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新蔡县第一高级中学 2024-2025 学年高一下学期 3 月份月考数学试题
一、单选题
1．已知 ，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ）
A．极差为6 B．中位数为90
C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25
5．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为 ，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三
局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．7．设集合 ，那么（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，两动点 在以坐标原点 为圆心，半径为1的圆上从点 处同时出发做匀速圆周运
动．已知点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度 ，且
两点在第2秒末第一次相遇于点 处，则它们从出发后到第2次相遇时，点 走过的总路程为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系 中，已知角 的终边经过点 ，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列关于角 的说法正确的是（ ）
A．终边在第二象限的角的集合为
B．与 终边相同的角的集合为
C．若角 ，则角 是第四象限角D．若角 是三角形的一个内角，则角 必是第一、二象限角
11．已知函数 ，则方程 的根的个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．4
三、填空题
12． ．
13．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率
就会随种群数量的增加而逐渐减小．为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型：
，其中 是正常数， 表示初始时刻种群数量， 叫做种群的内秉增长率，
是环境容纳量． 可以近似刻画 时刻的种群数量．给出下列四个结论： 如果 ，那么存在
①
；
如果 ，那么存在 ；
②
如果 ，那么对任意 ；
③
如果 ，那么存在 ，任意 ．
④
其中所有正确结论的序号是 ．
14．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．
如图，假设这把折扇是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，制作扇子的扇形面积为 ，圆面中剩余部分
的面积为 .当扇子扇形的圆心角的度数为 时，扇面看上去形状较为美观，则此时 .四、解答题
15．（1）已知角 ，将 改写成 的形式，并指出 是第几象限角；
（2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
16．已知幂函数 的图象关于 轴对称，函数 ．
(1)判断 在 上的单调性并证明；
(2)设函数 ， ．若 ， ，求 的取值范围．
17．在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学
成绩作为样本，并按照分数段 分组，绘制了如图所示的频率
分布直方图.
(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
18．某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为
3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，
根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个
球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两
个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖.
(1)请以标号 写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；
(2)求两种规则下获得二等奖的概率；
(3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由.
19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，
由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如， ，求证： .证明：原式 .
请根据以上阅读材料解答下列问题：
(1)已知 ，求 的值.
(2)若 ，解关于 的方程 .
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C A A B C BCD AC
题号 11
答案 ACD
12．18 13．①③④ 14．15．（1）因为 ，
所以角 与 的终边相同，且 ，所以角 是第二象限角；
（2）图①：因为 ，
所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合 ；
图②：因为 ，
所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合 .
16．（1）由 ，所以 或 ，
由幂函数 的图象关于 轴对称，所以 .
故 .所以 .
函数 在 上单调递增，下面用单调性定义证明：设 ，
则 .
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
所以 ，即 .
所以函数 在 上单调递增.
（2）因为函数 在 上单调递增，且 ，
所以 ， .
对 ， .当 即 时， 在 上单调递增，所以 ，
由 .
当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
由 ，无解.
当 即 时， 在 上单调递减，所以 ，
由 ，这与 矛盾，无解.
综上可知： .
故 的取值范围是： .
17．（1）由频率分布直方图的性质，
可得 ，解得 .
所以及格率为 .
（2）得分在110分以下的学生所占比例为 ，
得分在130分以下的学生所占比例为 ，
所以第80百分位数位于 内，
由 ，估计第80百分位数为120分.
（3）由图可得，众数估计值为100分.
平均数估计值为 （分）.
18．（1）两次抽取小球的所有可能结果为：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
（2）记规则一中获得二等奖为事件 ，记规则二中获得二等奖为事件 ，
事件 包含 ， ， ， ， 五个样本点，
故 ，
事件 包含 ， ， ， ， 五个样本点，
故 .
（3）规则二获奖概率大.
理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件 ， ， ，
规则二获得一，二，三等奖分别为事件 ， ， ,
事件 包含 ， 两个样本点， .
事件 包含 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 十
二个样本点，
.
所以规则一获奖的概率
，
事件 包含 ， 两个样本点， ；
事件 包含 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
十三个样本点， .
所以规则二获奖的概率
，，∴所以规则二获奖的概率大.
19．（1）已知 ，则有 .
（2）由 ，
关于 的方程 ，
可化为： ，
即： ，
∴ ，即 ，解得： .
