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5.3 平面向量的应用（精练）（基础版）
题组一 证线段垂直
1．（2022·全国·高一课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，
DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则 AMN的形状是( )
△
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】∵
.∴ ，∴ 是直角三角形.故选：C.
2．（2022·新疆）在△ABC中，若 ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】 ， ，
则 ，
， ，则△ABC为直角三角形.故选：B.
3．（2021·浙江）在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B
【解析】取 中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 的是等腰三角形．故选：B．
4．（2022·黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【答案】证明见解析
【解析】∵ · ＝ · ＝ 2－ 2 ，而
，∴ · ＝0，∴ ⊥ ，即DE⊥AF.
5．（2022·湖南）如图所示，在等腰直角三角形ACB中， ， ，D为BC的中点，E是
AB上的一点，且 ，求证： .
【答案】证明见解析【解析】
因为 ，所以 ，即 ，故 .
6．（2022·浙江）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
【答案】证明见解析
【解析】设 = ， = ， = ， = ， = ，
则 = + ， = + ，
所以 2﹣ 2=( + )2-( + )2= 2+2e· -2 · - 2，
由条件知： 2= 2﹣ 2+ 2，
所以 · = · ，即 ·( - )=0，
即 ，
所以AD⊥BC.
7．（2022·浙江）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，BD，AC相交于点O，
M为BO中点．设向量 ， ．（1）求 的值；
（2）用 ， 表示 和 ；
（3）证明： ．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）证明见解析
【解析】（1）
（2）
又 为 中点
（3） 又
所以
题组二 夹角问题
1．（2022·云南） 中，若 ， ，点 满足 ，直线 与直线
相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以 点为原点， 为 轴构建直角坐标系，因为 ， ，所以 ， ， ，
设 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ， ， ，
因为 ， 、 、 三点共线，所以 ，
联立 ，解得 ， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2022·江西）已知菱形 中， ， ，点 为 上一点，且 ，则 的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】设 与 交于点 ，以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 ， 轴建立平面直角坐
标系如图所示，则点 ， ， ，
∴ ， ，则 ，
故选：D.
3．（2022·江苏）（多选）已知向量 ，记向量 的夹角为 ，则（ ）
A． 时 为锐角 B． 时 为钝角
C． 时 为直角 D． 时 为平角
【答案】ACD
【解析】A. 当 时， ，所以 为锐角，故正确；
B. 当 时， ，所以 为钝角或平角，故错误；
C. 当 时， ，所以 为直角，故正确；D. 时， ，所以 为平角，故正确.故选：ACD
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若向量 与
的夹角是锐角，则实数入的取值范围是：______．
【答案】
【解析】 与 夹角为锐角时，
；解得 ；
当 时， 与 分别为 与 同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数 的取值范围为 .故答案为： .
5．（2022·四川省平昌中学）已知 ，且 的夹角为钝角，则实数 的范围_______
【答案】
【解析】由于 与 的夹角 为钝角，则 且 与 不共线，
， ， ，解得 且 ，
因此，实数 的取值范围是 且 ，故答案为： 且 .
6．（2022·全国·期末）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形
（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知 分米， 分
米，点 在正方形 的四条边上运动，当 取得最大值时， 与 夹角的余弦值为
___________.【答案】
【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
则 ， ， ， ，
设 ， ， ，
当 时， ， ，当且仅当 时等号成立，
当 时， ， ，当且仅当 时等号成立，
当 时， ， ，当且仅当 时等号成立，
当 时， ， ，当且仅当 时等号成立，
由以上可知，当 时， 取得最大值 ，此时 ， ，设 与 的夹角为 ，则 .故答案为：
7（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知 ， ， 均为单位向量，且 ，则 与 夹角的余弦
值为______．
【答案】
【解析】由题意得： ，即
， ， 均为单位向量
，即 故答案为：
8．（2022·安徽·池州市第一中学）如图，在 中，已知 ， ， ， ，
，线段AM，BN相交于点P，则 的余弦值为___________.
【答案】
【解析】由已知， ， ， ，得 ，
又由 得 ，
因为 ，
所以
所以故答案为：
9．（2021·湖南）已知平面四边形 中， ， ， ， ， ，
则 _______.
【答案】
【解析】如图以 为原点建立直角坐标系，
则 ，设 ，
∴ ，由 知 ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴ ，
∴ .故答案为： .
10．（2022·湖北）已知 ＝(1，2)， ＝(1， )，分别确定实数 的取值范围，使得：
（1） 与 的夹角为直角；
（2） 与 的夹角为钝角；
（3） 与 的夹角为锐角．
【答案】（1） ＝－ ；（2） ；（3） ∪(2，＋∞)．
【解析】设 与 的夹角为 ，则 ＝(1，2)·(1， )＝1＋2 ．
（1）因为 与 的夹角为直角，所以 ，
所以 ，所以1＋2 ＝0，所以 ＝－ ．
（2）因为 与 的夹角为钝角，所以 且 ，所以 且 与 不反向．
由 得1＋2 <0，故 <－ ，由 与 共线得 ＝2，故 与 不可能反向．
所以 的取值范围为 ．
（3）因为 与 的夹角为锐角，所以 ，且 ，所以 >0且 与 不同向．
由 >0，得 >－ ，由 与 同向得 ＝2．所以 的取值范围为 ∪(2，＋∞)．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足 ，且 · ＝3， 与 的夹
角为θ.求 与 夹角的取值范围 ．
【答案】 .【解析】 ， 的夹角为锐角，设 的夹角为 ，则： ，
，
又 ； ， ， ， ，
， 与 夹角的取值范围为 ．
题组三 线段长度
1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中，点 ， 满足 ， ，且
，设 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由 得 是 的中点，
又由 得 ，所以 .
故选：B.
2．（2022·湖南）（多选）已知 分别是三棱锥 的棱 ， 的中点， ．若异面直
线 与 所成角的大小为60°，则线段 的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】AD
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ．设 与 的交角为 ．因为异面直线 与 所成的角为60°，所以 或 ，
所以
将 ， ， 分别代入上式，得 或 ．
故选：AD．
3．（2022·全国·信阳高中）已知四边形 是矩形， ， ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， .∴ ， ， ， .
∴ ， .
∴ ， .
∵ ，
∴ ，即 .
又 ，
所以 ， .
∴ .
∴ .
∵ ，∴ .
故选：C.
解法二：∵ ，
，
∴.
∵ ，∴ ，得 .∴ ，
.
∴ .
故选：C.
4．（2022·山东济宁）已知两点 分别是四边形 的边 的中点，且 ， ，
， ，则线段 的长为是___________
【答案】
【解析】作 ，交 于点 ，则 ，
，则 ；
， ，
又 ， ， ，
，
，故答案为： .5（2022·全国·高三专题练习）如图， ， 分别是四边形 的边 ， 的中点， ， ，
， ，则线段 的长是___________.
【答案】
【解析】依题意， ， ，因 ， 分别是四边形 的边 ，
的中点，
则 ，
如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则 ，而 ，则有 ，
于是得 ，则
.所以 的长为 .故答案为： .
6．（2021·上海市市西中学）空间四边形 中， 分别是 边的中点，且
，则 ____________.
【答案】
【解析】 点 ， ， ， 分别为四边形 的边 ， ， ， 的中点，
、 、 、 分别为 、 、 、 的中位线．
；，
下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.
所以 故答案为：20
7．（2022·上海理工大学附属中学）如图，定圆 的半径为3，A，B为圆 上的两点，且 的最
小值为2，则 ______．
【答案】
【解析】当t＝0时， 不满足题意；
当t＞0时，设t ＝ ，延长EA到F，使AF＝AE，
则t ＝ ，则 ，
取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中， ，此时 无最小值不满足题意；
当t＜0时，设t ＝ ，
则 ，
取AB中点为D，则CD⊥AB，
由图可知， ，
∵ 的最小值为2，
∴ ＝2，∴ ．
故答案为： ．
题组四 几何中的最值
1．（2022·河南南阳·高一期末）已知 是 的边 上一点，且 ， ，，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，则 为锐角，
由 ，可得 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以，
，
则 ，可得 .
当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 .
故选：A.
2．（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，若
M，N是线段BC上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以点 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ，
，
设 ，则 ，其中 ，
， ，
，
时， 取得最小值 ．
故选：C.
3．（2022·湖南）线段 是圆 的一条直径，直线 上有一动点 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 圆心到直线 的距离 ，故
故选：C
4．（2022·广东广州·）平面四边形 中， ，则 最小值
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
又 ，所以点P在以BC为直径的圆的劣弧AC上，
分别以AB、AC为x，y轴正方向建系，取BC中点E，如图所示
所以 ，则圆E的方程为 ，
设点 ，其中 ，则 ，
所以 ，即 最小值为-2，
故选：A
5．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹角的
最大值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，
，
所以， ，①
，②
又 ，③
②与③联立可得 ，④
①④联立可得
，
当且仅当 时，取等号， ， ，则 ，
故 与 所成夹角的最大值是 ，
6．（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意知： ，设 ，∴
，∴ ，
以 与 交点为原点， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
， ， ，设 ，且
则 ， ，
当 时，
故选：C.
7．（2022·浙江丽水）已知平面向量 ，若 ， ， ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，而 ，
∴ ，又 ，即 ，
又 ，，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ 在以 为圆心，1为半径的圆上，若 ，则 ，
∴问题转化为求 在圆 上的哪一点时，使 最小，又 ，
∴当且仅当 三点共线且 时， 最小为 .
故选：B.
8．（2022·河南）已知点 是圆： 上的动点，点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，
且 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由 ，得 ，即 ， 为 外接圆的直径，如图所示；
设坐标原点为 ，则 ，
是圆 上的动点， ， ，
当 与 共线时，取得最大值7；故选：C．
题组五 三角的四心
1．（2022·湖北武汉）在三棱锥 中.作 平面 ，垂足为 .
①若三条侧棱 与底面 所成的角相等，则 是 的（ ）心；
②若三个侧面 与底面 所成的二面角相等，则 是 的（ ）心：
③若三组对棱 与 与 与 中有两组互相垂直，则 是 的（ ）心
以上三个空依次填（ ）
A．外，垂，内 B．内，外，垂 C．垂，内，外 D．外，内，垂
【答案】D
【解析】对于①，连接 、 、 ，如下图所示：
由 平面 ，可得 为 与平面 所成角，
为 与平面 所成角， 为 与平面 所成角，
且 ，因为 ， ， ，
所以 ，即 为 的外心；
对于②，过点 在平面 内作 ，垂足为 ，连接 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为 ，连接 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为 ，连接 ，如下图所示.
平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，故 ，
可得 为侧面 与底面 所成角的平面角，
同理可知， 为侧面 与底面 所成角的平面角，
为侧面 与底面 所成角的平面角，且 ，
因为 ， ， ，所以， ，
即 为 的内心；
对于③，连接 、 、 ，如①中的图，
若 ， ，因为 平面 ， 平面 ， ，
因为 ，所以， 平面 ， 平面 ， ，
同理可得 ，
即为 ， ，即有 ， ，
所以 ，即有 ，
则 ，即 为 的垂心.
故选：D
2．（2022·全国·专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【解析】 且 ， ，
化简得 ，设 ，又 与 分别为 和 方向上的单位向
量， 平分 ，又 共线，故 平分 ，同理可得 平分 ， 平分 ，故
O是△ABC的内心.故选：C.
3．（2022·重庆市长寿中学校）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积
分别记为 、 、 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是
的垂心，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ 是 的垂心，延长 交 与点 ，∴
，
同理可得 ，∴ ： ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
不妨设 ，其中 ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
当 时，此时 ，则 都是钝角，则 ，矛盾.
故 ，则 ，∴ 是锐角， ，
于是 ，解得 .
故选：A.
4．（2022·重庆市实验中学）在平面上有 及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有
则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为 ， ， ， ，
因为 ，则 ，即
，又因为 ，所以 ，所以点P是△ABC的
内心.
故选：B
5．（2022·浙江省杭州第二中学）在 中， ， 为 的重心，若 ，则
外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，则有
又在 中， ， 为 的重心，则 为等边三角形.
则
解之得 ，则 外接圆的半径为 故选：C
6（2022·四川达州）在 中， 为重心， ， ，则 ___________.
【答案】【解析】设 中点为 ，
为 的重心且 ， ，
，
，
，
.
故答案为： .
题组六 三角形的面积
1．（2022·河南·新密市第一高级中学）若点M是 ABC所在平面内的一点，且满足3 － － ＝
△
，则 ABM与 ABC的面积之比为（ ）
A．1△∶2 △ B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
【答案】B
【解析】如图，D为BC边的中点，
则
因为 － － ＝
所以 ，所以
所以 .
故选：B
2．（2022·江西宜春）已知 ，点M是△ABC内一点且 ，则△MBC的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取 的中点 ，因为 ，所以 ，故 ，所以 ，因
为 ，因此 ,
故选：C.
3（2022·广东·东莞市东华高级中学）已知 是 内部（不含边界）一点，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】如图，连接AD并延长交BC与点M,设点B到直线AD的距离为 ,点C到直线AD的距离为 ,
因为 ，
所以设 ，
因为AM与向量AD共线，
设 , ,
所以 ，
即 ，
,
所以
故选：A
4．（2021·安徽·合肥一中）点P是菱形 内部一点，若 ，则 的面积与
的面积的比值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．15
【答案】A
【解析】如图，设 中点为 ， 中点为 ，因为 ，即 ，则 ，
即 ，
则 ，
所以 的面积与 的面积的比值是6.
故选：A.
5．（2022·河北）设点O在 的内部，且 ，则的面积 与 的面积之比是
___________
【答案】5
【解析】由 变形可得： ，整理可得： ，
根据奔驰定理可得： ，则 .故答案为：5.
6．（2022·福建）点M在 ABC内部，满足 ，则 ____________．
△
【答案】
【解析】如图，分别延长 至 至 至 ，使 ， ，连接
.由 ，得 ，
∴点 是 的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝ EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝ EI，
故 ，同理可证 ，
∴ ，
设 ，
设 ，
则
，
同理 ，
∴ ： .
故答案为：3:4.
7．（2022·全国·专题练习）设 、 为 内的两点，且满足 ， ，则 __．
【答案】
【解析】由题意作下图：
取 的中点 ，连接 ，则
； ，
故 且 ,
延长AP与BC交于F点，则 ，∴ ，
，∴F点是EC的中点，
，
故答案为： ．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形 的面积为2022，E为 边上一点， ， ，
的重心分别为 ， ， ，那么 的面积为___________．
【答案】
【解析】以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，设 ，因 ， ， 的重心分别为 ， ， ，
则 ， ， ， ，
面积
，同理可得四边形 的面积：
，
于是得 ，
所以 的面积为 .
故答案为：
9．（2022·福建厦门）点 为 内一点， ，则 的面积之比是
_____.
【答案】
【解析】解：因为 ，所以 ，
设 为 中点， 为 中点， 为三角形 的中位线，则 ，
因为 ，可得 ，所以 三点共线，且 ，
则 ， ，
分别设 ，
由图可知， ， ，
则 ，所以 ，而 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 的面积之比等于 .
故答案为： .
10．（2022·江苏）设 为 内一点，且满足关系式 ，则
__．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，分别取 的中点为 ，∴ ，
∴ ；
；
.
∴
故答案为： ．
