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28.2.1 解直角三角形 分层作业
基础训练
1．（2022·陕西·统考中考真题）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长
为（ ）
A．3❑√2 B．3❑√5 C．3❑√7 D．6❑√2
【答案】D
【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中应用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵直角△ADC中，tan∠C=2，
∴AD=CD⋅tan∠C=3×2=6，
∴直角 中，由勾股定理可得， ．
△ABD AB=❑√AD2+BD2=❑√62+62=6❑√2
故选D．
【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的
关键．
2．（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，
AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对
应直尺的刻度为0，则四边形ACC' A'的面积是（ ）
A．96 B．96❑√3 C．192 D．160❑√3
【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC' A'的面积为
A A' ⋅ACsin60°=2ABsin60°⋅A A'，即可求解．
【详解】解：依题意ACC' A'为平行四边形，
∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，A A'=12．
∴AC=2AB
❑√3
∴平行四边形ACC' A'的面积=A A' ⋅ACsin60°=2ABsin60°⋅A A'=2×8×12× =96❑√3
2
故选B
【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
3．（2020·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在△ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为
（ ）
❑√5
A．❑√2 B． C．❑√5 D．2
2
【答案】B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后
在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
AH 1
由sin∠B= = ，且AB=3可知，AH=1，
AB 3
AH 1
由tan∠C= =2，且AH=1可知，CH= ，
CH 2
√ 1 ❑√5
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=❑√AH2+CH2=❑12+( ) 2= ．
2 2
故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造
直角三角形进而求解．
4.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则tanB的值是（ ）
❑√21 5❑√7 ❑√21 ❑√3
A． B． C． D．
14 14 7 5
【答案】D
【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延
长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．
【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，
在Rt△ACD中，AC=2，
1
∴AD=ACcos60°=2× =1，
2
❑√3
CD=ACsin60°=2× = ，
2
∵AB=4，
∴BD=AB+AD=4+1=5，
CD ❑√3
∴tanB= = ，
BD 5
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
5.（2021·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若
点B的坐标为(−1,0)，∠BCD=120°，则点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
(2,2) (❑√3,2) (3,❑√3) (2,❑√3)
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，∠BCD=120°，
可得∠ABC=60°，在Rt△ABO中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可
求得D点的坐标．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，
∵B(−1,0)，
∴BO=1，
∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，∠DCE=60°，
在Rt△ABO中，
BO 1 AO
cos60°= = ，tan60°= =❑√3，
AB 2 BO
∴AB=2，AO=❑√3，
∴菱形ABCD边长为2，OC=1，
∴AD=2，DE=AO=❑√3
点D坐标为： ，
(2,❑√3)
故选：D．
【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质．
6．（2022·陕西西安·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，
若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝ ，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．6 C．12 D．8
【答案】D
【分析】解直角三角形ABO求出BO，利用勾股定理求出AB，由菱形四条边长相等即可求出周长．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
AO
在RtΔAOB中，tan∠ABO＝ =❑√3，
BO
AO 3
∴BO= = =❑√3，
❑√3 ❑√3
∴ ，
AB=❑√AO2+BO2=❑√32+(❑√3) 2=2❑√3
∴菱形ABCD的周长=4AB=8❑√3．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理和菱形的性质，坐标与图形，难度较小，熟练利用锐角三角函
数解直角三角形是解题的关键．
7．（2022·吉林长春·统考一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC=12，BD=16，∠ABD=α．下列结
论正确的是（ ）
4 4 3 3
A．sinα= B．tanα= C．cosα= D．tanα=
5 3 5 4【答案】D
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD， ，BO=DO=8，由勾股定理求出AB=10，根据锐
角三角函数的定义可得出答案．
【详解】解：如图，AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
， ，BO=DO=8，
，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√62+82=10
， ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．
❑√3
8．（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=2❑√3，tanB= ，则
2
的长为（ ）
AB
A．2+2❑√3 B．3+❑√3 C．4 D．5
【答案】D
CD ❑√3
【分析】作CD⊥AB于D，根据∠A=30°，AC=2❑√3，算出CD和AD，再根据tanB= = ，算
BD 2
出BD，最后根据AB=AD+BD计算即可．
【详解】如下图，作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2❑√3，
1
∴CD= AC=❑√3，AD=❑√3CD=3，
2
CD ❑√3
在Rt△BCD中，tanB= = ，
BD 2
❑√3 ❑√3
∴ = ，
BD 2
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，
另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为
．
2❑√3
【答案】
3
❑√3
【分析】先求解AB=❑√3,AD= , 再利用线段的和差可得答案．
3
【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15−12=3,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
BC 3
∴AB= = =❑√3,
tan60° ❑√3DE 1 ❑√3
同理：AD= = = ,
tan60° ❑√3 3
❑√3 2❑√3
∴BD=AB−AD=❑√3− = ,
3 3
2❑√3
故答案为：
3
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边
长”是解本题的关键．
10．（2019·广西柳州·统考中考真题）如图，在ΔABC 中， ， ， ，则 AC 的长为
．
【答案】
【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角
形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】解：过A作AD⊥BC，
RtΔABD
在 中， ， ，
∴ ，
在
RtΔACD中，
，
∴
，即CD=❑√2，
根据勾股定理得： ，
故答案为： ．．
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的
性质是解本题的关键．
11．（2013上·北京·九年级北京四中统考期中）已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC
4
的中点，BC＝14，AD＝12，sinB= ．求：
5
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
【答案】(1)5；
12
(2) ．
5
【分析】（1）根据 ，求出AB，再求出BD即可解答；
（2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则tan∠EDC＝tan∠C，即可求解．
【详解】（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
AD 4
∴ = ．
AB 5
∵AD＝12，
5
∴AB= AD=15．
4
在Rt△ABD中，∵ ，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
AD 12
∴tan∠EDC＝tan∠C＝ = ．
CD 5
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性
质．
❑√2
12．（2022上·河北廊坊·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sinC= ，
2
1
tanB= ，AD=2．
2
(1)求cos∠BAD的值；
(2)求△ABC的面积．
❑√5
【答案】(1)
5
(2)6
AD 1
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据tanB= = ，可得BD=4，再由勾股定理可得AB=2❑√5，即可
BD 2
求解；
❑√2
（2）根据sinC= ，可得∠C=45°，从而得到CD=2，进而得到BC=BD+CD=6，再由三角形面积
2
公式，即可求解．
AD 1
【详解】（1）解：∵在Rt△ABD中，tanB= = ，AD=2，
BD 2
∴BD=4．
∴ ，
AD ❑√5
∴cos∠BAD= = ；
AB 5❑√2
（2）解：∵sinC= ，
2
∴∠C=45°．
AD
∵tanC= =1，AD=2，
CD
∴CD=2，
∴BC=BD+CD=6，
1
∴S = ×AD×BC=6．
△ABC 2
【点睛】本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属
于中考常考题型．
13．（2023上·河南漯河·九年级漯河市实验中学校考期末）如图，△ABC中，∠A，∠B是锐角，且
3
sin A= ，tanB=2，AB=22，求△ABC的面积．
5
【答案】132
【分析】根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式
求解．
【详解】过点C作CD⊥AB
如图：
3
∵sin A= ，
5
CD 3
∴ = ，
AD 4
4
∴AD= CD，
3
∵tanB=2，CD
∴ =2，
BD
1
∴BD= CD，
2
又∵AB=22，
4 1
∴ CD+ CD=22，
3 2
∴CD=12，
1
∴S = ×CD×AB=132．
△ABC 2
【点睛】本题考查了解直角三角形，解此题的关键是进行合理的推断得出三角形为直角三角形．
能力提升
1．（2022上·安徽宿州·九年级统考期中）在△ABC中，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，AD=6❑√3，
，则 的长为（ ）
CD=1 BC
A．5 B．7 C．5或7 D．3❑√3+1
【答案】C
【分析】在Rt△ADB中，根据∠ABC=60°，AD=6❑√3，求得BD=6，然后分情况讨论即可求得BC的
长．
【详解】解：在Rt△ADB中，∠ABC=60°，AD=6❑√3
AD 6❑√3
∴BD= = =6
tan60∘ ❑√3
如图，当点C在点D右边时
BC=BD+DC=6+1=7
如图，当点C在点D左边时BC=BD−CD=6−1=5
故BC的长为5或7
故选：C
【点睛】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）在△ABC中，AB=3❑√6，AC=6，∠B=45∘，则BC=
．
【答案】3❑√3+3或3❑√3−3
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
AB 3❑√6
∴AH=BH= = =3❑√3,
❑√2 ❑√2
在Rt△ACH中，由勾股定理可知： ，
CH=❑√AC2−AH2=❑√36−27=3
∴BC=BH+CH=3❑√3+3．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
AB 3❑√6
由情况一知：AH=BH= = =3❑√3，CH=❑√AC2−AH2=❑√36−27=3，
❑√2 ❑√2
∴BC=BH−CH=3❑√3−3．
故答案为：3❑√3+3或3❑√3−3．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形
或钝角三角形分类讨论．
3．（2023上·江苏徐州·九年级统考期末）如图，在 中，已知 是BC边上的高， ，
ΔABC AD
tanB=cos∠DAC，则AB的值为 ．
【答案】❑√7
AD BC ∠ADB=∠ADC=90° tanB=cos∠DAC
【分析】由 是 边上的高，可以得到 ，由 得 ，
求出AD的长，从而可以得到AB的长．
【详解】解：∵在ΔABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴ ．
AC=❑√AD2+CD2
∵tanB=cos∠DAC，
∴ ，
∵ ，
∴AD AD ，
=
2 ❑√AD2+12
解得，AD=❑√3，
∴ ，
故答案为：❑√7．
【点睛】本题考查解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是由三角函数的定义得到 ．
4
4．（2021·上海·统考中考真题）已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4，cos∠ABC= ， 为
5
AD边上的中线．（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
3
【答案】（1）AC=6；（2）
10
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
4
【详解】（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC=
5
BC 4
∴cos∠ABC= =
AB 5
∴AB=10
∴ = ；
AC ❑√AB2−BC2=6
（2）过点F作FG⊥BD，
∵BF为AD边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，AC⊥BD
∴FG//AC
∴FG是△ACD的中位线
1
∴FG= AC=3
2
1
CG= CD=2
2
FG 3 3
∴在Rt△BFG中，tan∠FBD = = = ．
BG 8+2 10【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
1
5．（2022上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，sinB= ，
2
1
tanC= ，求△ABC的面积．
3
27+9❑√3
【答案】
2
AD 1 AD 1
【分析】过点A作AD⊥CB于点D，利用sinB= = ，tanC= = ，勾股定理
AB 2 DC 3
，结合三角形面积公式计算即可．
BD=❑√AB2−AD2
【详解】如图，过点A作AD⊥CB于点D，
AD 1
因为sinB= = ，AB=6，
AB 2
1 1
所以AD= AB= ×6=3，
2 2
所以 = ；
BD=❑√AB2−AD2 ❑√62−32=3❑√3
AD 1
因为tanC= = ，AD=3，
DC 3
所以DC=3AD=9，
1 1 27+9❑√3
所以△ABC的面积为： BC×AD= ×3×(9+3❑√3) = ．
2 2 2【点睛】本题考考查了化斜为直解直角三角形，勾股定理，熟练掌握解直角的基本方法，灵活选择三角函
数是解题的关键．
拔高拓展
1．（2021·四川广元·统考一模）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算
AC 1
tan15°时，如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，连接AD，得∠D＝15°，CD＝2+❑√3＝ ＝2﹣
．类比这种方法得tan22.5°= ．
【答案】❑√2﹣1/−1+❑√2
【分析】在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，
求出CD，可得结论．
【详解】解：如图，在等腰直角△ABC中，延长CB至点D，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∵∠BAD＝∠D，
∴∠D＝∠BAD＝22.5°，
∴AB=BD，
设AC＝1，则BC＝1，AB= BD= ❑√2 ，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+❑√2，
∴tan22.5°＝tanD＝AC＝ 1 ＝ 1−❑√2 ＝ ﹣1．
❑√2
CD 1+❑√2 (1+❑√2)(1−❑√2)故答案为：❑√2﹣1．
【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是
学会利用特殊直角三角形解决问题．
