北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.4 解三角形
应用创新题组
1.(2021北京市中关村中学10月月考,5)
如图所示,为了测量某一隧道两侧A、B两地间的距离,某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(△ABC
中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c),然后确定测量方案并测出相关数据进行计算,现给出如下四种测
量方案:①测量∠A,∠C,b;②测量∠A,∠B,∠C;③测量a,b,∠C;④测量∠A,∠B,a.则一定能确定A、B间距离的所
有方案的序号为( )
A.①③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
答案 B ①由∠A,∠C可求得∠B,再根据正弦定理即可求得AB的值;②由三个角无法确定三角形的大小,故
无法计算AB的值;③根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,即可求得AB的值;④由∠A,∠B可求得∠C,再根据正
弦定理即可求得AB的值.综上所述,①③④可以确定A、B间的距离.故选B.
2.(2022届豫东豫北十校联考(二),9 实际生活)2021年第6号台风“烟花”于7月25日12时30分前后登
陆舟山普陀区.如图,A点正北方向的C市受到台风侵袭,一艘船从A点出发前去实施救援,以24 n mile/h的
3
速度向正北航行,在A处看到S岛在船的北偏东15°方向,船航行 h后到达B处,在B处看到S岛
4
在船的北偏东45°方向.此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为( )
A.9√2 n mile
B.9(√2-1)n mile
C.9(√3-1)n mile
D.9(√3-√2)n mile
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3 SB
答案 C 由题意知∠SBA=135°,AB=24× =18,∠ASB=30°,在△ABS中,由正弦定理得 =
4 sin15°
√6-√2
18×
AB AB·sin15° 4
,∴SB= = =9(√6-√2),又船航行过程中到S岛的最近距离为
sin30° sin30° 1
2
△ABS中AB边上的高,设AB边上的高为h,则h=SB·sin(180°-∠ABS)=9(√6-√2)×sin 45°=9(√3-1),即从A
点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为9(√3-1)n mile.故选C.
3.(2021皖南八校联考(一),12 实际生活)如图,地面有四个5G中继站A,B,C,D,已知A,B两个中继站的距离
为√10 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,则C,D两个中继站的距离是( )
A.2√3 km B.2√2 km
C.(√6+√2)km D.(√6-√2)km
DC AC
答案 C 设DC=x km,在△ADC中,易知∠DAC=75°,由正弦定理可得 = ,所以AC=
sin75° sin 60°
sin 60°x 3√2-√6 DC BC
= x km.在△BDC中,易知∠DBC=45°,由正弦定理可得 = ,
sin 75° 2 sin 45° sin 30°
sin 30°x √2
所以BC= = x km.
sin 45° 2
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°,
即10=(3√2-√6 ) 2 +(√2 ) 2 -2×3√2-√6x·√2x·1,解得x= + (舍负),则C,D两个中继站的
x x √6 √2
2 2 2 2 2
距离是(√6+√2)km.故选C.
4. (2020河南新乡调研,15 实际生活)如图,为测量某山峰的高度(即OP的长),选择与O在同一水平面上
的A,B为观测点.在A点测得山顶P的仰角为45°,在B处测得山顶P的仰角为60°.若AB=30米,∠AOB=30°,
则山峰的高为 米.
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答案 30√3
2
解析 设OP=h米,由题意可知OA=h米,OB=√3h米.在△AOB中,由余弦定理可得302=h2+(√3 ) -2h·√3
h
3 3 3
·hcos 30°,解得h=30√3(负根舍去),故山峰的高度为30√3米.
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