ＝ °＝ ｋ ( ) ( ) ＝
ｃｏｓ３６ π α α ５π
( ) [ ( )] ( ｃｏｓ － －ｓｉｎ ＋
（ ）解法一： ５π θ π θ π ６ ６
２ ∵ ｃｏｓ ＋ ＝ｃｏｓ π－ － ＝－ｃｏｓ － ( ) ( ) ( ) ( )
６ ６ ６ α ４π ２π α α π α π ) ( ) [ ( )] ｓｉｎ ＋ ＋ｃｏｓ － －ｓｉｎ ＋ －ｃｏｓ ＋
θ ａ，且 ２π θ π π θ ａ， 解析 ３ ３ ３ ３ ＝－ ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ＋ － ＝ ( ) ( ) ＝ ( ) ( )
３ ２ ６ π α α ５π α π α π
( ) ( ) ｃｏｓ － －ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＋ －ｃｏｓ ＋
５π θ ２π θ ａ ａ ． ６ ６ ３ ３
∴ ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ － ＝－ ＋ ＝０ ( )
６ ３ α π
( ) ｔａｎ ＋ ＋１ ( )
解法二：令π － θ ＝ α，则θ ＝ π － α，且 ｃｏｓ α ＝ ａ，则 ｃｏｓ ５π ＋ θ ＋ ＝－ ( ３ ) ，将 ｔａｎ α ＋ π ＝２ 代入，原式 ＝－ ２＋１ ＝－３ ． ６ ６ ６ α π ３ ２－１
( ) [ ( )] [ ( )] ｔａｎ ＋ －１
２π θ ５π π α ２π π α （ α） ３
ｓｉｎ － ＝ｃｏｓ ＋ － ＋ｓｉｎ － － ＝ｃｏｓ π－ ＋ 答案
３ ６ ６ ３ ６ －３
