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北师大实验中学 2022-2023 九上数学期末模拟（三）
一、选择题（共16分，每题2分）．
1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，
轴对称而非中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 二次函数 的图像的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数表达式为 ，是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数 的图像的顶点坐标是 ，从而得到答案．
【详解】解： 二次函数解析式的顶点式为 ，
二次函数 图像的顶点坐标是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记由二次函数顶点式得到函数图像顶点坐标是解决问题的关键．
3. 关于x的一元二次方程 有一个根为1，则方程另一根为（ ）
A. -1 B. 0 C. 4 D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】设一元二次方程 的另一个根为 ，由根与系数关系得到 ，即可求得答案．
【详解】解：设一元二次方程 的另一个根为 ，
∵有一个根为1，
∴由根与系数关系得到 ，
∴ ，即方程的另一个根为4，
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的根与关系是解题的关键．
4. 如图，点A、B、C在 上， 为等边三角形，则 的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】D
【解析】【分析】由 为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解.
【详解】∵ 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ = ∠AOB = 60°=30°.
×
故选D.
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.
5. 将一元二次方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处
理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活
垃圾无害化处理能力的年平均增长率为 ，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为 ，根据等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为 ，由题意得： ，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程 的实际应用，掌握增长率模型 ，是解题的关键．
7. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB
及优弧 围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．
若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图
∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴ 优弧 所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为 ，且∴ 为优弧 所对圆周角
∴ ，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接 、 、 、 、 、 ,如下图，
∵ ， ，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图， 和 相切于点P
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和 的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
8. 已知二次函数 ，经过点 ．当 时，x的取值范围为 ．
则如下四个值中有可能为n的是（ ）
A. -1 B. -2 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 时，x的取值范围为 ，可得 和 是方程的两个根，则有 ，再由 ，可得 ，即将 ，将点
代入函数解析式可得 ，利用a的取值范围确定n的取值范围即可求解．
【详解】解：当 时， ，
∴ ，
∵由 时，x的取值范围为 ，
∴ 和 是方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的对称轴，
又∵ 时，x的取值范围为 ．
∴ ，
∴ ，
∵函数经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴n的可能取值为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数
的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系xOy中，点 关于原点的对称点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解．
【详解】解：点 关于原点的对称点坐标为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的
关键．
10. 写出一个开口向下，且对称轴在 轴左侧的抛物线的表达式：_______．
【答案】y=-x2-2x+1
【解析】
【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
【详解】解：抛物线的解析式为y=-x2-2x+1，
故答案为：y=-x2-2x+1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，
答案不唯一．
11. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000“正面向上”的次数
265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
n
“正面向上”的频率
0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.520 0.521
可以估计“正面向上”的概率是_____（结果精确到0.001）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定
性，即可求解．
【详解】解：随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以
估计“正面向上”的概率大约是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率．
12. 抛物线 经过点 ，且对称轴是直线 ，该抛物线的解析式是__________．该
抛物线经过平移得到抛物线 ，请描述平移过程_________．
【答案】 ①. ②. 将抛物线 向左平移 个单位长度、向下平移 个
单位长度即可得到抛物线
【解析】
【分析】①根据抛物线 对称轴是直线 ，得到 ，解得 ，再由抛物线
经过点 ，得到 ，解得 ，从而得到该抛物线的解析式为；②将 配方化为顶点式 ，对比平移后的抛物线
可知 ， ，从而根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减
得到平移过程：将抛物线 向左平移 个单位长度、向下平移 个单位长度即可得到抛物线
．
【详解】解：① 抛物线 对称轴是直线 ，
，解得 ，
抛物线 经过点 ，
，解得 ，
该抛物线的解析式为 ，
故答案为： ；
②将 配方化为顶点式 ，
对比平移后的抛物线 ，可知 ， ，
将抛物线 向左平移 个单位长度、向下平移 个单位长度即可得到抛物线
，
故答案为：将抛物线 向左平移 个单位长度、向下平移 个单位长度即可得到抛物线
．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移，熟练
掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．13. 在 中，斜边 ，直角边 ，以直线 为轴旋转1周形成纺锤形，则这个
纺锤形的表面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 的长，利用等积法求出斜边 上的高，即圆锥底面圆的半径，进而根据
纺锤形的表面积是两个圆锥的侧面积之和求出答案即可．
【详解】解：∵ 中，斜边 ，直角边 ，
∴ ，
∴ 斜边 上的高为 ，
以直线 为轴旋转1周形成纺锤形是由两个同底的圆锥组成的几何体，底面圆周长为
，
∴纺锤形的表面积为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆锥 的侧面积，勾股定理等知识，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
14. 如图四边形 内接于 ， ，点O到 距离为______， 的度数为
______．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接 ，作 于H，根据勾股定理的逆定理，得到 ，根据等腰直角
三角形的性质解答；
（2）根据圆周角定理求出 ，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：（1）连接 ，作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，即点O到 的距离为 ；
（2） ，
，∵四边形 内接于 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互
补是解本题的关键．
15. 二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，下列
结论： ； ； ； 若点 、点 、点
在该函数图象上，则 ； 若方程 的两根为 和 ，且
，则 其中正确的结论是______．
【答案】（1）（3）（5）
【解析】
【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误，利用x=-3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【详解】（1）正确．∵- =2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=-3时，y＜0，∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），
∴
解得 ，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（-3，y）、点B（- ，y）、点C（ ，y），
1 2 3
∵ -2= ，2-（- ）= ，
∴ ＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y＞y，
3 2
∵a＜0，-3＜- ＜2，
∴y＜y
1 2
∴y＜y＜y，故（4）错误．
1 2 3
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=-3/a＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故答案为：（1）（3）（5）
【点睛】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息
解决问题，属于中考常考题型．16. 如图，在直角坐标系中， 的半径为3，圆心坐标为 ，y轴上有点 ，点C是 上的
动点，点P是 的中点，则 的范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，由勾股定理求出 ，由三角形中位线
定理求 ，当C在线段 上时， 的长度最小值 ，当C在线段 延长线上时，
的长度最大值 ，即可求解．
【详解】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，当C在线段 上时， 的长度最小值为： ，
当C在线段 延长线上时， 的长度最大值为： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的
辅助线是解答本题的关键．
三、解答题
17. 解方程：
（1） ．
（2）
【答案】（1） ， ；
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
由题意得， ，
则 ，∴ ，
即 ， ；
【小问2详解】
可变为，
则 或
解得 ，
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 尺规作图：过圆外一点作圆的切线按照下面描述，完成尺规作图：
（1）连接 ，交圆O于点A，以O 为圆心， 长为半径画圆；
（2）过点A作 的垂线，交以O为圆心 为半径的圆O于点B，连接 ，交以O为圆心 为半径
的圆O于点M．
（3）连接 ，即为所求．
可证 ______，则 _______．则 为圆O的切线，依据是_________．
【答案】 ， ，过半径的外端且垂直于该半径的直线为圆的切线
【解析】
【分析】按照作图要求作出图形即可；利用 证明 ，推出 ，
即可证明 为圆O的切线．
【详解】解：如图， 为圆O的切线，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是⊙O的半径，
∴ 就是⊙O的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线）．
故答案为： ， ，过半径的外端且垂直于该半径的直线为圆的切线．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定和性质和切线的判定．
19. 已知二次函数 ．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标：
（2）画出此函数的图象（不需要列表）；
（3）若点 和 都在此函数的图象上，且 ，结合函数图象，直接写出m的取值范
围．
【答案】（1）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；
（2）根据画图象的步骤作图即可；
（3）由函数图像过点 和 ，根据函数图像求解即可．【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：函数图像如下图所示：
【小问3详解】
解：当 时， ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴函数图像过点 和 ，
∴由函数图像可知，当 时， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握
数形结合思想的应用是解题的关键．20. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转 ，得到矩形AEFG．当点E在BD上时，求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由四边形 是矩形，得到 ， ，由旋转可得 ，
， ，则 ，由等角的余角相等可得
，又由 可证 ，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由旋转可得， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，证明 是解答此
题的关键．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于0，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程判别式与方程根的情况，只要判定 即可证得；
（2）利用十字相乘法解一元二次方程 ，得到 或 ，根据此方程恰有
一个根小于0，列不等式求解即可得到 的取值范围．
【小问1详解】
证明： 关于 的一元二次方程 ，
，
，
此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解： ，
，
解得 或 ，
此方程恰有一个根小于0，
，解得 ．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二
次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．
22. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之
外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为_________；
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上
的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率 ；
（3）乙从中一次取两个球，记乙取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“过”的概率为 ，则
______ （填“>”、“<”或“=”）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一步概率问题求解方法，直接运用公式求解即可得到答案；
（2）根据列表法，由于是不放回取球，列表表示所有等可能结果，共计 种，其中满足甲取出的两个球
上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有 种结果，利用概率公式求解即可得到答案；
（3）由（2）中列表知，表中所有等可能结果，共计 种，其中满足乙从中一次取两个球，记乙取出的两
个球上的汉字一个是“阳”一个是“过”的有 种结果，利用概率公式求解，比较则 、 大小即可得到
答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：列表如下：阳 过 阳 康
1 2
阳 阳 过 阳 阳 阳 康
1 1 1 2 1
过 过阳 过阳 过康
1 2
阳 阳 阳 阳 过 阳 康
2 2 1 2 2
康 康阳 康过 康阳
1 2
由表知共有 种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有 种结果，
；
【小问3详解】
解：由（2）知，列表如下：
阳 过 阳 康
1 2
阳 阳 过 阳 阳 阳 康
1 1 1 2 1
过 过阳 过阳 过康
1 2
阳 阳 阳 阳 过 阳 康
2 2 1 2 2
康 康阳 康过 康阳
1 2
由表知共有 种等可能的结果，其中乙从中一次取两个球，记乙取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个
是“过”的有 种结果，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一步概率问题的求解以及两步概率问题的求解，掌握概率公式、两种列举法（列表或画
树状图的方法）解两步概率问题是解题的关键．
23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且
E是AB中点，连接OA（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝ ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥AB，再依据题中已知条件E是AB中点，根据等腰三角形的判定
即可证明线段相等；
（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得 ，再由三个角之间的等量关系可得：
，设⊙O的半径为r，则 ，在 和 中，两次应用勾股定理，求
解方程即可得出圆的半径．
【详解】解：（1）证明：在⊙O中，连接 ，
∵ 直线AB与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥AB．
∵ E是AB中点，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，∴AE，AC是⊙O的切线，
∴ ，（切线长定理）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ⊙O的半径为1．
【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作
出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．
24. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度 为 ．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度
．记喷出的水与喷水口的水平距离为 ，上边缘距地面的高度为 ，下边缘距地面的高
度为 ．测量得到如下数据：
0 1 2 3 4 5 6
2 0
1.5 0
（1）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出上边缘函数的图像；
（2）结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程 为______m，并求上边缘抛物线的函数
解析式；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离 的
取值范围为______．
【答案】（1）见解析 （2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）描点，连线即可；（2）直接由函数图像以及表格可得 最大值，根据待定系数法求上边缘抛物线解析式即可；
（3）根据 ，求出点 的坐标，利用增减性可得最大值和最小值．
【小问1详解】
解：如图即为所作；
【小问2详解】
解：根据题意可得最大射程 ，
由表格可知，当 和 时，函数值均为 ，
∴上边缘抛物线的顶点坐标为 ，
设上边缘抛物线的函数解析式为 ，
将点 代入 中，
得： ，
解得 ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
∵ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
解得： ，∵ ，
∴ ，
当 时， 随 增大而减小，
当 时， 随 增大而增大，且 时， ，
∴当 时，要使 ，则 ，
∵ ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴ 的最大值为 ，
再下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
∴ 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次
函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
25. 如图，AB为⊙O的直径，弦 于 ，连接 ，过 作 ，交⊙O于点 ，连接
DF，过 作 ，交DF的延长线于点 ．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若 ，DF=4，求FG的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；
（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出 ，进而依据等边三角形和四边形
BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．
【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，
∴ ∠D=∠CAF=90°．
∵ AB⊥CE，BG⊥DF，
∴ ∠BED=∠G=90°．
∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．
∴ 半径OB⊥BG．
∴ BG是⊙O的切线．
（2）连接CF，
∵ ∠CAF=90°，
∴ CF是⊙O的直径．
∴ OC=OF．
∵ 直径AB⊥CD于E，
∴ CE=DE．
∴ OE是△CDF的中位线．
∴ ．
∵ ，∠AFD=30°，
∴ ∠ACD=∠AFD=30°．
∴ ．
∵ OA=OC，
∴ △AOC是等边三角形．∵ CE⊥AB，
∴ E为AO中点，
∴ OA=2OE=4，OB=4．
∴ ．
∵ ∠BED=∠D=∠G=90°，
∴ 四边形BEDG是矩形．
∴ DG=BE=6．
∴ ．
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形
性质是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线 的顶点坐标；
（2）当 时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当 时，y的最大值是m，最小值是n，且 ，求t的值．
【答案】（1）（1，-4）；（2）1；（3）-1或2
【解析】
的
【分析】（1）根据对称轴可得a与b间 关系b=-2a，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得
顶点坐标；
（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值
是相互矛盾的，故可排除a为负的情况，所以a为正．再由于x轴上-2与1的距离大于3与1的距离，根据
抛物线的性质，函数在x=-2处取得最大值，从而可求得a的值．
（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在 范围内、在这个范围的左边、在这个范
围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t的值．
【详解】解：（1）∵对称轴是直线 ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
∴顶点坐标为 ．
（2）若a<0，则抛物线的开口向下，从而y有最大值4
∵当 时，y的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x=1，
∴函数此时在 时取得最大值5，
这与y有最大值4矛盾，从而a>0．
∴抛物线的顶点为图象的最低点．
∵1-（-2）>3-1
∴当 时， ．
代入解析式，得
．
（3）①当 时，此时0≤t≤1，
∴ ，函数的最大值在t+1或t处取得，即 或
∴m的最大值为 ．
此时 ．
不符合题意，舍去．
②当 ，即 时，
．
∵ ，
∴ ．
③当 时，同理可得 ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，解决后两问的关键是分清顶点的横坐标与所给自变量的范围之间的位
置关系，即它是在自变量的范围内、还是在自变量范围左边或自变量范围右边，才能确定函数的最大值与
最小值，这其实就是分类讨论，这也是同学们易于忽略的．
27. 如图1，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，连接
， ， ．点 在线段 上，连接 交 于点 ．
（1）①比较 与 的大小，并证明；
②若 ，求证： ；
（2）将图1中的 绕点 逆时针旋转 ，如图2．若 是 的中点，判断
是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF仍然成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①只需要证明△CAE≌△CBD即可得到∠CAE=∠CBD；
②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF，CF=BF，则
BD=2CF，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF；
（2）如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，只需要证明△ACE≌△BCG得到AE=BG，再由CF是
△BDG的中位线，得到BG=2CF，即可证明AE=2CF．
【详解】解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：在△CAE和△ CBD中，
，
∴△CAE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD；
②∵CF⊥AE，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，
∴BD=2CF，
又∵△CAE≌△CBD，
∴AE=2BD=2CF；
（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：
如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，
由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，
又∵CE=CD=CG，AC=BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE=BG，
∵F是BD的中点，CD=CG，
∴CF是△BDG的中位线，
∴BG=2CF，
∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位
线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，点 在 上，点 在 内，给出如下定义：连接
并延长交 于点 ，若 ，则称点 是点 关于 的 倍特征点．
（1）点 的坐标为 ．
①若点 的坐标为 ，则点 是点 关于 的 倍特征点；
②在 ， ， 这三个点中，点 是点 关于 的 倍特征点；
③直线 经过点 ，与 轴交于点 ， ．点 在直线 上，且点 是点 关于 的 倍特
征点，求点 的坐标；
（2）若当 取某个值时，对于函数 的图像上任意一点 ，在 上都存在点 ，
使得点 是点 关于 的 倍特征点，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】（1）① ，② ，③ 或
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】【分析】（1）①由题意知 ， ，则 ；②由勾股定理得
，假设点 是点 关于 的 倍特征点，则 ，不符合
题意，同理判断 、 即可；③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点
作 轴于点 ，根据点 、点 关于 的 倍特征点，得 ，由含 的直角三角形的性
质可得 ， 的长，当点 在 轴负半轴同理可得答案；
（2）设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 ， ，由 ，可知 越大，
的值越小，则 的值越大，得 ， 时， 的值最小，即 与 重合，
与 重合时， 的值最小，同理当点 在 点， 在 点时， 有最大值，从而解决问题．
【小问1详解】
解：① ， ，
，
，
，
，，
故答案为： ；
②假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，不符合题意，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
连接 并延长交 于点 ，如图所示：，
， ，
， ，
，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，，
为 的中点，
，
与 轴负半轴交点坐标为 ，
在圆上，
点 是点 关于 的 倍特征点；
故答案为： ；
③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
点 是点 关于 的 倍特征点，
，
是 的中点，
，
，
，， ，
，
，
，
当点 在 轴负半轴上时，同理可得 ，
综上： 或 ；
【小问2详解】
解：设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 、 ，如图所示：
， ，
，
，越大， 的值越小，
的值越大，
当 的值越大， 的值越大，
， 时， 的值最小，
与 重合， 与 重合时， 的值最小，
， 是直线 与 轴， 轴的交点，令 得 ，令 得 ，
， ，
到 和到 的距离都是1，
，
，
，
，
，
，
，即 的最小值为 ；
当点 在 点， 在 点时， 有最大值，如图所示：，即 的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆背景下的新定义问题，考查圆的性质、勾股定理、两点之间距离公式、坐标与图形、
一次函数的图像与性质等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，综合性强、难度
较大，属于中考压轴题．
