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第5单元 三角函数（巩固篇）
基础知识讲解
一．运用诱导公式化简求值
【基础知识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用
公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计
算器求得．
二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
（2kπ﹣ ，2kπ+ ） （kπ﹣ ，kπ+ ）
递减区间：
（k∈Z）； （k∈Z）
（2kπ，2kπ+π）
递减区间：
（k∈Z）
（2kπ+ ，2kπ+ ）
（k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，y
max
无最值
x＝2kπ+ （k∈Z）时， ＝1；
y ＝1；
max
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
x＝2kπ﹣ （k∈Z）时， y min ＝﹣1
y ＝﹣1
min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）
（k∈Z） 对称中心：（kπ+ ， 对称中心：（ ，0）
0）（k∈Z） （k∈Z）
对称轴：x＝kπ+ ，k∈Z 对称轴：x＝kπ，k∈Z 无对称轴
周期 2π 2π π
三．同角三角函数间的基本关系
【基础知识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系： ＝tanα．2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝ ﹣ si n_α，cos（π+α）＝ ﹣ co s_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝ ﹣ si n_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝ ﹣ co s_α．
公式五：sin（ ﹣α）＝cosα，cos（ ﹣α）＝sinα．
公式六：sin（ +α）＝ cos α ，cos（ +α）＝ ﹣ si n α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）cos （α﹣β）＝ cos α cos β + sin α sin β ；
（2）cos（α+β）＝ cos α cos β ﹣ sin α sin β ；
（3）sin（α+β）＝ sin α cos β + cos α sin β ；
（4）sin（α﹣β）＝ sin α cos β ﹣ cos α sin β ；
（5）tan（α+β）＝ ．
（6）tan（α﹣β）＝ ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）sin 2α＝2sin_ α cos _α；
（2）cos 2α＝ cos 2 α ﹣sin 2 α ＝ 2cos 2 α ﹣1 ＝ 1﹣2sin 2 α ；
（3）tan 2α＝ ．
【技巧方法】诱导公式记忆口诀：
对于角“ ± ”（k Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇
变偶不变”是指“α当k为奇∈数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不
变”．“符号看象限”是指“在 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符
号”． α α
四．两角和与差的三角函数
【基础知识】
（1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）tan（α+β）＝ ．
（6）tan（α﹣β）＝ ．
五．二倍角的三角函数
【基础知识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：
sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：
tan2α＝ ．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．六．半角的三角函数
【基础知识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系
其实就是二倍角关系），其公式为：①tan ＝ ＝ ＝ ；
②tan ＝ ＝ ＝ ．
七．三角函数的积化和差公式
【基础知识】
三角函数的积化和差公式：
（1）sinαsinβ＝ [cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]
cosαcosβ＝ [cos（α﹣β）+cos（α+β）]
（2）sinαcosβ＝ [sin（α+β）+sin（α﹣β）]
cosαsinβ＝ [sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]
（3）tanαtanβ＝
tanαcotβ＝ ．
八．三角函数的和差化积公式【基础知识】
三角函数的和差化积公式：
（1）sinα+sinβ＝2sin cos
sinα﹣sinβ＝2cos sin
（2）cosα+cosβ＝2cos cos
cosα﹣cosβ＝﹣2sin sin
（3）cosα+sinα＝ sin（ +α）＝ cos（ ）
cosα﹣sinα＝ cos（ +α）＝ sin（ ﹣α）
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A．－ B．
C．－ ＋ D． ＋
【答案】B
【解析】
sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－ ，tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ ，
则 sin 600°＋tan 240°＝ .
故选：B.
2．函数y= sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
令 ，
因为 ，所以 为奇函
数，排除选项A,B;
因为 时， ，所以排除选项C，选D.3．定义运算 ，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由定义运算知 ，即 ，又
，又 ， ，
．
4．下列函数中，既是奇函数又在区间 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A选项， 的定义域为 ，故A不满足题意；
D选项，余弦函数 是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数 是奇函数，且在 上单调递增，故在区间 是增函
数，即B正确；
C选项，正弦函数 是奇函数，且在 上单调递增，所以在区间 是增
函数；因此 是奇函数，且在 上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
5．函数ƒ(x)＝sin xcos x＋ cos 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
【答案】A
【解析】
ƒ(x)＝ sin 2x＋ cos 2x＝sin ，
所以振幅为1，最小正周期为T＝ ＝ ＝π，
故选：A．
6．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
以 为圆心作单位圆，与 轴正半轴交于点 ，作 交单位圆第一象限于点 ，
做 轴，作 轴交 的延长线于点 ，如下图所示：
由三角函数线的定义知， ， ， ，
因为 ，
∴
∴
故选：C
7．若 ， ， ， ，则 （
）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ．
故选：C
8．已知函数 ，要得到函数 的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度8
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度【答案】B
【解析】
因为
要得到函数 x的图象，只需将f（x）＝sin2x图象向右平移 个单位
即可，
故选：B．
9．函数 ， 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】
解： ，
，
，
则函数的最小正周期为 ．
故选： ．10．关于函数 ， ， ，且
在 上单调，有下列命题：
（1） 的图象向右平移 个单位后关于 轴对称
（2）
（3） 的图象关于点 对称
（4） 在 上单调递增
其中正确的命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
，
或
或或 或
因为 在 上单调，所以
因此 或 ， （验证舍去）或
的图象向右平移 个单位得 ，不关
于 轴对称，（1）错；
，（2）对；
，（3）错；
当 时， ，所以 在 上单调递增，（4）
对；
故选：B
11．函数 ， 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
解：函数 ，则函数 是奇函数，
排除D，
当 时， ，则 ，排除B，C，
故选：A．
12．已知函数 的部分图象如图所示，其中图
象最高点和最低点的横坐标分别为 和 ，图象在y轴上的截距为 ，给出下列四个
结论：
① 的最小正周期为 ；② 的最大值为2；③ ；④ 为奇函数．
其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
由图象，得函数 的最小正周期 ，①正确．
，即 ，
又 ，
所以 ，结合 ，得 ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以函数 的最大值为2，②正确．
又 ，所以③正确．
,
为奇函数，所以④正确．
故选D．二．填空题（共6小题）
13． ________.
【答案】
【解析】
∵ ， ，
∴
故答案为
14．将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的
对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】当 时
故答案为：
15．已知 ，则 ______．
【答案】
【解析】
因为 ，则 ．
16．已知 ， ，且 ，则 的值等于
__________.
【答案】
【解析】
由于 ，所以 ， ，由于
， ，.
17．函数 的图象向右平移 个单位后与函数 的图象重合，则下列
结论正确的是______.
① 的一个周期为 ； ② 的图象关于 对称；
③ 是 的一个零点； ④ 在 单调递减；
【答案】①②③
【解析】
解： 函数 的图象向右平移 个单位后与函数 的图象重合，
，
的一个周期为 ，故①正确；
的对称轴满足： ， ，
当 时， 的图象关于 对称，故②正确；
由 ， 得 ，是 的一个零点，故③正确；
当 时， ，
在 上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
18．已知函数 ，点 是直线 与函数
的图象自左至右的某三个相邻交点，若 ，则 _____
【答案】3
【解析】
作出示意图如图所示：
由 ，则 ，则 ，故 的周期 ，
得 ，即 ，且 ，可得 ，且 ，得 ,
则 ，得 ，则 .
故答案为：3
三．解析题（共6小题）
19．若函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的
距离为 ，且当 时， 取得最小值.
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的值域.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）由题意，函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，
可得 的周期 ，即 ，解得 ，
又因为当 时， 取得最小值，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，可得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以函数 的值域是 .
20．设 .
（1）若 ，求函数 的零点；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的零点是 或 ；（2）
．【解析】
（1）由 ，令 ，
则 ，即 或 ， ，
解得 或 ，
∴ 的零点是 或 .
（2）由 可得 ，所以 ，
（1）当 时，易得 ，由 恒成立可得，
，即 ，解得 ，
（2）当 时，可得 ，由 恒成立可得
，即 ，解得 ，综上可得， 的取值范围是 ．
21．已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ） ，
所以 的最小正周期为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
因为 ，所以 .
要使得 在 上的最大值为 ，
即 在 上的最大值为1.所以 ，即 .
所以 的最小值为 .
22．已知函数 .
（Ⅰ）化简 ；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1） ，
∴
∴
（2）由 ，知： ，即又 ，所以
23．已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求 的解析式．
（2）写出 的递增区间．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【解析】
解：（1）易知 ， ，
∴ ，
∴ ，
将点 代入得 ，， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由 ， ，
解得 ， ，
∴ 的递增区间为 ， ．
24．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值.
【答案】（1） ；单调递增区间为 ；（2）最大值为 ，；最小值为 ， .
【解析】
（1） ，所以，该函数的最小正周期为 .
解不等式 ，得 .
因此，函数 最小正周期为 ，单调递增区间为 ；
（2） ， .
当 时，即当 时，函数 取得最大值，即 ；
当 时，即当 时，函数 取得最小值，即
.
