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第4讲 三角函数的图象与性质
最新考纲 考向预测
以考查三角函数的性质为主，题
目涉及单调性、周期性、最值、零
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的
点．考查三角函数性质时，常与
图象，了解三角函数的周期性. 命题
三角恒等变换结合，加强数形结
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0， 趋势
合思想、函数与方程思想的应用
2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
意识．题型既有选择题和填空
值以及与x轴的交点等)，理解正切函数
题，又有解答题，中档难度.
在区间内的单调性.
核心
直观想象、逻辑推理
素养
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，
(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－ 1) ，，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义
R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
域
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
周期
2π 2π π
性
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
单调 [ － ＋ 2 k π ， [ － π ＋ 2 k π ， ( －＋ k π ，＋ k π) ，递增 ＋ 2 k π ] ，
2 k π] ， k ∈ Z k ∈ Z
区间 k ∈ Z
续 表
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
单调 [ ＋ 2 k π ，
[2 k π ， π ＋ 2 k π] ，
递减 ＋ 2 k π ]， 无
k ∈ Z
区间 k ∈ Z
对 对称中心 ( k π ， 0) ， k ∈ Z ， k ∈ Z ， k ∈ Z
称
对称轴 x ＝ k π ＋， k ∈ Z x ＝ k π ， k ∈ Z 无对称轴
性
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是
半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相
邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝
kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ
＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
常见误区
1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)
内为增函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞
0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．( )
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.( )
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( )
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．(易错点)函数y＝tan 2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为.
3．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数有( )
A．y＝tan x
B．y＝|sin x|
C．y＝2cos x
D．y＝sin
解析：选BD.对于A选项，函数y＝tan x为奇函数，不符合题意；对于B选项，
函数y＝|sin x|是最小正周期为π的偶函数，符合题意；对于C选项，函数y＝2cos
x的最小正周期为2π，不符合题意；对于D选项，函数y＝sin＝cos 2x，是最小正
周期为π的偶函数，符合题意．故选BD.
4．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：由y＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．已知函数f(x)＝sin是奇函数，当φ∈时，φ的值为________．
解析：由已知得＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又因为φ∈，所以当k＝
0时，φ＝－符合条件．
答案：－
第1课时 三角函数的单调性与最值求三角函数的单调区间
(1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
(2)函数f(x)＝tan(2x＋)的单调递增区间是________．
【解析】 (1)f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－
≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由kπ－＜2x＋＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单
调递增区间为(k∈Z)．
【答案】 (1)(k∈Z)
(2)(k∈Z)
【引申探究】
1．(变条件、变问法)若本例(1)f(x)变为：f(x)＝－cos，求f(x)的单调递增区间．
解：f(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数f(x)的单调递增区间，
只需求y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．(变条件、变问法)本例(1)f(x)变为：f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性．
解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝，易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，又因为－＝0)，x∈的值域是，则ω的取
值范围是( )
A. B.
C. D.解析：选B.通解：因为x∈，ω>0，所以ωx－∈.又当x∈时，f(x)∈，所以≤－≤
解得≤ω≤3，故选B.
优解：当ω＝2时，f(x)＝sin.因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，满足题意，故
排除A，C，D，选B.
6．比较大小：sin________sin.
解析：因为y＝sin x在上为增函数且－＞－>－，故sin＞sin.
答案：＞
7．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，0]，
所以f(x)的单调递增区间为和.
答案：和
8．若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值为1，则ω＝________．
解析：因为0＜ω＜1，0≤x≤，所以0≤ωx＜，所以f(x)在区间上单调递增，则
f(x) ＝f＝2sin ＝1，即sin ＝.又因为0≤ωx＜，所以＝，解得ω＝.
max
答案：
9．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数
f(x)的最大值为1，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．
解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.
令≤2x－≤π，则≤x≤.
因为－≤x≤，
所以函数f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
因为f＝－0)的图象在区间[0，1]上
恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．[4π，6π)
解析：选C.因为x∈[0，1]，ω>0，所以ωx＋∈.
因为f(x)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，所以4π＋≤ω＋<6π＋，解得
≤ω<.
16.如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位
圆交于点A(x ，y )，角β＝α＋的终边与单位圆交于点 B(x ，
1 1 2
y )，记 f(α)＝y －y .若角 α 为锐角，则 f(α)的取值范围是
2 1 2________．
解析：由题意可知y ＝sin α，y ＝sin β＝sin，所以f(α)＝y －y ＝sin α－sin＝sin
1 2 1 2
α＋sin α－cos α＝sin α－cos α＝sin.又因为α为锐角，即0＜α＜，所以－＜α－＜，
所以－＜sin＜，则－＜f(α)＜，即f(α)的取值范围是.
答案：
