文档内容
28.2.2 应用举例 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十八章“锐角三角
函数”28.2.2 应用举例，内容包括：运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题.
2.内容解析
本节课是在学习解直角三角形之后，结合已学过的勾股定理，利用解直角三角形解测量高度、仰角、
俯角、坡度、方位角等问题，旨在进一步梳理解直角三角形的方法，并通过例题展示利用解直角三角形知
识解决与直角三角形有关的一些边角计算问题.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图
形计算问题.
二、目标和目标解析
1.目标
1）熟练掌握解直角三角形的方法；
2) 能灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：将实际问题转化为数学问题，并能根据直角三角形中的已知条件，合理选择
关系式，迅速准确求出未知元素.
达成目标2）的标志是：灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题.
三、教学问题诊断分析
在一些几何图形中，往往不是单一的直角三角形，而是不规则的图形，有时题干所给的已知条件也不
是直角三角形中的边或角，学生在解决这些问题时不太容易.
基于以上分析，本节课的教学难点是：运用转化的思想把不规则的图形转化为直角三角形.
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问】在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：
2）三边之间的关系：
3）两锐角之间的关系：
4）边角之间的关系：
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来学习运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有
关的图形计算问题的相关知识打好基础．
（二）探究新知
【情景一】2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功
实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面 343km的圆形轨道上运行．如图，
当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位
置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）
师生活动：教师提示学生：组合体中能直接看到地球表面最远点，是视线与地球相切时的
切点.通过多媒体展示的若干问题，尝试引导学生将实际问题转化为数学问题，并利用相关知
识求解.
1）记飞船为点A，以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O.
2）最远点Q与⊙O的关系_______，AQ与⊙O的关系_______，
3）求PQ之间的距离就是求____________;
4）AO、OQ和∠POQ之间的夹角是____________;
5）假设∠POQ=α，利用弧长公式， ⏜ 之间的距离为____________;
PQ
师：请写出具体的求解过程.
师生活动：学生自行完成求解过程，教师巡视，针对不能自行完成的学生，适当给出提示.最后由多
媒体展示答案.
【设计意图】将实际问题转化为数学问题，激发学生学习数学的兴趣.
【问题一】通过自学，你知道仰角与俯角的定义吗？
师生活动：学生回答问题.教师通过多媒体展示仰角与俯角的定义，并强调：仰角与俯角都是视线与
水平线的夹角.
【问题二】如图，BCA=DEB=90，FB // AC // DE，
1）从A看B的仰角是______；
2）从B看A的俯角是 ；
3）从B看D的俯角是 ；
4）从D看B的仰角是 ；
师生活动：学生回答问题.考查学生对仰角与俯角概念的理解.引发后续的
学习内容
【设计意图】考查学生对仰角与俯角概念的理解.
【情景二】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确
到0.1m）.
【问题三】根据题干内容，你知道ɑ、 β的度数吗？
【问题四】你能将本题转化为数学问题求解吗？并简述过程？
师生活动：由小组为单位，讨论运用数学语言描述本题，并给出求解过程.鼓励学生积极发言，教师
负责引导与补充.
师：请写出具体的求解过程.
师生活动：学生自行完成求解过程，教师巡视，针对不能自行完成的学生，适当给出提示.最后由多
媒体展示答案.
【问题五】简述利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤？
师生活动：学生回答问题.教师引导、归纳、总结，最后得出：
1.将实际问题抽象为数学问题. 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
【设计意图】通过自主探究过程，引导学生归纳得出利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤.
（三）典例分析与针对训练
【例1】如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C的仰角为
31°，再向东继续航行60m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算这座
灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60
【针对训练】
1．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑
物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组
同学，计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据❑√3≈1.73）2．如图，山上有一铁塔AB高40m．山前有一建筑物CD，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E
点测得塔顶A的仰角为60°，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为45°，已知
EF=20m，求小山BG的高（精确到1m，参考数值：❑√3=1.732)．
3．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿
AC方向前进48m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔ED的高度．
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（结果保留根号sin37°≈ ,cos37°≈ ,tan37≈ ）
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（四）探究新知
【问题六】回顾之前所学知识，简述方位角的概念？
师生活动：学生回答问题.
【问题七】你知道点A、点B在方位角的位置吗？师生活动：学生回答问题.
【情景三】如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的
A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，
这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
师生活动：学生通过计算给出答案，教师通过多媒体展示具体求解过程.
【设计意图】考查学生对方位角概念的理解.
（五）典例分析与针对训练
【例2】如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航
行了12km达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是
．
【针对训练】
1. 某地修建了一座以“讲好家乡故事，厚植种子情怀”为主题的半径为900m的圆形纪念园．如图，
纪念园中心A位于C村西南方向和B村南偏东61°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.8km．有关
部门计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说
明．（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80，❑√2≈1.41）（六）探究新知
【问题七】通过自学，你知道坡度的定义吗？
师生活动：学生回答问题.
【情景四】如图，某河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝
1∶1.5，则坝底AD的长度为_____________？
师生活动：学生回答问题.
【情景五】如图，已知梯形ABCD是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽AD=6米，坝高18米，
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迎水坡CD的坡度i =1:1，背水坡AB的坡度i = ，求坝底宽BC．
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师生活动：学生通过计算给出答案，教师通过多媒体展示具体求解过程.
【设计意图】考查学生对坡度概念的理解.
（七）典例分析【例3】某人沿着坡度为1:❑√3的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（ ）
100❑√5
A．100米 B．50❑√5米 C．50米 D．
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【针对训练】
1．如图，人爬坡时，坡面与水平面的夹角为α，每爬1m坡耗能(1.025−cosα)J，若某人爬完一个高
度为20❑√2m的斜坡，坡角α=45°，则他大约耗能（ ）（参考数据：❑√3≈1.732,❑√2≈1.414）
A．12.72J B．10.72J
C．8.99J D．4.50J
2．如图，一段河堤的斜坡BC=10m，为了加固河堤，需要将堤坝加厚．竣工后，斜坡的坡度由原来
的1:2变成1:3，加固后斜坡AD的长是多少？（结果保留根号）
（八）直击中考
1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性
文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=60°，
∠ADB=30°，CD=17.5m，则线段AB的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：
❑√3≈1.7）2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m，从楼顶A处测得另一
座大厦顶部C的仰角α是45°，而大厦底部D的俯角β是37°．
(1)求两楼之间的距离BD．
(2)求大厦的高度CD．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（九）归纳小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤？
（十）布置作业
P77：习题28.2 第3题、第4题、第5题、第7题
