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第4讲 三角函数的图象与性质
最新考纲 考向预测
以考查三角函数的性质为主，题
目涉及单调性、周期性、最值、零
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的
点．考查三角函数性质时，常与
图象，了解三角函数的周期性. 命题
三角恒等变换结合，加强数形结
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0， 趋势
合思想、函数与方程思想的应用
2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
意识．题型既有选择题和填空
值以及与x轴的交点等)，理解正切函数
题，又有解答题，中档难度.
在区间内的单调性.
核心
直观想象、逻辑推理
素养
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，
(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－ 1) ，，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义
R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
域
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
周期
2π 2π π
性
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
单调 [ － ＋ 2 k π ， [ － π ＋ 2 k π ， ( －＋ k π ，＋ k π) ，递增 ＋ 2 k π ] ，
2 k π] ， k ∈ Z k ∈ Z
区间 k ∈ Z
续 表
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
单调 [ ＋ 2 k π ，
[2 k π ， π ＋ 2 k π] ，
递减 ＋ 2 k π ]， 无
k ∈ Z
区间 k ∈ Z
对 对称中心 ( k π ， 0) ， k ∈ Z ， k ∈ Z ， k ∈ Z
称
对称轴 x ＝ k π ＋， k ∈ Z x ＝ k π ， k ∈ Z 无对称轴
性
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是
半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相
邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝
kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ
＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
常见误区
1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)
内为增函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞
0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．( )
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.( )
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( )
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．(易错点)函数y＝tan 2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为.
3．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数有( )
A．y＝tan x
B．y＝|sin x|
C．y＝2cos x
D．y＝sin
解析：选BD.对于A选项，函数y＝tan x为奇函数，不符合题意；对于B选项，
函数y＝|sin x|是最小正周期为π的偶函数，符合题意；对于C选项，函数y＝2cos
x的最小正周期为2π，不符合题意；对于D选项，函数y＝sin＝cos 2x，是最小正
周期为π的偶函数，符合题意．故选BD.
4．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：由y＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．已知函数f(x)＝sin是奇函数，当φ∈时，φ的值为________．
解析：由已知得＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又因为φ∈，所以当k＝
0时，φ＝－符合条件．
答案：－
第1课时 三角函数的单调性与最值求三角函数的单调区间
(1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
(2)函数f(x)＝tan(2x＋)的单调递增区间是________．
【解析】 (1)f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－
≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由kπ－＜2x＋＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单
调递增区间为(k∈Z)．
【答案】 (1)(k∈Z)
(2)(k∈Z)
【引申探究】
1．(变条件、变问法)若本例(1)f(x)变为：f(x)＝－cos，求f(x)的单调递增区间．
解：f(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数f(x)的单调递增区间，
只需求y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．(变条件、变问法)本例(1)f(x)变为：f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性．
解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝，易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，又因为－＝<T，所以f(x)在区间上单
调递减．
求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角
u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间．
[提醒] 要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么
一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴
上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
2．设函数f(x)＝sin，x∈，则以下结论正确的是( )
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f(x)在上单调递增
C．函数f(x)在上单调递减
D．函数f(x)在上单调递增
解析：选C.由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增；由x∈得2x－∈，所以f(x)先
增后减；由x∈得2x－∈，所以f(x)单调递减；由x∈得2x－∈，所以f(x)先减后增．
三角函数单调性的应用
角度一 利用三角函数的单调性比较大小
已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a<c<b B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
【解析】 a＝f＝2sin ，b＝f＝2sin ＝2，c＝f＝2sin ＝2sin ，
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，所以c<a<b.
【答案】 B
利用函数的单调性比较大小
(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三
角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；
(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较．
角度二 利用三角函数的单调性求值域(最值)
(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.C. D.
(2) 函 数 y ＝ sin x － cos x ＋ sin xcos x 的 值 域 为
_________________________________．
【解析】 (1)当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
(2)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x
＝，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，y ＝1；当t＝－时，y ＝－－.
max min
所以函数y的值域为[－－，1]．
【答案】 (1)B (2)[－－，1]
【引申探究】
1．(变条件)若本例(1)中函数f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的
值域为________．
解析：当x∈时，2x－∈，
cos∈，
故f(x)＝3cos∈.
答案：
2．(变条件)若本例(2)中x∈[0，π]，则函数f(x)的值域为________．
解析：设t＝sin x－cos x，则t＝sin，
又x∈[0，π]，所以t∈[－1，]．
t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
即sin xcos x＝，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，y ＝1；当t＝－1时，y ＝－1.
max min
所以函数y的值域为[－1，1]．
答案：[－1，1]
三角函数值域的求法
(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的
形式求值域．
(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．
(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．
1．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C.因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝
sin 80°，由正弦函数y＝sin x在0°≤x≤90°上是增函数，得sin 11°＜sin 12°＜sin
80°，所以sin 11°＜sin 168°＜cos 10°，故选C.
2．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.记t＝sin x，x∈，则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－10＋
2.
因为函数的最大值为2，显然此时t＝－.
令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，
由题意知x∈，当x＝－时，t＝－1，g(－1)＝－，结合g(t)的图象及函数的值域
为，可得－≤sin m≤0，
解得－≤m≤0.故选B.
根据三角函数的单调性确定参数
(一题多解)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调
递增，则正数ω的最大值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 方法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1
在区间上单调递增，所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.
方法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所
以正数ω的最大值是.故选B.
【答案】 B
已知函数单调性求参数——
明确一个不同，掌握两种方法
(1)明确一个不同．“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为
N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)掌握两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：
一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利
用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
1．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
解析：选A.f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
因为函数f(x)在[－a，a]上是减函数，
所以[－a，a] ，所以0＜a≤，
所以a的最大值为.
⊆
2．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝
________．
解析：因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由已知得＝，解得ω＝.
答案：[A级 基础练]
1．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.方法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C.
方法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B.故
选C.
2．下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
解析：选B.函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B.
3．(2020·武汉市学习质量检测)已知函数f(x)＝sin2x＋sin2，则f(x)的最小值为(
)
A. B.
C. D.
解析：选A.f(x)＝sin2x＋sin2＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋sin xcos x＝＋＋sin 2x＝
1＋＝1＋sin≥1－＝，故选A.
4．(2020·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，
2π)，若f(x)≤f对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析：选B.因为f(x)≤f对x∈R恒成立，则f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ
＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2x
＋∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)．故选B.
5．(2020·昆明市三诊一模)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈的值域是，则ω的取
值范围是( )
A. B.
C. D.解析：选B.通解：因为x∈，ω>0，所以ωx－∈.又当x∈时，f(x)∈，所以≤－≤
解得≤ω≤3，故选B.
优解：当ω＝2时，f(x)＝sin.因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，满足题意，故
排除A，C，D，选B.
6．比较大小：sin________sin.
解析：因为y＝sin x在上为增函数且－＞－>－，故sin＞sin.
答案：＞
7．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，0]，
所以f(x)的单调递增区间为和.
答案：和
8．若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值为1，则ω＝________．
解析：因为0＜ω＜1，0≤x≤，所以0≤ωx＜，所以f(x)在区间上单调递增，则
f(x) ＝f＝2sin ＝1，即sin ＝.又因为0≤ωx＜，所以＝，解得ω＝.
max
答案：
9．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数
f(x)的最大值为1，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．
解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.
令≤2x－≤π，则≤x≤.
因为－≤x≤，
所以函数f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
因为f＝－<f＝，所以当x＝－时，f(x) ＝－.
min
所以f(x)的值域为.
[B级 综合练]
11．(2020·湖北八校第一次联考)若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减
函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cos x－sin x在区间[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
解析：选D.f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，g(x)＝cos x－sin x＝2cos＝2sin.f(x)在区间
[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，不妨令a＋＝，b＋＝，则a＋＋＝π，b＋
＋＝2π，故g(x)在[a，b]上既不是增函数，也不是减函数，g(x)在[a，b]上可以取得
最小值－2，故选D.
12．(多选)关于函数f(x)＝sin|x|－|cos x|，下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)的最大值为
D．当x∈时，f(x)＜0恒成立
解析：选ABD.因为f(－x)＝sin|－x|－|cos(－x)|＝sin|x|－|cos x|＝f(x)，所以f(x)
为偶函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝sin|x|－|cos x|＝sin x＋cos x＝sin，又x∈，所
以令t＝x＋，则t∈，y＝sin t单调递减，所以B正确；因为f(x)为偶函数，所以求函
数f(x)的最大值可只考虑当x≥0时的情况，又易知当x≥0时，2π是其一个周期，
所以只需研究x∈[0，2π]时的情况，则f(x)＝sin x－|cos x|＝＝，则函数f(x)的值域
为[－，1]，因此C错误；当x∈时，f(x)＝sin x－cos x＝sin，则x－∈，所以sin＜0，
即f(x)＜0在x∈上恒成立，因为f(x)为偶函数，所以x∈时，f(x)＜0恒成立，故D
正确．综上可知，正确结论是ABD.
13．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，
在上单调递减，且sin＜sin，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
14．已知f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．
解：(1)f(x)＝2sin＋a＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x＝时，f(x)取得最大值4，
即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，所以a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，
k∈Z，
又x∈[－π，π]，
解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
[C级 创新练]
15．(2020·贵阳市适应性考试)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象在区间[0，1]上
恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．[4π，6π)
解析：选C.因为x∈[0，1]，ω>0，所以ωx＋∈.
因为f(x)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，所以4π＋≤ω＋<6π＋，解得
≤ω<.
16.如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位
圆交于点A(x ，y )，角β＝α＋的终边与单位圆交于点 B(x ，
1 1 2
y )，记 f(α)＝y －y .若角 α 为锐角，则 f(α)的取值范围是
2 1 2________．
解析：由题意可知y ＝sin α，y ＝sin β＝sin，所以f(α)＝y －y ＝sin α－sin＝sin
1 2 1 2
α＋sin α－cos α＝sin α－cos α＝sin.又因为α为锐角，即0＜α＜，所以－＜α－＜，
所以－＜sin＜，则－＜f(α)＜，即f(α)的取值范围是.
答案：
