曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.4 解三角形
五年高考
考点一 正弦定理、余弦定理
1.(2013湖南,3,5分,基础性)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=√3
b,则角A等于( )
π π π π
A. B. C. D.
12 6 4 3
答案 D
2
2.(2020课标Ⅲ理,7,5分,基础性)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B=( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
答案 A
3. (2019课标Ⅰ文,11,5分,基础性)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a·
1 b
sin A-bsin B=4csin C,cos A=- ,则 =( )
4 c
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A
C √5
4.(2018课标Ⅱ,文7,理6,5分,综合性)在△ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB=( )
2 5
A.4√2B.√30C.√29D.2√5
答案 A
5.(2021全国乙文,15,5分,基础性)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3
,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
答案 2√2
6. (2018课标Ⅰ文,16,5分,综合性)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 .
2√3
答案
3
7. (2022全国乙理,17,12分,综合性)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
25
(2)若a=5,cos A= ,求△ABC的周长.
31
解析 (1)证明:由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),得sin Csin Acos B-sin Csin Bcos
A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,
即sin Csin Acos B+sin Bsin Acos C=2sin Bsin Ccos A,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
由正弦定理可得,accos B+abcos C=2bccos A,
由余弦定理的推论可得,
1 1
(a2+c2−b2)+ (a2+b2-c2)=b2+c2-a2,即2a2=b2+c2.
2 2
50
(2)由题意及余弦定理可得,b2+c2-a2=2bccos A= bc=25,即2bc=31,又由(1)知b2+c2=2a2,所
31
以(b+c)2=2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故△ABC的周长为14.
一题多解 (1)证明:由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),得sin Csin Acos B-sin Ccos A·
sin B=sin Bsin C·cos A-sin B·cos Csin A,即2sin Bsin Ccos A=sin A·(sin Ccos B+
cos C·sin B)=sin Asin(B+C)=sin2A,由正弦定理得2bccos A=a2,由余弦定理的推论得2bc·
b2+c2-a2
=a2,∴2a2=b2+c2.
2bc
8.(2019课标Ⅲ理,18,12分,综合性)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a·sin
A+C
=bsin A.
2
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
A+C A+C
解析 (1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sin =
2 2
sin B.
A+C B
由A+B+C=180°,可得sin =cos ,
2 2
B B B
故cos =2sin cos .
2 2 2
B B 1
因为cos ≠0,故sin = ,因此B=60°.
2 2 2
√3
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S
△ABC
=
4
a.
csin A sin(120°-C) √3 1
由正弦定理得a= = = + .
sinC sinC 2tanC 2
由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.
1
由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故 <a<2,
2
√3 √3
从而 <S < .
8
△ABC
2
因此,△ABC面积的取值范围是(√3
,
√3).
8 2
考点二 解三角形及其综合应用
1
1.(2014课标Ⅱ,4,5分,基础性)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC=√2,则AC=(
2
)
A.5 B.√5 C.2 D.1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 B
2.(2021全国甲文,8,5分,综合性)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC=( )
A.1 B.√2C.√5 D.3
答案 D
3.(2021全国乙理,9,5分,应用性)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著
作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于
水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表
目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )
表高×表距 表高×表距
A. +表高B. -表高
表目距的差 表目距的差
表高×表距 表高×表距
C. +表距D. -表距
表目距的差 表目距的差
答案 A
4. (2017课标Ⅰ文,11,5分,综合性)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+
sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )
π π π π
A. B. C. D.
12 6 4 3
答案 B
5.(2022全国甲,理16,文16,5分,综合性)已知△ABC中,点D在边BC上,
AC
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD= .
AB
答案 √3-1
6.(2021浙江,14,6分,综合性)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2√3,则AC=
,cos∠MAC= .
2√39
答案 2√13;
13
7.(2015湖北,13,5分,综合性)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测
得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏
北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
答案 100√6
8.(2022新高考Ⅰ,18,12分,综合性)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
cosA sin2B
= .
1+sin A 1+cos2B
2π
(1)若C= ,求B;
3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)求a2+b2
的最小值.
c2
cosA sin2B 2sinBcosB
解析 (1)∵ = = ,
1+sinA 1+cos2B 2cos2B
cosA sinB
即 = ,
1+sin A cosB
∴cos Acos B-sin Asin B=sin B,
2π
即cos(A+B)=sin B,又C= ,
3
2π 1
∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos = ,
3 2
π π
∵0<B< ,∴B= .
3 6
(2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,
∵sin B>0恒成立,∴C∈(π
,π
),
2
∵-cos C=sin( π),
C-
2
π π π
∴C- =B或B+C− =π(不合题意,舍去),∴A= -2B,
2 2 2
∵A>0,∴B∈(
0,
π),
4
∴a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+sin2B
= =
c2 sin2C cos2B
=(2cos2B-1)2+(1-cos2B),
cos2B
令cos2B=t,t∈(1
,1
),
2
∴a2+b2
=
(2t-1)2+(1-t)
=4t+
2-5≥4
√2
-5,
c2 t t
2 √2
当且仅当4t= ,即t= 时,取“=”.
t 2
∴a2+b2
-5.
的最小值为4√2
c2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
9.(2022新高考Ⅱ,18,12分,基础性)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c
√3 1
为边长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S .已知S -S +S = ,sin B= .
1 2 3 1 2 3
2 3
(1)求△ABC的面积;
√2
(2)若sin Asin C= ,求b.
3
√3 √3 √3
解析 (1)由题意得S = a2,S2= b2,S3= c2,
1
4 4 4
√3 √3
∴ S -S +S = (a2−b2+c2)= , 即 a 2 -b 2 +c 2 =2 ,
1 2 3
4 2
a2+c2-b2
由cos B= 得a2+c2-b2=2accos B,
2ac
故2accos B=2,∴accos B=1,
1 2√2 2√2
又∵sin B= ,∴cos B= 或cos B=− (舍),
3 3 3
3√2 1 1 3√2 1 √2
∴ac= ,∴S = acsin B= × × = .
4
△ABC
2 2 4 3 8
(2)由正弦定理 a b c b2 ac ,
= = 得 =
sin A sinB sinC sin2B sin AsinC
3√2 √2
又知ac= ,sin Asin C= ,
4 3
∴ b2 9 b 3,
= ,∴ =
sin2B 4 sinB 2
3 3 1 1
∴b= sin B= × = .
2 2 3 2
10.(2020新高考Ⅰ,17,10分,综合性)在①ac=√3,②csin A=3,③c=√3b这三个条件中
任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存
在,说明理由.
π
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=√3sin B,C= ,
6
?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析 方案一:选条件①.
π a2+b2-c2 √3
由C= 和余弦定理得 = .
6 2ab 2
由sin A=√3sin B及正弦定理得=√a3b.
于是3b2+b2-c2 √3,由此可得b=c.
=
2√3b2 2
由①ac=√3,解得a=√3,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
π a2+b2-c2 √3
由C= 和余弦定理得 = .
6 2ab 2
由sin A=√3sin B及正弦定理得=√a3b.
于是3b2+b2-c2 √3 π 2π.
= ,由此可得b=c,B=C= ,A=
2√3b2 2 6 3
由②csin A=3,所以c=b=2√3,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2√3.
方案三:选条件③.
π a2+b2-c2 √3
由C= 和余弦定理得 = .
6 2ab 2
由sin A=√3sin B及正弦定理得=√a3b.
于是3b2+b2-c2 √3 b,与b=c矛盾.因此,选条件③时问题
= ,由此可得b=c.由③c=√3
2√3b2 2
中的三角形不存在.
11.(2020课标Ⅱ文,17,12分,综合性)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2
(π ) 5.
+A +cos A=
2 4
(1)求A;
√3
(2)若b-c= a,证明:△ABC是直角三角形.
3
5 1
解析 (1)由已知得sin2A+cos A= ,即cos2A−cos A+ =0.所以
4 4
( 1) 2 1 π.
cosA- =0,cos A= .由于0<A<π,故A=
2 2 3
(2)证明:由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=
√3 2π (2π ) √3 π 1 √3 1 ( π) 1 2π π
sin A.由(1)知B+C= ,所 以s iBn−sin -B = sin .即 sin B− cos B= ,sin B- = .由于0<B< ,故B=
3 3 3 3 3 2 2 2 3 2 3 2
.从而△ABC是直角三角形.
12.(2021新高考Ⅱ,18,综合性)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
解析 (1)2sin C=3sin A⇒2c=3a,∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,
b2+c2-a2 52+62-42 3 √7
∴cos A= = = ,∴sin A=√1-cos2A= ,∴S =
2bc 2×5×6 4 4
△ABC
1 1 √7 15√7
bcsin A= ×5×6× = .
2 2 4 4
(2)由于c>b>a,故要使△ABC为钝角三角形,只能是C为钝角.
a2+b2-c2
cos C= <0⇒a2+b2<c2 ⇒a2+(a+1)2<(a+2)2 ⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,
2ab曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
又a>0,∴a∈(0,3).
考虑构成△ABC的条件,可得a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.
综上,a∈(1,3).又a为正整数,∴a=2,∴存在a=2,使得△ABC为钝角三角形.
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 正弦定理、余弦定理
1.(2022福建龙岩一模,6)某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中拾到了
三支小树枝(视为三条线段),想要将它们作为三角形的三条高线来制作一个三角形.经测
量,其长度分别为3 cm,4 cm,6 cm,则( )
A.能作出两个锐角三角形
B.能作出一个直角三角形
C.能作出一个钝角三角形
D.不能作出这样的三角形
答案 C
2.(2022湖南三湘名校联盟联考,7)勾股定理被称为几何学的基石,相传在商代由商高发现,
故又称商高定理.汉代数学家赵爽利用弦图(又称赵爽弦图,它由四个全等的直角三角形
和一个小正方形组成,如图1)证明了商高结论的正确性.现将弦图中的四条股延长相同的
长度(如将CA延长至D)得到图2.在图2中,若AD=5,BD=3
,则弦图中小正方形的边长为( )
√10,D,E两点间的距离为√145
图1
图2
√3 2√2
A. B. C.1D.√2
2 3
答案 C
3.(2022江苏泰州兴化4月模拟,14)已知直线y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=9交于A,B两点,则
cos∠ACB的值是 .
