5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）
题组一 判断三角形额形状
1．（2022·四川省峨眉第二中学校）在 中，已知 ，且 ，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由题意, ,
则 ,
又 ，则 ,
由 可得 ，即 ，
所以 ，由 ，知 ，
综上可知即 的形状是等边三角形.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】因为 ，由正弦定理可得： ，整理可得：
，
即 ，所以 或者 ，所以 或 ，
而当 时则 ，所以三角形 为直角三角形，所以 ，则 中，这时 ，分母为0无意义所以 ，选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则 的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得 ，整理得：
即 ，又因为 ,所以 ,
所以 ，移项得： ,所以三角形一定为直角三角形.故选：B
4．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在 中， ， ， ，则 为
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得 ，即 ，解得 ，又 ，故 或 ，
当 时， ，为直角三角形；当 时， ，为等腰三角形.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
则下列条件能推导出 一定是锐角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于 ，若 ，由余弦定理可知 ，即角 为锐角，不能推出其他
角均为锐角，故错误；对于 ，因为 ，可得 ，可得 ，设 ， ，
， ，可得 为最大边， 为三角形最大角，
根据余弦定理得 ，可得 为锐角，可得 一定是锐角三角形，
故正确；
对于 ，因为 ，可得 ，整理可得
，由正弦定理可得 ，可得 为直角，故错误；
对于 ，因为由于 ，整理得 ，
故 ，
由于 ，故 ，
故 ， ， 均为锐角， 为锐角三角形，故正确．故选：BD．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 .若
， ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，可得 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，所以 ，所以 的形状是正三角形，故选：C.
7．（2022·湖南·长沙一中）（多选）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则符合条件的三角形不存在
D．若 ，则 一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】若 ，则 ，所以由正弦定理可得 ，故A正确；
若 ， ， ，则 ，即 ，所以角 为锐角，即 为锐角三角
形，故B错误；
若 ， ， ，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确；
若 ，则 ，即 ,因为 ,所以 或
，即 或 ，所以 为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC
题组二 最值问题
1．（2021·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值
时，四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图：则 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝”，
而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，
四边形ABCD的面积 .
故选：A
2．（2021·全国·高三专题练习（文））在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，
成等差数列， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 中，由 ， ， 成等差，可得 ，
由 ，得 ， ．
由余弦定理 ，可得 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，即
，即 ，解得
所以 的取值范围是 ．
故选：A3．（2022·陕西·武功县普集高级中学）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
的面积为2，则当 取得最小值时 （ ）
A． B． C． D．20
【答案】C
【解析】 ， ，
由正弦定理可得
，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
此时 .故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中， 为最大角，且 ，则实
数 的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】由于 为最大角，则 的对边最长，则 ，得出 . ，得
，由于 为锐角三角形，则 ， ，则 .
即 ，整理得 ，解得 . 则实数 的最小值是1.故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 是 边上一点，且 ， ，若 是 的中点，
则 ______；若 ，则 的面积的最大值为_________．
【答案】【解析】若 是 的中点，则 ，
在 中，由余弦定理可得
即 ，整理得 ，
即 ，所以
在 中，由余弦定理得
即 ，所以
若 ， ， ，由上述知
作 于点E，由 ，知 ，
作 于点F，
所以 在 边上的高为 ，
所以
因为 ， ， ，所以
由余弦定理得
即
当 时， 有最大值，即 ，则所以
故答案为： ，
6（2022·山东）如图，设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，
且 .若点 是 外一点， ， ，则当 ______时，四边形 的面积的最
大值为____________
【答案】
【解析】 ，
由正弦定理可得 ，
所以， ，
， ，可得 ， ， ，
所以， 为等边三角形，
设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，，
，
所以，四边形 的面积为 ，
， ，
所以，当 时，即当 时，四边形 的面积取最大值 .
故答案为： ； .
7．（2021·上海市进才中学）在锐角 中， ，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】 ，利用余弦定理可得： ，
即 ，
由正弦定理可得： ， ，
即 ，即
又 为锐角三角形， ，即
， ，
又 ，令 ，则
由对勾函数性质知， 在 上单调递增，
又 ， ，
故答案为：
8．（2022·河南）如图所示，在平面四边形 中，已知 ，则
的最大值为_______．
【答案】56
【解析】 中， ，
中，由 得
，
所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为56．
故答案为：56．
9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
△
．
(1)求角A；(2)若 ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
△
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)∵ ，∴
， ，
∵ ，∴ ， ， ；
(2)∵ ，∴ ，∴ ，
∵△ABC是锐角三角形，∴ ，
同理， 根据正弦定理得，
，
﹒
10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 的中点，
若 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由 ，
利用正弦定理可得： ， ，∵ ，∴ ，∴ ；
(2)由D为 的中点，∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，
当且仅当 时， 取最小值 ．
题组三 三角形解的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】BCD
【解析】根据题意，在A条件下 ，因为 ，所以角B在 和
上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于 ，所以A不满足；在B条件下， ， ，
，根据余弦定理可得 ，即 ，解得 或 （舍），所
以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，
，因为 ，所以角A在 和 上各有一个解，当解在
时，角B与角A的和大于 ，所以只有1个解，满足题意，故选：BCD．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选） 中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，
使得 无解的是（ ）
A． ； B． ；C． D． ，
【答案】ABD
【解析】对于A，大边对大角，而a<b，无解；
对于B，由正弦定理得 ，无解；
对于C，由 可得 ，正弦定理求出 ，再由正弦定理或余弦定理可求出 ，有解；
对于 ，由 和 ，通过余弦定理可得 ，与 矛盾，无解.故选：ABD
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则满足条件的 （ ）
A．无解 B．有一个解
C．有两个解 D．不能确定
【答案】C
【解析】因为 ， ，
由正弦定理可得 ， ，所以 ，
因为 为三角形内角，所以 ，因此 或 ，
若 ，则 符合题意；若 ，则 ，符合题意；
因此 有两个解；故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ，若角 有唯一解，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】在 中， ， ，若 有唯一解，则 有唯一解，
设内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，
由 ，则 为一确定的锐角且 ，所以 ，
如图以 为圆心， 为半径画圆弧，当圆弧与边 有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边 相切或与圆弧与边 相交有2个交点，
其中一个交点在线段 的反向延长线上（或在点 处），故 或 ，
由 ，即 ，得 或 ，解得 或 .故选： ．
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知： ， ， ，如果解该三角形有两解，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图： ，因为三角形 有两解，所以 ，所以 ，
所以 ，得 .故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，下列条件使得 无法
唯一确定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：∵ ，∴A=140°，由正弦定理得： ，
∴ ∴ 唯一确定；故A正确.
对于B：∵ ，由余弦定理，可得：
由正弦定理： ，有：
可以求出角A、B，∴ 唯一确定；故B正确.
对于C：∵ 由正弦定理： ，有： ，
∴ ，
∵ ∴ ∴ ,这样的角B有2个，所以 不唯一，故C错误.
对于D：∵
由正弦定理： ，有： ，
∴ ，
∵ ∴ ∴ ,这样的角A有唯一一个，
∴角C唯一，所以 唯一，故D正确.故选：C7．（2022·河南·许昌高中高三开学考试）在三角形ABC中（A点在BC上方），若 ， ，BC
边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下错误的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【解析】作出 外接圆如图所示，
因为 ， 所以 的外接圆半径为
因为 ，所以 ， ，
所以当 时， 最大为3，此时 是唯一的，所以B正确，A正确，
当 时，由圆的对称性可知，此时 ，
所以C错误，D正确，
故选：C
8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，若 有两解，写出a的一个可能的值为__________．
【答案】 （满足 均可，答案不唯一）
【解析】由于满足条件的 有两个，则 ，即 .
故答案为： （满足 均可，答案不唯一）．题组四 几何中的正余弦定理
1．（2022·湖南株洲·一模）如图，在四边形 中， ，且 , ．
(1)求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
从① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】(1) (2)选①时： ;选②时：
【解析】(1)由 ，得 , , ,
在 中，由余弦定理得： , ,
(2)选① 时:由（1）可知 ，
， ，在 中， , ,
;
选② 时: 由（1）可知 ， ，
在 中，由余弦定理得, ,即 ， ，
.
2．（2022·山西）在 中， ， 分别在线段 上，且 ， .(
)
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为28.
【解析】（1）由 可得 .
由余弦定理可得 ，
∴ .∴ ，∴ ，即 ；（2）在 中，由正弦定理可得 ，即 ，故 ，
同理 ， ，
由条件可得 与 的面积之比恰好等于 ，
即 ，即 ，
∴
，
∵ ，∴ ，∴ 的最大值为28.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形 中， ， ， ， ．
(1)若 ，求梯形 的面积；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)设 ，在 中，由余弦定理 得：
，即 ，而x>0，解得 ，
所以 ，则 的面积 ，梯形 中， ， 与 等高，且 ，
所以 的面积 ，则梯形 的面积 ；
(2)在梯形 中，设 ，而 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理 得： ，
在 中，由正弦定理 得： ，
两式相除得： ，
整理得 ，即
解得 或 ，因为 ，则 ，即 ．
4．（2022·云南）如图， ABC中，点D在AB上且满足： ， ．
△
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在题设中，求 ABC的面积
△
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】6.
【解析】在 中，由正弦定理得， ，在 中，由正弦定理得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，则 ，即 是 的角平分线；
， ， ，
在 中，由 及正弦定理得， ，∴ ，即 .
若选①： ．
在 中，由余弦定理得，
，
在 中，由余弦定理得，cosA＝ ，
∴ ＝ ，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
若选②： ．
在 中，设 ，由正弦定理得 ，则 ，
∵ 是 的角平分线，故 ，
在 中，由余弦定理得，
，
解得 ， ，BC＝ ，故 ，∴ ，
则 ．
若选③： ．
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得，
，
解得 ，BC＝ ，
则 ．
5．（2022·山东聊城·一模）如图，在四边形 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求四边形 的面积.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为 ,所以 ，
所以 可化为 ，
由二倍角公式可得：因为BD<AD,所以 ,所以 ，
所以 ,解得 .
(2)
在△ABD中, , ，由余弦定理得：
,即
所以 .
在△BCD中,由正弦定理得 ，所以 .
又因为∠C=2∠CBD,所以 .
又因为 ,所以 ,从而 ，所以 ,.
因此四边形ABCD的面积 .
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求CD的长．
【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由余弦定理， ，则
，
所以 ，又 ，且 ，所以 .
(2)过 作 于 ， ，又 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，故 ，
在 中 ，即 ，
△
所以 ，即CD的长为 .
7．（2022·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．(1)求B；
(2)如图，若D为 外一点，且 ， ， ， ，求AC．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由 ，得 ，
即 ，
由正弦定理，得 ，整理，得 ，
∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ；
(2)连接BD，因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ．在 中，由余弦定理可得
，
所以 ．
8．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形 中， ， ， ，且 ，
．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1) (2)7
【解析】
(1)在 中，
则
，
又在 中， ，故
(2)
设 ， ， ， ，则 ，由 即 可知，
即
在 中， ，
又 ，则有
故
在 中，
即 ，
解之得 ，即 的长为7
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 为 的
角平分线．
(1)求证： ；
(2)若 且 ，求 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由题意可得 ，
因为 为 的角平分线，则 ，
在 中， ，则 ，
同理可得 ，因此 ，故 .
(2)解：设 ，则 ，
因为 ，即 ，
因为 ，则 ，则 ， ，
即 ，可得 ，
由（1）可得 ，则 ，
在 中， ，
整理可得 ，所以， ，
因此， .
10．（2022·甘肃酒泉·高三期中）在四边形 中， ∥ ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在三角形 中，根据余弦定理可得， ， 由题得：
，所以 ，在三角形 中，根据余弦定理可得，
，所以，
(2)
设 ，在三角形 中，根据余弦定理可得， ，在
三角形 中，根据余弦定理可得， ，所以 ，
得： 或 （舍），则
题组五 正余弦定理与平面向量的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）四边形 为梯形，且 ， ， ，点 是
四边形 内及其边界上的点.若 ，则点 的轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，即 .
设向量 与 的夹角为 ，则 ，因为 ，所以 ，
由向量投影定义得，向量 在向量 上的投影为2，
即动点 在过点 且垂直于 的直线上.
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，所以 ；
则 ，所以 .
因为 是四边形 内及其边界上的点，所以点 的轨迹为线段 .
所以点 的轨迹的长度为 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）如图，已知点G为 的重心，点D，E分别为AB，AC上的
点，且D，G，E三点共线， ， ， ， ，记 ， ，四边形BDEC
的面积分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】ABC
【解析】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为 的重心，则M是BC边的中点，且
，
又D，G，E三点共线，即 ，则有 ，
而 ， ，又 ，于是得 ，
而 与 不共线，因此， ， ，A正确；
边AD上的高为 ， 边AB上的高为 ，
则 ，B正确；
由A可知， ，当且仅当 时取“=”，则有 ，
即 ，而 ，于是得 ，C正确，D错误.
故选：ABC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知点G是三角形 的重心，以下结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则三角形 是等腰三角形
C．三角形 的面积等于 ，则D．若 ，则
【答案】AB
【解析】如图，M、N分别为BC、AB的中点，
由重心的性质及向量的运算知， ，故A正确；
因为 为中线，所以 ,由 ，
知 即 ,所以三角形 是等腰三角形，故B正确；
三角形 的面积等于 即 ,解得 ,
所以 ,故C不正确；
由A知 ，
所以 ，故D不正确.
故选：AB
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在 中， ， ，其中 ， 均为边
上的点，分别满足： ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值3B． 面积的最大值为
C． 的取值范围是
D．若 为 中点，则 不可能等于
【答案】ABD
【解析】设 .
对于A:因为 ，所以D为BC的中点.
因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .故A正确；
对于B： ，
又 ，当且仅当“ "时,取“=”
此时 ，
所以 .故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，
所以 .
当 时，D、E重合， 取得最大值3.
可知 为锐角，当 最大锐角时， 最大，但无法取到.故C错误；对于D：若 为 中点，则
.故D正确.
故选：ABD.
5．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在 中，若 ， ，则 面
积的最大值为___________.
【答案】
【解析】由条件可知 ，即 ，
，
因为 ，
即 ，得 ，当且仅当b=c时等号成立
所以 ,
即 面积的最大值为 .
故答案为：
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知 是 的内接正三角形，D是劣弧 的中点，动点E，
F同时从点A出发以相同的速度分别在AB，AC边上运动到B，C．若 的半径为 ，则 的最大
值与最小值之和等于______．
【答案】【解析】
由已知， 的半径为 ， ，由正弦定理可得 ，
连接AD，如图，由条件可知 ， ， ， ．
设 ， ，
∴
，
∴ ．
所以 的最大值与最小值之和等于 ．
故答案为： .
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形 中， ，对角线 相交于 ．
（1）设 ，且 ，
（ⅰ）用向量 表示向量 ；（ⅱ）若 ，记 ，求 的解析式．
（2）在（ⅱ）的条件下，记△ ，△ 的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ） ， ；（2） .
【解析】（1）（ⅰ）因为 ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，
（ⅱ）因为 ， ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
即 ，所以 ，
整理可得： ， 即 ， .
（2）由（1）知： ，由三角形面积公式可得：
，
记 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 的取值范围为 .8．（2022·全国·高三专题练习）三角形ABC中， ，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求 和 ;
（2） 是 延长线上的点， ，当 在 上运动时，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）当 为中点时，设 ，则由余弦定理得
，解得 ，
此时 ，由余弦定理得
，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由 得 ， ，
所以 ，
所以，当 取最小即 时上式最大，此时 ，
所以 ，所以 的最大值为 .
题组六 正余弦定理与其他知识综合运用1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知F，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且 ，
1 2
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ， ，则 ，
因为 ，所以由余弦定理得 ，所以
解得 ，所以 所以 .故选：B
2．（2022·陕西陕西·二模）在 中，三边长组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为 ，则这
个三角形的外接圆的直径为___________.
【答案】
【解析】设三角形 的三边长分别a， ， ，最大角为 ，由已知 ，
∵ ，∴ 或 .
当 时，因为最大角为 ，所以由三角形内角和可知，这样不构成三角形，故舍去；
当 时，由余弦定理可知： .
解得 或 （舍去）.
设外接圆半径为R，则 ，即 ，∴ .故答案为：3．（2021·全国·高三专题练习）设 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上任意一点，
当 取最大值时的余弦值为 ．则（Ⅰ）椭圆的离心率为___；（Ⅱ）若椭圆上存在一点 ，使
( 为坐标原点)，且 ，则 的值为____．
【答案】 或
【解析】设 分别为椭圆的长轴长，虚轴长，
（Ⅰ）在 中， ,
，当且仅当 时，等号成立，即当点 位于短轴端点时，
的余弦值最大， ，即 ，则离心率
（Ⅱ）取 中点 ，由 ，即 ，可得 ，利用中位线性质可得
，设 ， ，则
解得 ，或 ， 或
故答案为： ； 或
4．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知双曲线 的左､右焦点分别为，过点 的直线与双曲线的左右支分别交于A，B两点， ，向量 与向量 的夹角为
，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】设 ，由 ，则 ，由双曲线定义知 ， ，因为向量
与向量 的夹角为 ，所以有 ，在三角形 中，
，即
解得 ，在三角形 中， ，即
，把 代入，化简得 ，即 ，所以椭圆的离心率为 .
故答案为：
5．（2022·甘肃武威）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆
起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，
张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激
扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张
衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地
动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
【答案】
【解析】解：如图，设震源在C处，则 ，则由题意可得 ，根据正弦定理可得 ，又
所以 ，
所以震源在A地正东 处.
故答案为：
6．（2022·重庆一中高三阶段练习）函数 ，点S是f（x）图像上的一个最高
点，点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，且三角形SMN面积的最小值为 .
(1)求函数f（x）的最小正周期；
(2)函数 ，三角形ABC的三边a，b，c满足 ，求g（A）的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为 ，故 ，
故 为偶函数且为周期函数，
令 ，则 即 ，
因为点S是f（x）图像上的一个最高点且 为偶函数且为周期函数，
故不妨设 ，
因为点M，N是f（x）图像上的两个对称中心，故 ，
因为三角形SMN面积的最小值为 ，故 ，故 ，
故 的最小正周期为 .
(2)
由（1）可得 ，
所以 ，
因为 ，故 ，
故 ，而 为三角形内角，故 ，
故 ，所以 ，
故 ，而 ，
故 ，
而 ，
故 即 的取值范围为： .7．（2022·上海·高三专题练习）如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 ， ，
长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区，其中 、 、 分别在 、
、 上．设 ．
（1）若 ，求 的边长；
（2）当 多大时， 的边长最小？并求出最小值．
【答案】（1） 千米；（2）当 时， 的边长取得最小值为 千米.
【解析】（1）设 的边长为 千米，由 得 ， ，
中， ， ，
为等边三角形， ，
故 ，
即 的边长为 ；
（2）设 的边长为 千米，
所以 ， ，
中， ， ， ，
由正弦定理得， ，故 ，
当 时 取得最小值 ，即 的边长最小值 ．
8．（2022·福建·三模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .
(1)求 的大小；
(2) 为 内一点， 的延长线交 于点 ，________，求 的面积.
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题.
① 为 的外心， ；
② 为 的垂心， ；
③ 为 的内心， .
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】(1)在 中，由余弦定理得 ，又因为 ， ，
所以 ，整理得 .
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
即 又因为 ，所以 .
(2)选①，
设 的外接圆半径为 ，则在 中，由正弦定理得 ，即 ，因为
为外心，所以 ，与 盾，故不能选①.
选②，
因为 为 的垂心，所以 ，又 ，所以在 中， ，
同理可得 ，
又因为 ，所以 ，即
，
又因为在 中， ，
所以 ，因此 ，
故 ， 为方程 两根，即 ，
因为 ， ，所以 ，所以 为等边三角形，
所以 .
选③，
因为 为 的内心，所以 ，
由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由（1）可得 ，即 ，所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
