28.2.1解直角三角形（导学案）-（人教版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_导学案

28.2.1 解直角三角形 导学案 学习目标 1 理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. 2 能综合运用勾股定理、直角三角形两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 重点难点突破 ★知识点1： 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B 2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理） 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° 4）边角之间的关系： ∠A所对的边 a ∠B所对的边 sin A= = ，sin B= = 斜边 c 斜边 b c ∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a cos A= = ，cosB= = 斜边 c 斜边 c ∠A所对的边 a ∠B所对的边 b tan A= = ，tanB= = 邻边 b 邻边 a ★知识点2： 解直角三角形常见类型及方法：核心知识 一、在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：______________，角：______________ 2）三边之间的关系：____________________________ 3）两锐角之间的关系：____________________________ 4）边角之间的关系： sin A= ______________ ，sin B= ______________ cos A= ______________ ，cos B= ______________ tan A= ______________ ，tan B= ______________ 二、解直角三角形常见类型及方法：复习巩固 【提问】根据之前所学知识，回答下面问题： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90，则 1）三边之间的关系:a2+b2=_____； 2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____ 3）边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. 新知探究 【情景引入】如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂 线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根据以上条件可以求出塔身中心线与 垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ 【提问】在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢？ 【问题一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC ? 【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC ?【问题三】由此你发现了什么？ 【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB ? 【问题五】由此你发现了什么？ 【问题六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通过已知条件求出AC,BC,AB吗? 【问题七】由此你发现了什么？ 【小结】 1)一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即_____条边和_____个锐角，只要知道其中的_____ 个元素（____________________），就可以求出其余的_______________个未知元素. 2) 由直角三角形中的已知元素，求出其余_______________的过程，叫解直角三角形. 3)在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： ①直角三角形的五个元素： ②三边之间的关系： ③两锐角之间的关系： ④边角之间的关系： 4） 解直角三角形常见类型及方法：典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√2，BC=❑√6 ，解这个直角三角形. 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一 位). 【针对训练】5 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，tanA= ．求AC、AB的长． 12 2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°，求AB和AC的长； （2）在△ABC中，∠C=90°，a=2❑√3，b=2，解这个直角三角形． 4 3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA= ，求BD的长． 5 2 4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在边BC上，BD=2CD，且tan∠CAD= ．求cosB 3 的值． 3 例3 如图，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB= ，求BC的长． 5 【针对训练】 1．如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来 的位置A处）所爬行的最短距离．2.如图在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC边的长度． 能力提升 1 3 1. 如图，在△ABC中，BC=2，tanB= ，点D是BC延长线上一点，tan∠ACD= ． 2 4 1)求点A到BD的距离；2)求sinA的值． 感受中考 1．（2023·重庆·中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°， AB=2❑√3，BC=3，则OC的长度是（ ） A．3 B．2❑√3 C．❑√13 D．6 2．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2❑√3，则OC=（ ） A．1 B．2 C．2❑√3 D．4 课堂小结 1. 通过本节课的学习,你学会了哪些知识？ 2. 简述直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系？ 3. 简述解直角三角形的解题思路？ 【参考答案】 新知探究 【情景引入】如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂 线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m.根据以上条件可以求出塔身中心线与 垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ B5C.2 sAin 0.0954 A5B.54 利用计算器可得∠A≈5°28' . 【提问】在直角三角形中知道几个条件可以求解其它未知量呢？ 只要知道其中的2个元素（至少有1个是边） 【问题一】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，求∠B,AC,BC ?∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6 ∴∠B=60°，BC=3 由勾股定理得AC= =3 ❑√AB2−BC2 ❑√3 【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6，求∠B,AB,BC ? ∵∠C=90°，∠A=22.5°，AC=6 ∴∠B=67.5° AC BC ∴在Rt△ABC中，cosA= , tanA= , AB AC AC 6 则AB= = ≈6.52 cos22.5° 0.92 BC=AC•tan22.5°=6×0.41=2.46 【问题三】由此你发现了什么？ 在直角三角形中，已知一个锐角和任意一条边长，可以求出另一个锐角和其它两条边长. 【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求∠A,∠B,AB ? BC 4 [提示]根据已知信息可知AB=5，所以SinA= = , AB 5 由此可以通过计算器求出∠A，进而求出∠B 【问题五】由此你发现了什么？ 在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出另一条边长和其它两个锐角的度数. 【问题六】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，可以通过已知条件求出AC,BC,AB吗? 不能 【问题七】由此你发现了什么？ 在直角三角形中，已知两个锐角度数，无法求出三条边长. 【小结】 1) 一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角，只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 2) 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形. 3)在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： ①直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B ②三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理） ③两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° ④边角之间的关系： sin A= (∠A所对的边)/斜边 = a/c，sin B= (∠B所对的边)/斜边 = b/c cos A= (∠A所邻的边)/斜边 = b/c，cos B= (∠B所邻的边)/斜边 = a/c tan A= (∠A所对的边)/邻边 = a/b，tan B= (∠B所对的边)/邻边 = b/a 4） 解直角三角形常见类型及方法：典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=❑√2，BC=❑√6 ，解这个直角三角形. BC ❑√6 解：∵tan A= = =❑√3 AC ❑√2 ∴ ∠A = 60° ∴ ∠B = 90°-∠A= 90°-60°=30° ∴ AB = 2AC =2 ❑√2 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一 位). 解：∵∠A = 90°-∠B= 90°-35°=55° AC 20 20 20 ∵tanB= = ∴ BC= = ≈28.6 BC BC tanB tan35° AC 20 20 20 ∵sinB= = ∴ AB= = ≈34.9 AB AB sinB sin35° 【针对训练】 5 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，tanA= ．求AC、AB的长． 12 BC 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA= ， AC5 5 10 ∵BC=10，tan A= ，∴ = ， 12 12 AC ∴AC=24， ∴ ． AB=❑√AC2+BC2=❑√242+102=26 2.（1）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠B=45°，求AB和AC的长； （2）在△ABC中，∠C=90°，a=2❑√3，b=2，解这个直角三角形． AC AC （1）解：∵在Rt△ABC中，tanB= ，即tan45= =1，∴AC=3， BC 3 ∴ ， AB=❑√AC2+BC2=❑√32+32=3❑√2 ∴AB=3❑√2，AC=3； （2）解：在 中，由勾股定理可知： ， Rt△ABC c=❑√a2+b2=4 a 2❑√3 ❑√3 ∵sinA= = = ，∴∠A=60°，∠B=90°−60°=30° c 4 2 4 3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4，cosA= ，求BD的长． 5 4 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA= ， 5 AC ∴AB= =5， cosA ， ∴BC=❑√AB2−AC2=❑√52−42=3 ∵∠DBC=∠A， BC 4 ∴cos∠DBC=cos∠A= = ， BD 5 5 15 ∴BD= BC= ， 4 4 15 ∴BD的长度为 ． 4 2 4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在边BC上，BD=2CD，且tan∠CAD= ．求cosB 3 的值．解：在Rt△ACD中，∠C=90°， 2 2 ∵tan∠CAD= ，AC=3，∴CD=AC⋅tan∠CAD=3× =2， 3 3 ∵BD=2CD，∴BC=3CD=6， 在Rt△ABC中，∠C=90° 根据勾股定理可得： ， AB=❑√BC2+AC2=❑√62+32=3❑√5 BC 6 2❑√5 ∴cosB= = = AB 3❑√5 5 3 例3 如图，在△ABC中，AB=10，∠C=45°，sinB= ，求BC的长． 5 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D 3 ∵在Rt△ABD中，sinB= ，AB=10 5 AD 3 ∴sinB= = ∴AD=6 AB 5 ∴ BD=❑√AB2−AD2=8 在Rt△ADC中，AD=6，∠C=45° ∴AD=DC=6，∴BC=BD+CD=14 【针对训练】 1．如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来 的位置A处）所爬行的最短距离．解：圆锥的侧面展开如图：过S作SC⊥AB，则AC=BC， nπ×30 设∠ASB=n°，即： 2π⋅10= ，解得：n=120， 180 ❑√3 ∴∠ASC=60°，∴AC=AS×sin∠ASC=30× =15❑√3cm， 2 ∴AB=2AC=30❑√3cm， 即爬行的最短距离为30❑√3cm． 2.如图在ΔABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC边的长度． 解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D． ∵∠B=45°，∠BAC=15°，∠ADC=90°， ∴∠DCA=60°，∠BAD=45°． CD 1 在RtΔACD中，∵cos∠DCA= =cos60°= ， AC 2 AD ❑√3 sin∠DCA= =sin60°= ，AC=10， AC 2 ∴CD=5，AD=5❑√3． 在RtΔABD中，∵∠BAD=∠B，∴BD=AD=5❑√3． ∴BC=BD−CD=(5❑√3−5)cm． 能力提升 1 3 1. 如图，在△ABC中，BC=2，tanB= ，点D是BC延长线上一点，tan∠ACD= ． 2 4 1)求点A到BD的距离；2)求sinA的值．1）解：作AE⊥BD于点E，设AE=3x， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， AE 1 ∵tanB= = ，∴BE=2AE=6x， BE 2 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， AE 3 4 ∵tan∠ACE= = ，∴CE= AE=4x． CE 4 3 ∵BC=BE−CE，∴2=6x−4x， ∴x=1，∴AE=3； 即点A到BD的距离为3； 作CF⊥AB于点F， 由（1）可得BE=2AE=6x=6，CE=4x=4， 在 中， ， Rt△ABE AB=❑√AE2+BE2=❑√32+62=3❑√5 在 中， ， Rt△ACE AC=❑√AE2+CE2=❑√32+42=5 1 1 ∵S = BC⋅AE= AB⋅CF， △ABC 2 2 1 1 2 ∴ ×2×3= ×3❑√5CF，∴CF= ❑√5， 2 2 5 2 ❑√5 在Rt△ACF中，∠AFC=90°，则 CF 5 2 ． sin∠BAC= = = ❑√5 AC 5 25 感受中考 1．（2023·重庆·中考真题）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°， AB=2❑√3，BC=3，则OC的长度是（ C ） A．3 B．2❑√3 C．❑√13 D．62．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2❑√3，则OC= （ B ） A．1 B．2 C．2❑√3 D．4