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5.3 三角函数的性质（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 值域
【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数 （ ）的图象向左平移 个单
位后关于直线 对称，则函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的图象向左平移 个单位后的图象表达式为y
，该函数的图象关于直线 对称，所以 ，又 所以， ，
所以 .
当 时， ，所以当 ，即 时， 的最小值为 .
故选：A
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3【答案】C
【解析】 ，
令 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以原函数可化为 ， ，对称轴为 ，
所以当 时， 取得最大值，所以函数的最大值为 ，
即 的最大值为 ，故选：C
【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知 ，若 对任意
恒成立，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
，则 ， .
，
若 对任意 恒成立，则 ，
即 .故选：A.
【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数 在内恰有两个最小值点，则 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，即 时，函数有最小值，
令 时，有 ， ， ， ，
因为函数 在 内恰有两个最小值点， ，
所以有： ，故选：B
【一隅三反】
1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数 ， 的值域为 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
所以 ，且 ，又 的值域为 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .故选：C.
2．（2022·河南焦作·二模）已知函数 ，若方程 在区间 上恰有5
个实根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由方程 ，可得 ，所以 ，
当 时， ，
所以 的可能取值为 ， ， ， ， ， ，…，
因为原方程在区间 上恰有5个实根，所以 ，
解得 ，即 的取值范围是 .故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函 ，对于任意的x，x∈R，
1 2
都有f(x)+f(x)-2 ≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为 ，则实数ω的取值范围为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】B【解析】f(x)=asinωx+cos(ωx- )=asinωx+cosωxcos +sinωxsin =( +a)sin ωx+ cos ωx=
·sin(ωx+φ)，其中tan φ= .
对于任意的x，x∈R，都有f(x)+f(x)-2 ≤0，即f(x)+f(x)≤2 ，当且仅当f(x)=f(x)=f(x)max时取等号，
1 2 1 2 1 2 1 2
故2 =2 ，解得a=1或a=-2(舍去)，故f(x)= sin ωx+ cos ωx= sin(ωx+ ).因为
0≤x≤π，所以 ≤ωx+ ≤ωπ+ .又f(x)在[0，π]上的值域为[ ]，所以 ≤ωπ+ ≤ ，解得 ≤ω≤ .
故选：B.
考点二 伸缩平移
【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线 ， ，为了得到曲线
，则对曲线 的变换正确的是（ ）
A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移 个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移 个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 个单位长度
【答案】C
【解析】A. 先把曲线 上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得 的图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度得 的图象，A错；
B. 先把曲线 上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得 的图象，再把得到的曲线向
左平移 个单位长度得 的图象，B错；
C. 先把曲线 上点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得 的图象，再把得到的曲线向
右平移 个单位长度得 的图象，C正确；
D. 先把曲线 上点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得 的图象，再把得到的曲线向
左平移 个单位长度得 的图象，D错误；故选：C．
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到
函数g(x)=cos 2x的图象，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【解析】将函数f(x)=sin(2x- )的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y=sin[2(x+a)- ]=sin[2x+(2a-
)]的图象，所以y=sin[2x+(2a- )]的图象与g(x)=cos 2x的图象重合.
因为g(x)=cos 2x=sin(2x+ )，所以2a- =2kπ+ ，k∈Z，即a=kπ+ ，k∈Z.
当k=0时，可得a = .故选：B.
min
【一隅三反】1．（2022·陕西）已知函数 的最小正周期为 ，若将其图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于 对称 C．关于点 对称D．关于 对称
【答案】A
【解析】依题意 ，解得 ，所以 ，将函数向左平移 个单位长度得到
，
因为 关于坐标原点对称，所以 ，解得 ，因为
，所以 ，所以 ，
因为 ，所以函数关于 对称，又
，所以函数关于 对称， ，
所以函数关于 对称；
故选：A
2．（2022·湖北·一模）函数 ，先把函数 的图像向左平移 个单位，再把图像上各
点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图像，则下列说法错误的是（ ）
A．函数 是奇函数，最大值是2B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 的图像关于直线 对称
D．π是函数 的周期
【答案】B
【解析】 ，把函数 的图像向左平移 个单
位，得 ，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，得 ，所以
可知 是奇函数，最大值是2，最小正周期为 ，当 ，得
，所以函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
，得 ，所以 也是函数 的对称轴，所以错误的选
项为B.故选：B.
3．（2022·全国·模拟预测）若将函数 的图象分别向左平移 个单位长度与向右平移
个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的图象向左平移 个单位长度得 的图象,向右平移 （ ）个单位长度得 的图象,
由题意得 （ ）所以 （ ） 又 ,故 的最小值为 , 故选：A
考点三 三角函数的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以 为最小正周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】 ，其最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，所以 的最小正周期为 ，
的最小正周期为 ，所以 的最小正周期为 ，
的最小正周期为 故选：BD
【例3-2】（2020·河南）已知函数 的图象与函数 图象的对称中心完
全相同，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由已知 ，令 ，解得 ，
所以 的对称中心为 ，又 的对称中心为 ，所以 .故选：C
【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将 的图象向左平移 个单位后得到
的图象，则 有 （ ）A．为奇函数，在 上单调递減
B．为偶函数，在 上单调递增
C．周期为π，图象关于点 对称
D．最大值为1，图象关于直线 对称
【答案】D
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图
象.
为偶函数， ， ，函数 单调递减，故A不正确；
， ， ， ，函数 不单调，故B错误；
的周期为 ，当 时， ，故C错误；
g（x）最大值为1，当 时，函数 ，为最小值，故 的图象关于直线 对称，故D正确，
故选：D．
【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数 ，将 的图象先向左
平移 个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数 的图象，若 图象关于 对称，
则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，的图象先向左平移 个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，
得到函数 ，
故 ，所以 ，
由于 ，所以 .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A.因为 ，
所以 是偶函数，函数图象关于y轴对称，故正确；
B.因为 的对称轴方程为： ，
的对称轴方程为： ，
又 ，
所以 图象不是轴对称图形，故错误；
C.将 向左平移 个单位可得 ，
因为 ，
所以 是偶函数，所以 是轴对称图形，故正确；D. 因为 的对称轴方程为： ， 的对称轴方程为： ，
又 ，所以 图象不是轴对称图形，故错误；
故选：AC
2．（2022·北京西城·一模）将函数 的图象向右平移 个单位所得函数图象关于原点对称，向
左平移 个单位所得函数图象关于 轴对称，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数 的图象向右平移 个单位，可得 ，
又由函数 的图象向左平移 个单位，可得 ，
因为函数 关于原点对称，可得 ，
解得 ，即
又因为 的图象关于 轴对称，可得 ，
解得 ，则 ，即 ，
因为 ，可得 .故选：D.
3．（2022·北京·一模）已知函数 .从下列四个条件中选择两个作为已知，
使函数 存在且唯一确定．
(1)求 的解析式；
(2)设 ，求函数 在 上的单调递增区间.条件①： ；
条件②： 为偶函数；
条件③： 的最大值为1；
条件④： 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】(1)选择①④或③④均可得到 (2) 和
【解析】(1)因为 ，所以 ，
显然当 时 为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即 最大值为 ，所以 ，解得 ，所以 ，又
，所以 ，即 ， ，解得 ， ，故 不
能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ，解得 ，所以
，又 ，所以 ，解得 ，所以 ；
若选择③④，即 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 ，解得 ，所以
，又 的最大值为 ，所以 ，解得 ，所以 ；
(2)由（1）可得令 ， ，解得 ， ，所以函数的单调递增区间为
， ，又 ，所以 在 上的单调递增区间有 和 ；
4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求函数 的值域．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由 由
得 所以函数 的单调递增区间为：
(2)由 ，则
所以由 ，则
所以函数 的值域为
考点四 三角函数性质与其他知识的综合运用
【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数 在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 在 有2个极值点，也即 在区间 取得一次最大值，一次最小值；
又 ，则当 ， ，要使得 满足题意，只需 ，解得
.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上无极值，则 的取值
范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5）
C．（0， ） D．（0， ]
【答案】A【解析】由已知条件得 ，
∵函数 在区间 上无极值，
∴函数 在区间 上单调，
∴ 或 在区间 上恒成立，
当 时， ，
∵ ，∴ ，在此范围内 不成立；
当 时， ，
∵ ，∴ ，即 ，解得 ，则 的取值范围是 ，故选： .
2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数 的部分图像如
图所示，现将 的图像向左平移 个单位长度得到 的图像，则方程 在 上实数
解的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B【解析】根据函数 ， ， ， 的部分图象，
可得 ， ．所以 ，
结合五点法作图， ， ，因为 ， ，故
．
再把点 代入，可得 ，即 ， ，
所以 ．
现将 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 ，
因为 ，即 ，所以 或 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 或 或 或 或 或 ，
故方程 在 上实数解的个数为 个；
故选：B
3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知 的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，
b，c，且 ，若将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数
的图像，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于直线 对称C．当 时，函数 的最小值为 D．函数 在 上单调递增
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，又将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像，
∴ ，
∴函数 的最小正周期为 ，故A错误；
当 时， ，函数 的图象不关于直线 对称，故B错误；
当 时， ，
即 ，故C正确；
当 时， ，所以函数 在 上有增有减，故D错误.
故选：C.
