文档内容
第5单元 三角函数（强化篇）
基础知识讲解
一．运用诱导公式化简求值
【基础知识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用
公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计
算器求得．
二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
（2kπ﹣ ，2kπ+ ） （kπ﹣ ，kπ+ ）
递减区间：
（k∈Z）； （k∈Z）
（2kπ，2kπ+π）
递减区间：
（k∈Z）
（2kπ+ ，2kπ+ ）
（k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，y
max
无最值
x＝2kπ+ （k∈Z）时， ＝1；
y ＝1；
max
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
x＝2kπ﹣ （k∈Z）时， y min ＝﹣1
y ＝﹣1
min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）
（k∈Z） 对称中心：（kπ+ ， 对称中心：（ ，0）
0）（k∈Z） （k∈Z）
对称轴：x＝kπ+ ，k∈Z 对称轴：x＝kπ，k∈Z 无对称轴
周期 2π 2π π
三．同角三角函数间的基本关系
【基础知识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系： ＝tanα．2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝ ﹣ si n_α，cos（π+α）＝ ﹣ co s_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝ ﹣ si n_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝ ﹣ co s_α．
公式五：sin（ ﹣α）＝cosα，cos（ ﹣α）＝sinα．
公式六：sin（ +α）＝ cos α ，cos（ +α）＝ ﹣ si n α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）cos （α﹣β）＝ cos α cos β + sin α sin β ；
（2）cos（α+β）＝ cos α cos β ﹣ sin α sin β ；
（3）sin（α+β）＝ sin α cos β + cos α sin β ；
（4）sin（α﹣β）＝ sin α cos β ﹣ cos α sin β ；
（5）tan（α+β）＝ ．
（6）tan（α﹣β）＝ ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）sin 2α＝2sin_ α cos _α；
（2）cos 2α＝ cos 2 α ﹣sin 2 α ＝ 2cos 2 α ﹣1 ＝ 1﹣2sin 2 α ；
（3）tan 2α＝ ．
【技巧方法】诱导公式记忆口诀：
对于角“ ± ”（k Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇
变偶不变”是指“α当k为奇∈数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不
变”．“符号看象限”是指“在 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符
号”． α α
四．两角和与差的三角函数
【基础知识】
（1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）tan（α+β）＝ ．
（6）tan（α﹣β）＝ ．
五．二倍角的三角函数
【基础知识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：
sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：
tan2α＝ ．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．六．半角的三角函数
【基础知识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系
其实就是二倍角关系），其公式为：①tan ＝ ＝ ＝ ；
②tan ＝ ＝ ＝ ．
七．三角函数的积化和差公式
【基础知识】
三角函数的积化和差公式：
（1）sinαsinβ＝ [cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]
cosαcosβ＝ [cos（α﹣β）+cos（α+β）]
（2）sinαcosβ＝ [sin（α+β）+sin（α﹣β）]
cosαsinβ＝ [sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]
（3）tanαtanβ＝
tanαcotβ＝ ．
八．三角函数的和差化积公式【基础知识】
三角函数的和差化积公式：
（1）sinα+sinβ＝2sin cos
sinα﹣sinβ＝2cos sin
（2）cosα+cosβ＝2cos cos
cosα﹣cosβ＝﹣2sin sin
（3）cosα+sinα＝ sin（ +α）＝ cos（ ）
cosα﹣sinα＝ cos（ +α）＝ sin（ ﹣α）
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
， ，令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：D.
2．已知点 在第三象限，则角 在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
因为点 在第三象限，所以
所以角 在第二象限
故选：B
3．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
由 ，即 ，
，所以 .
故选：C4．已知 ， ， 、 ，则 的值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解： 、 ， ，
，
，
.
..
故选：A.
5．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】
为偶函数，故①正确．当
时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时，
，它有两个零点： ；当 时，
，它有一个零点： ，故 在 有 个零点：
，故③错误．当 时， ；当时， ，又 为偶函数，
的最大值为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
画出函数 的图象，
6．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意， ，则 ，
由于 ，则
.
故选A.7．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
8．已知函数 的图象与直线 的三个
相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则 的单调递减区间是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题设可知该函数的最小正周期 ，结合函数的图象可知单调递减区间是
，即 ，等价于 ，应选答
案D．
9．设函数 的定义域为 ， , 当 时,
, 则函数 在区间 上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，
∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，
∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在[﹣ ， ]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，
又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，
∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．
作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0， ）和（ ，1）上各有1个零点．
又g（1）=0，∴g（x）在[﹣ ， ]上共有7个零点，
设这7个零点从小到大依次为x，x，x，…x，x．
1 2 3 6 7
则x，x 关于x=0对称，x，x 关于x=1对称，x=1，x，x 关于x=2对称．
1 2 3 5 4 6 7
∴x+x=0，x+x=2，x+x=4，
1 2 3 5 6 7
∴x+x+x+x+x+x+x=7．
1 2 3 4 5 6 7
故选A．
10．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数
的图象，则函数 的一个极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
，故 .令
，得 ，取 ，可得 为极大值点.
故选：B.
11．函数 ( )的部分图象如图所示，若
，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
由图象可知， ，即 ，所以 ，即
，又因为 ，则 ，解得 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以图中的最高点坐标为 .
结合图象和已知条件可知 ，
所以 ，
故选D.
12．已知 ， 是方程 的两根，若 ，则
（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】D
【解析】
由题意得 ＋ ＝ ， ＝4，所以 ＜0， ＜0，
又 ，故 ，
所以 .
又 .
所以 .
故选：D
二．填空题（共6小题）
13．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是
________．
【答案】 .
【解析】
由题意可得 ，所以 ，因为
，所以14．已知 ，则 的值是_____.
【答案】 .
【解析】
由 ，
得 ，
解得 ，或 .
，
当 时，上式
当 时，上式=综上，
15．若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
由 可以得到 ，
所以 ，设 ，则
则 ，
所以 .
故答案为 .
16．已知 ，则 _______.
【答案】
【解析】，解得： ，
故答案为： .
17． ______.
【答案】2
【解析】
由于 ，
所以 ，
即 ，
所以
故答案为：
18．已知函数 （ ），且 （ ），则 ______.
【答案】
【解析】
解法一：∵函数 （ ），
.
，（ ），
不妨假设 ，则 ， ，
，
， ， .
再根据，
，或 ，
则 （舍去）或 ，
故答案为： .
解法二：∵函数 （ ），
.
（ ），
则由正弦函数的图象的对称性可得： ，
即 ，
故答案为： .
三．解析题（共6小题）19．设函数 ， .
（1）求 的最小正周期和对称中心；
（2）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，求函数 在区间
上的值域.
【答案】（1） 的最小正周期为 ，对称中心为 ；
（2） .
【解析】
（1）令 ，解得 ，
所以 的最小正周期为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的图像向左平移 个单位得到函数
，
令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
所以函数 在区间 上的值域为 .
20．已知
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若关于 的函数 在区间 上有唯一零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
解：（1）
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的单调递减区间
（2）由（1）知，函数
在 有零点等价于 在 有唯一根，
∴可得
设 ，则
根据函数 在 上的图象，
∵ 与 有唯一交点，
∴实数 应满足 或 ∴ 或 ．
故实数 的取值范围 或 ．
21．已知函数 ，它的一个对称中心到最近的对称轴之
间的距离为 ，且函数 图象的一个对称中心为 .
（1）求 的解析式；
（2）确定 在 上的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）设函数 的周期为 ，由题设得 ，又∵ 为 图像的一个对称中心，
∴ ，
又∵ ，∴ ，故 ；
（2）由 ， ，
∴ 在 上递增，
当 时， 在 递增，由 ，
∴ 在 上的单调递增区间为 ．
22．已知：sinα+cosα＝ ，α∈（π，2π）．
（1）求sinα﹣cosα的值；
（2）求tanα，tan 的值．
【答案】（1） （2） ，
【解析】（1）将 两边平方得： ，
，
， ，
，即 ，
，
，
（2）联立 ，
解得 ，
，
23．已知 ．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
解：（Ⅰ） ，
解得 ；
（Ⅱ） =
．
24．已知函数 ，其图象与 轴相邻的两个交
点的距离为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若将 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的图象恰好经过点，求当 取得最小值时， 在 上的单调区间.
【答案】（1） （2）单调增区间为 ， ；
单调减区间为 .
【解析】
解：（1）
由已知函数 的周期 ， ，
∴ .
（2）将 的图象向左平移 个长度单位得到 的图象∴ ，
∵函数 的图象经过点
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴当 ， 取最小值，此时最小值为
此时， .
令 ，则
当 或 ，即当 或 时，
函数 单调递增
当 ，即 时，函数 单调递减.∴ 在 上的单调增区间为 ， ；单调减区间为
.
