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5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）
题组一 判断三角形额形状
1．（2022·四川省峨眉第二中学校）在 中，已知 ，且 ，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由题意, ,
则 ,
又 ，则 ,
由 可得 ，即 ，
所以 ，由 ，知 ，
综上可知即 的形状是等边三角形.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】因为 ，由正弦定理可得： ，整理可得：
，
即 ，所以 或者 ，所以 或 ，
而当 时则 ，所以三角形 为直角三角形，所以 ，则 中，这时 ，分母为0无意义所以 ，选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则 的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得 ，整理得：
即 ，又因为 ,所以 ,
所以 ，移项得： ,所以三角形一定为直角三角形.故选：B
4．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在 中， ， ， ，则 为
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得 ，即 ，解得 ，又 ，故 或 ，
当 时， ，为直角三角形；当 时， ，为等腰三角形.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
则下列条件能推导出 一定是锐角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于 ，若 ，由余弦定理可知 ，即角 为锐角，不能推出其他
角均为锐角，故错误；对于 ，因为 ，可得 ，可得 ，设 ， ，
， ，可得 为最大边， 为三角形最大角，
根据余弦定理得 ，可得 为锐角，可得 一定是锐角三角形，
故正确；
对于 ，因为 ，可得 ，整理可得
，由正弦定理可得 ，可得 为直角，故错误；
对于 ，因为由于 ，整理得 ，
故 ，
由于 ，故 ，
故 ， ， 均为锐角， 为锐角三角形，故正确．故选：BD．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 .若
， ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，可得 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，所以 ，所以 的形状是正三角形，故选：C.
7．（2022·湖南·长沙一中）（多选）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则符合条件的三角形不存在
D．若 ，则 一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】若 ，则 ，所以由正弦定理可得 ，故A正确；
若 ， ， ，则 ，即 ，所以角 为锐角，即 为锐角三角
形，故B错误；
若 ， ， ，根据正弦定理可得
所以符合条件的三角形不存在，即C正确；
若 ，则 ，即 ,因为 ,所以 或
，即 或 ，所以 为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC
题组二 最值问题
1．（2021·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值
时，四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图：则 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝”，
而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，
四边形ABCD的面积 .
故选：A
2．（2021·全国·高三专题练习（文））在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，
成等差数列， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 中，由 ， ， 成等差，可得 ，
由 ，得 ， ．
由余弦定理 ，可得 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，即
，即 ，解得
所以 的取值范围是 ．
故选：A3．（2022·陕西·武功县普集高级中学）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
的面积为2，则当 取得最小值时 （ ）
A． B． C． D．20
【答案】C
【解析】 ， ，
由正弦定理可得
，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
此时 .故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角 中， 为最大角，且 ，则实
数 的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】由于 为最大角，则 的对边最长，则 ，得出 . ，得
，由于 为锐角三角形，则 ， ，则 .
即 ，整理得 ，解得 . 则实数 的最小值是1.故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中， 是 边上一点，且 ， ，若 是 的中点，
则 ______；若 ，则 的面积的最大值为_________．
【答案】【解析】若 是 的中点，则 ，
在 中，由余弦定理可得
即 ，整理得 ，
即 ，所以
在 中，由余弦定理得
即 ，所以
若 ， ， ，由上述知
作 于点E，由 ，知 ，
作 于点F，
所以 在 边上的高为 ，
所以
因为 ， ， ，所以
由余弦定理得
即
当 时， 有最大值，即 ，则所以
故答案为： ，
6（2022·山东）如图，设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，
且 .若点 是 外一点， ， ，则当 ______时，四边形 的面积的最
大值为____________
【答案】
【解析】 ，
由正弦定理可得 ，
所以， ，
， ，可得 ， ， ，
所以， 为等边三角形，
设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，，
，
所以，四边形 的面积为 ，
， ，
所以，当 时，即当 时，四边形 的面积取最大值 .
故答案为： ； .
7．（2021·上海市进才中学）在锐角 中， ，则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】 ，利用余弦定理可得： ，
即 ，
由正弦定理可得： ， ，
即 ，即
又 为锐角三角形， ，即
， ，
又 ，令 ，则
由对勾函数性质知， 在 上单调递增，
又 ， ，
故答案为：
8．（2022·河南）如图所示，在平面四边形 中，已知 ，则
的最大值为_______．
【答案】56
【解析】 中， ，
中，由 得
，
所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为56．
故答案为：56．
9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
△
．
(1)求角A；(2)若 ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．
△
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)∵ ，∴
， ，
∵ ，∴ ， ， ；
(2)∵ ，∴ ，∴ ，
∵△ABC是锐角三角形，∴ ，
同理， 根据正弦定理得，
，
﹒
10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 的中点，
若 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由 ，
利用正弦定理可得： ， ，∵ ，∴ ，∴ ；
(2)由D为 的中点，∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，
当且仅当 时， 取最小值 ．
题组三 三角形解的个数
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】BCD
【解析】根据题意，在A条件下 ，因为 ，所以角B在 和
上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于 ，所以A不满足；在B条件下， ， ，
，根据余弦定理可得 ，即 ，解得 或 （舍），所
以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，
，因为 ，所以角A在 和 上各有一个解，当解在
时，角B与角A的和大于 ，所以只有1个解，满足题意，故选：BCD．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选） 中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，
使得 无解的是（ ）
A． ； B． ；C． D． ，
【答案】ABD
【解析】对于A，大边对大角，而a0，解得 ，
所以 ，则 的面积 ，梯形 中， ， 与 等高，且 ，
所以 的面积 ，则梯形 的面积 ；
(2)在梯形 中，设 ，而 ，
则 ， ， ， ，
在 中，由正弦定理 得： ，
在 中，由正弦定理 得： ，
两式相除得： ，
整理得 ，即
解得 或 ，因为 ，则 ，即 ．
4．（2022·云南）如图， ABC中，点D在AB上且满足： ， ．
△
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在题设中，求 ABC的面积
△
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】6.
【解析】在 中，由正弦定理得， ，在 中，由正弦定理得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，则 ，即 是 的角平分线；
， ， ，
在 中，由 及正弦定理得， ，∴ ，即 .
若选①： ．
在 中，由余弦定理得，
，
在 中，由余弦定理得，cosA＝ ，
∴ ＝ ，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
若选②： ．
在 中，设 ，由正弦定理得 ，则 ，
∵ 是 的角平分线，故 ，
在 中，由余弦定理得，
，
解得 ， ，BC＝ ，故 ，∴ ，
则 ．
若选③： ．
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得，
，
解得 ，BC＝ ，
则 ．
5．（2022·山东聊城·一模）如图，在四边形 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求四边形 的面积.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为 ,所以 ，
所以 可化为 ，
由二倍角公式可得：因为BD
