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单元测试
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A B C D
若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A.1∶2 B.2∶1
2C..1∶4 D.4∶1
3.在比例尺为 的地图上，量得两地的距离是 ，则这两地的实际距离
是（ ）
A． B. C. D.
4.如图，在△ 中， 为 边上一点，∠ ∠ ， ， ，则 的长为
（ ）
A.1 B.4 C.3 D.2
5.如图，在△ 中，点 分别是 的中点，则下列结论：① ；②△
∽ ；③ .其中正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
△
6.如图， // ， // ， 分别交 于点 ，则图中共有相似三角形（ ）
A.4对 B.5对 C. 6对 D.7对
7.如图，已知△ ，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（ ）
8.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线
BD于点F，则EF︰FC等于（ ）
A.3︰2 B.3︰1
1C.1︰1 D.1︰2
9.如图，点 是线段 的黄金分割点 ，则下列结论中正确的第是8（题图 ）
A. B.
C. D.
F
A
N E B
G
D C
M H
第10题图
10．如图，正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，若 ，
则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.已知 ，且 ，则 _______.
12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大
的三角形的周长为_______，面积为________．
13.如图，在△ 中， ∥ ， ，则 ______．
a c e 3a−2c+e
= = =0.5
b d f 3b−2d+f
14.若 ，则 =__________.
第13题图
第15题图
15.如图， 是 的黄金分割点， ，以 为边的正方形的面积为 ，以 为
边的矩形的面积为 ，则 （填“＞”“＜”“ ”）．
16. 五 边 形 ∽ 五 边 形 ， ， ，
_______ =
， ， ________.
17.如图，在△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 .
2第18题图
第17题图
18.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第
一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为 .
三、解答题（共46分）
19.（6分）已知：如图， 是 上一点， ∥ ， ， 分别交 于点
，∠1=∠2，探索线段 之间的关系，并说明理由.
20.（6分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，
两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树
的底部点D所确定的直线垂直于河岸).
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，
如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲
下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐
落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2
米.
3第20题图
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
21.（6分）已知：如图，在△ 中， ∥ ，点 在边 上， 与 相交
于点 ，且∠ ．求证：（1）△ ∽△ ；（2）
A
D E
G F
B C
第21题图
22．（7分）如图，在正方形 中， 分别是边 上的点，
连接 并延长交 的延长线于点
（1）求证： ； A E D
c c
（2）若正方形的边长为4，求 的长．
F
B C G
第2c2题图
423．(7分) 如图， 为线段 的中点， 与 交于点 ，∠ ∠ ∠ 且 交 于
点F， 交 于 ．写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对.
A M B
G
F
C
D
E
第23题图
24.（7分）如图，梯形 中， ∥ ，点 在 上，连接 并延长与 的延长线交
于点 ．
（1）求证：△ ∽△ ；
（2）当点 是 的中点时，过点 作 ∥ 交 于点 ，若 求
的长．
25.(7分)如图， 是 的直径， 是 上的两点，且 ， 的延长线与
的延长线交于点 ．
（1）求证：△ ∽△ ；
（2）若 ， ，求 的长．
56参考答案
一、选择题
1.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角
形，一个是直角三角形，不是相似图形.
2.C 解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果.△ABC与
△A′B′C′的面积的比为1∶4.故选C.
3.D 解析：
4.D 解析：∵ 在△ 中， 为 边上一点， ， ，
∴ △ ∽△ ，∴ .
又∵ ， ，∴ ,∴ ．
5.A 解析：因为点 分别是 的中点，所以 是△ 的中位线.由中位线
的性质可推出①②③全部正确.
6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .
7.C 解析：由 对照四个选项知，C
项中的三角形与△ 相似.
8.D 解析：∵ AD∥BC，∴ ， ，
∴ △DEF∽△BCF，∴ .
又∵ ，∴ ，∴
9.C 解析：根据黄金分割的定义可知， ．
10.B 解析：由正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，知
， 所以选项B正确.
二、填空题
11.4 解析：因为 ，所以设
所以 ，所以 所以
，
12.90 270 解析：设另一三角形的其他两边为 由题意得 所以
又因为 所以三角形是直角三角形，所以周长为
13.9 解析：在△ 中，因为 ∥ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ，所以
△ ∽△ ，所以 ，所以 ，所以
a c e 3a−2c+e
= = =0.5
14. 解析：由
b d f
，得 ， ， ，所以
3b−2d+f
1.5b−d+0.5f
= =0.5.
3b−2d+f
15. 解析：由黄金分割的概念知 ，又 所以
所以 ．
16. 解析：因为五边形 ∽五边形
所以
7又因为五边形的内角和为 所以 .
17.18 解析：∵ DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴ .
∵ △ADE的面积为8，∴ 解得 =18.
18.(3，3) 解析：因为 ，所以点A（6，6）经过缩小变换后点
C
的坐标为(3，3).
三、解答题
19.解： . 理由如下：
∵ ∥ ∴ ∠ ∠ .
又 ∴ .
又∵ ∴ △ ∽△ ，
∴ 即 .
20.解：由题意，知∠BAD=∠BCE.∵ ∠ABD=∠ABE=90°，
∴ △BAD∽△BCE.∴ ，
∴ .∴ BD=13.6.
∴ 河宽BD是13.6米.
21.证明：（1）∵ ，∴ ∠ ．
∵ ∥ ，∴ ， ．
∴ ．
∵ ，∴△ ∽△ ．
DB DE
=
（2）由△ ∽△ ，得
DE EF
，∴
DE2 =DB⋅EF
．
由△ ∽△ ，得 ．
DG DE
=
DE DF
∵∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．∴ ．
∴
DE2 =DG⋅DF
． ∴
DG⋅DF=DB⋅EF
．
22.（1）证明：在正方形
中，∠A=∠D=90°
， .
∵ ∴ ，
AB AE
=
DE DF
∴ ，∴ .
BE= √42 +22 =2√5
（2）解：∵ ∴ .
由（1）知∠ABE=∠DEF，∴ ，
∴∠BEG=90°.
由 ∥
，得∠AEB=∠EBG
，∴ △ ∽△ ，
AE BE BE2
= BG= =10
BE BG AE
∴ ，∴ .
823.解：△ ∽△ ，△ ∽△ ，△ ∽△ （写出两对即可）.
以下证明△ ∽△ ．
∵ ∠ ＝∠ ＋∠ ＝∠ ＋∠ ＝∠ ，∠ ＝∠ ，
∴ △ ∽△ ．
24. （1）证明：∵ 梯形 中， ∥ ，∴
∴ △ ∽△ ．
（2）解： 由（1）知，△ ∽△ ，
又 是 的中点，∴
∴△ ≌△ ∴
又∵ ∥ ∥ ，
∴ ∥ ，得 ．
∴
∴ ．
25.（1）证明：∵ ，∴ ．
∴ ∠ ∠ ．
又∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．
（2）解：∵ △ ∽△ ，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∴ ．∴ ．
∵ 是 的直径，∴ ∠ °．
在Rt△ 中 ，∴ ．
9
