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§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，
并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系： ＝ tan α .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) －α π－α π＋α －α ＋α
正弦 sin α － sin α sin α － sin α cos α cos α
余弦 cos α cos α － cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α － tan α －tan α tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当α为钝角时，cos(π－α)＝cos α.( × )
(2)若sin(2kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( × )
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．( × )
2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin x
B．sin＝cos x
C．cos＝－sin xD．cos(x－π)＝－cos x
答案 CD
解析 sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sin＝－cos x，故B不成立；
cos＝－sin x，故C成立；
cos(x－π)＝－cos x，故D成立．
3．若sin α＝，<α<π，则tan α等于( )
A．－2 B．2 C. D．－
答案 D
解析 ∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.
4．已知cos α＝，－<α<0，则的值为 ．
答案
解析 因为－<α<0，
所以sin α＝－＝－，
所以tan α＝－2.
则＝＝－＝＝.
题型一 同角三角函数基本关系式
例1 (1)(2023·深圳模拟)已知tan α＝－3，则等于( )
A．－ B. C. D．－
答案 C
解析 因为tan α＝－3，
所以＝＝－＝－＝－＝－＝.
(2)(多选)(2023·天津模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
答案 ABD
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，①
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴θ∈，故A正确；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，∴sin θ－cos θ＝，②
故D正确；
由①②得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确；
tan θ＝＝－，故C错误．
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实
现角α的弦切互化．
(2)形如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等类型可进行弦化切．
(3)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin
αcos α，可以知一求二．
跟踪训练1 (1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )
A. B．± C．－ D．－
答案 D
解析 ∵sin αcos α＝，
∴(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∵<α<，∴cos α0，cos θ>0，
又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，
且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，
所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－.
题型二 诱导公式
例2 (1)(2024·安康模拟)若sin(π＋α)＝－，则cos(π－2α)等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 ∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，
∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2×2－1＝.
(2)已知sin＝，则cos等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 因为sin＝，所以cos＝sin
＝sin＝.
延伸探究 若把本例(2)中条件换为“cos＝－”，那么sin的值为 ．
答案 －
解析 因为cos＝－，
所以sin＝sin＝cos＝－.
思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
跟踪训练2 (1)化简：
等于( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
答案 A
解析 原式＝＝＝－sin θ.
(2)已知cos＝，则cos等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 cos＝cos＝－cos＝－.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α
的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，
又α为锐角，∴sin α>0，则sin α＝.
(2)已知－π0，
∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－.
∴＝＝＝＝－.
思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结
论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2024·榆林模拟)已知tan(α－π)＝，则等于( )
A. B．3 C．－ D．－3
答案 C
解析 由tan(α－π)＝，解得tan α＝，
则＝＝－tan α＝－.
(2)(多选)下列结论中，正确的是( )
A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝
C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－
D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1
答案 CD
解析 由诱导公式四知当α∈R时，sin(π＋α)＝－sin α，故A错误；
当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝；
当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝
－，故B错误；
若α≠(k∈Z)，则tan＝＝＝－，故C正确；
将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，
所以sin α＝0或cos α＝0.
若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；
若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，
故sinnα＋cosnα＝1，故D正确．
课时精练
一、单项选择题
1．若角α的终边在第三象限，则＋等于( )A．3 B．－3 C．1 D．－1
答案 B
解析 由角α的终边在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
2．以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 sin 2 024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin 224°＝sin(180°＋44°)＝－sin 44°，
∵sin 45°＝，∴sin 2 024°的值最接近－.
3．(2023·安康模拟)已知sin＝，－<θ<，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 sin＝sin＝cos，
∵－<θ<，
∴－<＋θ<，又sin＝>0，
∴cos＝＝，
即sin＝.
4．(2023·天津模拟)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正
弦值和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的
一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．
则根据该表，416.5°的余弦值为( )
0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′
0° 0.000 0 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175
1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349
2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523
30° 5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150
31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299
32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446
33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592
34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736
……
A.0.546 1 B．0.551 9 C．0.550 5 D．0.573 6
答案 B
解析 由题意查表可得sin 33.5°＝sin 33°30′＝0.551 9，可得cos 416.5°＝cos(360°＋56.5°)＝cos 56.5°＝sin(90°－56.5°)＝sin 33.5°＝0.551 9.
5．(2024·北京模拟)已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan
β等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 ∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，
∴tan β＝tan(π－α＋2kπ)
＝tan(π－α)＝－tan α＝－＝－＝－.
6．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B. C．1 D．2
答案 D
解析 因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，所以tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β，
所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，当且仅当tan β＝时，等号成立．
二、多项选择题
7．在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
答案 ABC
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；
sin ＝sin＝cos ，B正确；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．
8．已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选
项正确的是( )
A．当t＝时，sin θcos θ的值为
B．当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－
C．函数f(θ)的值域为(－1，]
D．函数f(θ)的值域为(－1,1]
答案 BD
解析 当t＝时，sin θ＋cos θ＝，
两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－<0，故A错误；
所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－，
可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确；
因为sin θ＋cos θ＝t，t∈(－1，]，
两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2，
可得sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ＝t－＝1－(t－1)2，
因为t∈(－1，]，
所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1,1]，故C错误，D正确．
三、填空题
9．(2023·重庆模拟)若sin α＝2cos α，则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝ .
答案 －
解析 由sin α＝2cos α，得tan α＝2，
则cos2α＋sin αcos α－sin2α＝＝＝＝－.
10．已知tan α＝cos α，则－＝ .
答案 1
解析 因为tan α＝＝cos α，
故sin α＝cos2α，
则－＝＝＝＝＝1.
11．已知cos＝，则cos＝ ，sin＝ .
答案 －
解析 cos＝cos＝－cos＝－.
sin＝sin＝cos＝.
12．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝ .
答案
解析 因为sin θ－2cos θ＝－，
则2＋cos2θ＝1，
所以5cos2θ－cos θ－＝0，
即＝0，
又因为θ为第一象限角，
所以cos θ＝，所以sin θ＝，
从而sin θ＋cos θ＝.
四、解答题
13．(1)若α是第二象限角，且cos＝－，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．解 (1)∵cos＝－sin α＝－，
∴sin α＝，又α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝
＝＝cos α，
由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
14．在①4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴
对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题．
已知第四象限角α满足 ，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α＋3sin αcos α.
解 若选择条件①：
∵4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)，
∴4sin α＝－3cos α，
∴tan α＝－.
若选择条件②：
∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
又sin α＋cos α＝，
∴2＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝－，
∴tan α＝－.
若选择条件③：
∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
又∵α，β的终边关于x轴对称，
∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β.
又∵4sin β＝3cos β，
∴－4sin α＝3cos α，
即tan α＝－.
(1)＝
＝＝1.(2)sin2α＋3sin αcos α＝
＝＝＝－.
15．(多选)(2024·大连模拟)在△ABC中，若tan ＝sin C，则下列结论正确的是( )
A.＝1
B．1
