文档文本内容
八年级上册第 3 章 勾股定理
第1课时勾股定理（1）
一、基础练习
1．如图，已知两个正方形的面积如图所示，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．256 B．16 C．544 D．64
A
1 4 4
4 0 0
B
D
A
C
（第1题） （第3题）
2．如果一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．如图， A C B = B D C = 90º，且 A B = 1 3 ， A C = 1 2 ， B D = 4 ，则 D C 的长度为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
4．已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边的平方为（ ）
A．5 B．25 C．7 D．25或7
5．在Rt△ABC中，已知 C = 9 0 ， A C = 3 0 ， B C = 4 0 ，则三角形的周长为 ．
6．若直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则其面积为 ，它斜边上的高
为 ．
7．在△ABC中， C = 9 0 ，a、b、c分别为A、B、 C 的对边．若a︰b = 5︰12，
c=26，则 a= ，b = ．若 a 与 b 都扩大为原来的 2 倍，则 c 扩大为原来
的 倍．
8．工人师傅用的一种角尺是直角形状的（没有斜边），两边的最大刻度分别是8 cm和15
cm，如果现在添上斜边，则斜边最大的刻度应定为 cm．
9．如图，在△ABC中， A C = A B ， D是BC上的一点，AD⊥AB， A D = 9 ， B D = 1 5 ，
求AC的长．
B
A
D
C
（第9题）
10．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在水平直线上，固定两端A和B，然后将中点C竖直
向上拉升至点D若皮筋被拉长了2 cm，求向上拉升的距离CD的长．
D
A B
C
（第10题）二、拓展提升
11．小明每天坚持跑步．今天早上他沿着一个两直角边长分别为80 m、60 m的直角三角
形公园跑，一共跑了5圈，请你算一算，他一共跑了多少米?
（第11题）
12．台风将路边的一棵大树刮断了（如图），小丽在台风过后去测量了有关数据，测得大
树折断处离地面1.5 m，树梢到树根处3.6 m，则这棵大树原来多高?
（第12题）
13．在△ABC中， A B = 1 5 ，AC=20， B C 边上的高AD=12，求BC的长．
三、综合实践
14． 阅读下列材料，完成相应练习．
海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：面积的平方
为 S 2 = p ( p − a )( p − b )( p − c ) （其中，a，b，c为△ABC三边，p =
a＋b＋c
）．它的特点是形
2
式漂亮，便于记忆．相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式
最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式．中国秦九韶也得出了类似的公
式，称三斜求积术．
已知：△ABC三边分别为a，b，c，p=
a + b
2
+ c
．求证： S 2 = p ( p − a )( p − b )( p − c )
B
A C
．
给出锐角三角形的证明：
A
B C
D过点A作 A D ⊥ B C 于D．设 B D = x ，则 C D = a − x ．
如图，在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理得
A D 2 = A B 2 − B D 2 ，AD2 = AC2 −CD2，即AD2 =c2 −x2， A D 2 = b 2 − ( a − x ) 2 ．
因此c2 −x2 =b2 −(a−x)2，整理得 x =
a 2 + c
2
2
a
− b 2
．
所以 A D 2 = A B 2 − B D 2 = c 2 − (
a 2 + c
2
2
a
− b 2
) 2 = ( c +
a 2 + c
2
2
a
− b 2
) ( c −
a 2 + c
2
2
a
− b 2
)
2ac+a2 +c2 −b2 2ac−a2 −c2 +b2 (a+c)2 −b2 b2 −(a−c)2
= =
2a 2a 2a 2a
(a+c+b)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)
= ，
4a2
又因为 p =
a + b
2
+ c
，因此 p − a =
b + c
2
− a
， p − b =
a + c
2
− b
， p − c =
a + b
2
− c
，
所以 S 2 =
1
4
a 2
( a + c + b ) ( a + c − b
4
) (
a
b
2
+ a − c ) ( b − a + c )
(a+c+b)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)
= = p(p−a)(p−b)(p−c)．
16
【问题解决】（1）在△ABC中，AB = 13，BC = 14，CA = 15，请你利用海伦公式计算△ABC
的面积．
（2）请自行画图证明当△ABC为钝角三角形时的海伦公式．八年级上册第 3 章 勾股定理
第2课时勾股定理（2）
一、基础练习
1．1876年，美国总统加菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，证明中用到的面积
相等关系是（ ）
A． S
E D A
= S
C E B
B． S
E D A
+ S
C E B
= S
C D E
C． S
E D A
+ S
C D E
+ S
C E B
= S
四 边 形 A B C D
D． S
四 边 形 A E C D
= S
四 边 形 D E B C
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆
方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，如果大正方形的面积是
13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短边为 a，较长边为 b．那么(a＋b)2 的值是
（ ）
A．13 B．19 C．25 D. 169
3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正
方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为 S
1
、S 、
2
S
3
．若 S
1
+ S
2
+ S
3
= 1 8 ，
则S 的值是（ ）
2
12 15
A． B．6 C．5 D．
5 4
4．如图，在直角三角形中， C = 9 0 ，AC = 3，将其绕B点顺时针旋转一周，形成了一个
圆环，该圆环的面积为（ ）
A． 3 2 B． 3 C． 9 D． 6
A
B C
（第4题） （第5题）
5．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三
个正方形的边长分别为2、4、5，则正方形D的面积为 ．
6．如图，在直角三角形ABC中，C=90，AC=12，BC=5，则以AB为直径的半圆的面积为 ．
（第6题） （第7题）
7．如图，在△ABC中，已知AB = 2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD．若 E 是AD 的中
点，则EC = ．
8．观察下列各式：
32=4＋5，52=12＋13，72=24＋25，92=40＋41，…
若132 =
A
C
A B E
B D C
a＋b，则ab的值为 ．
9．求下列阴影部分的面积：
（1）阴影部分是正方形．（2）阴影部分是长方形．（3）阴影部分是半圆．
（第9题）
10．如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边
长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能验证勾
股定理的图形．
（1）画出拼成一个能验证勾股定理的图形．
（2）用这个图形验证勾股定理．
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种
能验证勾股定理的图形吗？请画出拼成后的示意图（无需说明理由）．
c c c c
b b
a a
图① 图②
（第10题）二、拓展提升
11．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美
丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
图① 图②
（第11题）
（1）结合图①，求证：a2 +b2 =c2．
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，若该图形的周长
为48， O H = 6 ．求该图形的面积．
12．数学实验室：
实验材料：硬纸板、剪刀、三角板
实验方法：剪裁、拼图、探索
实验目的：验证勾股定理，拼图填空：
操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①．
（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③
可发现，图②中两个小正方形的面积之和 图③中小正方形的面积，（填“大于”“小
于”“等于”）用关系式可表示为 ．
（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有
3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为 S
大
、S 、S ，其关系是 ，用a、b、
中 小
c可表示为 ．
（3）拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小
顺序分别记为S 、
大
S
中
A
H
c b
B
a C G
O F
D
E
、S ，其关系是 ，用a、b、c可表示为 ．
小
c b
a
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
（第12题）13．如图，矩形ABCD中AB = 2，AD = 5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向
终点D移动，设移动时间为t s．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，
求△DEF面积最小值．
F
E
A P
D
B C
（第13题）
三、综合实践
14． 阅读欧几里得证法，写一篇读后感，不少于200字．
勾股定理被称为“数学皇冠上的明珠”，在世界各国古文明中其实都有独立发现，如中国
古代很早就知道有“勾三股四弦五”．古埃及人也曾用带13个结的绳子按下图方式去拉出一
个直角，也有人坚称金字塔的底座的直角的构造也用了这个方法．
在众多勾股定理的证明方法中，欧几里得（公元前300年左右）的证明方法是非常独特而
奇妙的，也是现存最早有文字资料记载下来的．在《几何原本》第一卷中的命题47：“直角
三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形的面积之和”，具体证明方法如下：
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一
条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L．
H
G
F
C
K
A M B
D L E
∵ AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴△FAB≌△CAD（SAS），∵△FAB的面积等于
1
a2，△CAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积（即△CAD面积
2的2倍） = a2（即△FAB面积的2倍），同理，矩形MLEB的面积 = b2，∵正方形ADEB的
面积 = 矩形ADLM的面积＋矩形MLEB的面积，∴ c2 = a2＋b2．八年级上册第 3 章 勾股定理
第3课时勾股定理的逆定理
一、基础练习
1．下面的四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．2、3、4 B．21、28、35 C．12、13、14 D．5、8、13
2．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中的错误的是（ ）
A．若 C − A = B ，则△ABC是直角三角形
B．若 c 2 = b 2 − a 2 ，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
C．若 ( c + a ) ( c − a ) = b 2 ，则△ABC是直角三角形
D．若 A =
1
2
B =
1
3
C ，则△ABC是直角三角形
3．将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数后，所得的三角形（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
4．有长度分别为5，7，9，12，13，15，16，20，24，25的木棒，用它们来摆放直角三
角形，可以重复使用，则可摆成不同的直角三角形的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C． 4个 D．5个
5．以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面
积，则这个三角形是 三角形．
6．已知△ABC 中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 三角形，最大角
是 ．
7．若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a 2 + b 2 + c 2 + 5 0 = 6 a + 8 b + 1 0 c ，则此三角形的面积
为 ．
8．在“镖形”ABCD中，∠A＋∠B＋∠C = 90°，AB = 12，BC=13，CD=4，AD = 3，则
点C到AB的距离为 ．
（第8题）
9．如图，已知四边形绿地ABCD中，AB=3m，AD=4m， B C = 1 3 m， C D = 1 2 m，
A = 9 0
A
D
B
C
，求四边形ABCD的面积．
D
A
B C
（第9题）10．在△ABC中，三条边的长分别 a = m 2 + n 2 ， b = m 2 − n 2 ， c = 2 m n （m，n均为正整数，
且mn），这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？
二、拓展提升
11．△ABC中，已知AB = 17 cm，BC = 16 cm，BC边上的中线AD = 15 cm，请你判断△
ABC的形状，并请说明理由．
12．如图， A = D = 90°，AB = CD = 24 cm，AD = BC=50 cm，E是AD上一点，且AE∶ED
= 9∶16，试猜想∠BEC是锐角、钝角还是直角？并加以说明．
A
B
E D
C
（第12题）
13．已知△ABC中， A C B = 9 0 ， A C = B C ，点P在△ABC内，且PA = 3，PB = 1，PC = 2，
求BPC的度数．
C
P
A B
（第13题）
三、综合实践
14．巧探勾股数：我们知道，像（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13）等满足a2 +b2 =c2
的一些正整数称为勾股数．若表①、表②中的a、b、c为勾股数，请你填表并探究规律．
从表①、表②中你能发现什么规律？请将你发现的规律用含字母n（n≥1，且n为正整数）
表示出来，并根据你发现的规律写出更多的勾股数．
组别 1 2 3 4 … n
a 3 6 9 …
表①
b 4 8 16 …
c 5 15 20 …组别 1 2 3 4 … n
a 3 7 9 …
表②
b 4 12 40 …
c 5 13 25 …八年级上册第 3 章 勾股定理
第4课时勾股定理的应用
一、基础练习
1．如图，长为2.5 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5 m，则梯子顶端
的高度h是（ ）
A．1.8 m B．2 m C．2.2 m D．2.4 m
（第1题） （第2题）
2．如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线 B C 长为6 m，某钓鱼者想看看
鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到 A C 的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m，则钓鱼
竿向前移动放入距离BB'的长为（ ）
A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m
3．《九章算术》中有一道题目译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳
索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牵绳索沿地面退行，在离木柱根部8
尺处时，绳索用尽”．设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（ ）
A．(x−3)2−x2 =82 B．x2 −(x−3)2 =82
C． ( x + 3 ) 2 − x 2 = 8 2 D． x 2 − ( x + 3 ) 2 = 8 2
4．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，如果吸管放进杯
里，杯口外面至少要露出4.6 cm，那么吸管的长度至少为（ ）
A．12 cm B．13 cm C．16.6 cm D．17.6 cm
5．如果一个直角三角形的两条直角边长分别是6 cm和8 cm，那么这个三角形的周长是
cm．
6．如图，某公园有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明
的“路”，其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
B 200 m C C
B D
A
520 m
A
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B距离
为200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为 m．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为 cm 2．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距
离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面2.4米，求小巷的宽度为多少米？
（第9题）
10．国内外航班对随身行李的尺寸要求相同，每人可携带一件物品，每件尺寸不得超过
20 cm×40 cm×55 cm．一位旅客携带一件长71 cm长的画卷，这件画卷能放入行李架吗？
二、拓展提升
11．如图，某公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行
至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B．也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然
后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，
C，D，E在同一平面内），其中 A C = 5 0 0 米， B C = 1 3 0 0 米，AD=600米， B E = 4 0 0 米．
（1）求A，B两点的距离．
（2）为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF
与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．
B
E
F
A
C D
（第11题）
12．如图，铁路上A、B两点相距25 km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D
两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？（第12题）
13．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边AD，使D点落在BC边的F处，已知AB = 8 cm，
BC = 10 cm．求DE的长．
A
B F
D
E
C
（第13题）
三、综合实践
14．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的
问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为8 m、8 m、4 m的长方体房间内，一只
蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙1 m，苍蝇正好在左面墙高度
一半的位置（即N点处），并且距离后面墙2 m，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最
短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的
研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！
图① 图②
【基础研究】如图②，在长、宽、高分别为a、b、c ( a b c )
D
C
A B
的长方体一个顶点A处有
一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点C处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？
（1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，
并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图③、图④、图⑤所示.
图③ 图④ 图⑤ 图⑥
（2）推理验证：如图③，由勾股定理得，AC2 =(a+b)2 +c2 =a2+b2+c2+2ab，
如图④，由勾股定理得，AC2 =(b+c)2+a2 =a2+b2+c2+2bc，如图⑤， A C 2 = ( a + c ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a c ．
要使得 A C 的值最小，∵ a b c ∴abac bc，
∴选择如图④情况，此时 A C 2 的值最小，则AC的值最小，即这种爬行路径是最短的．
【简单应用】如图⑥，长方体的长、宽、高分别为24 cm、12 cm、40 cm，点P是FG的
中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为 cm．
【问题回归】最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如
图①），那只蚂蚁所走的最短路程是 m．八年级上册第 3 章 勾股定理
小结与思考
一、基础部分
1．下列三角形中不是直角三角形的有（ ）
① 三内角之比为1∶2∶3的三角形 ② 三内角之比为3∶4∶5的三角形
③ 三边长分别为1.5、2、2.5的三角形 ④ 三边长分别为7、24、25的三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．形状无法确定
A
B
C
（第2题） （第6题）
3．小苏量得家里彩电荧屏的长为58 cm，宽为46 cm，则这台电视机尺寸是（ ）
A．9英寸（23 cm） B．21英寸（54 cm）
C．29英寸（74 cm） D．34英寸（87 cm）
4．△ABC中，∠A为锐角，且 A B = 3 ， A C = 4 ，那么第三边BC的长满足（ ）
A．BC ＝5 B．1BC7 C． 1 B C 5 D． 5 B C 7
5．Rt△ABC中，∠C=90°， B C = a ， A C = b ， A B = c ．
（1）若 c = 1 5 ， b = 1 2 ，则 a = ；（2）若b=8， a = 1 5 ，则 c = ．
6．如图，在△ABC和△EDB中，∠C = ∠EBD = 90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，
BC = 3，DE = 5，则AE =
D
B
E
A C
．
7．“东方之门”座落于苏州美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被
评为“中国最高的空中苏式园林”．如图，东方之门距离现代大道400 m，距离星海街600 m，
小明所在位置距离现代大道200 m，距离星海街200 m，则小明所在位置与东方之门两点之
间的距离为 m．
A
小明
200 m星
海
200 m 街
F
现代大道 现代大道
星
海 400 m D
街 G
600 m
B C E
（第7题） （第8题）
8．如图，已知等边△ABC的边长是8，点D在AC上，且CD=2，延长BC到E，使CE=CD，
连接DE，点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为 ．9．如图所示的一块地，∠ADC = 90°，AD = 12 m，CD=9 m，AB = 39 m，BC = 36 m，求
这块地的面积．
（第9题）
10．《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速
度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方
向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多少步？
（第10题）
二、拓展提升
11．暑假期间，小龙和小文到某海岛上去探宝旅游，他们从A点登陆后先往北走1 km，
又往东走2 km，遇到障碍后又往北走2 km，再折向东走2 km就找到宝藏的藏匿点B．
（1）请你在图中方格纸中画出他们的行走路线图．（每个小正方形的边长表示1 km）
（2）登陆点A到藏宝点B的直线距离是多少km？
A
（第11题）
12．如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC =
C
D
A B
4，点 D 是 AB 的中点，将△ACD 沿
CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，求线段BE的长．
C
D
A B
E
（第12题）13．【定理表述】
请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理： （请用文字语言叙述）．
【尝试证明】
它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．现以图①中
的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图②），请你
利用图②，验证勾股定理．
．．．．．．
【知识拓展】
如图③所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l
的距离分别是3 km、4 km（即AC = 3 km，BD = 4 km），AB = x km，现设计两种方案：
方案一：如图④所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a = AB＋AP．
方案二：如图⑤所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，
该方案中管道长度b = AP＋BP．
①在方案一中，a= km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，b2 = km2（用含x的式子表示）；
③请你分析：要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
B
A
B B
D
A A
B A C P l
c c
c b
a a
C b A B b E a C C D l P(C) l A'
图① 图② 图③ 图④ 图⑤
（第13题）
三、综合实践
14．帕普斯对勾股定理的推广
在古希腊时代，亚历山大里亚的帕普斯（Pappus，大约公元前300年）在他的《数学汇编》
（Mathematical Collection）一书的第4卷中给出了一个令人注目的关于勾股定理的推广，他
将直角三角形三边上的正方形改成了平行四边形，这三个平行四边形的作图方法如图：
对于Rt△ABC，
（1）分别以两直角边AB、AC为边，作两个平行四边形．
（2）分别延长两个平行四边形中平行于直角边的两边，它们相交于点P．
（3）作射线PA，与BC相交于点R，再截取RQ=PA．
（4）以BC为一边作平行四边形，使另一组对边平行且等于RQ．
这时，斜边上的平行四边形的面积等于两条直角边上的平行四边形的面积之和．
有兴趣的同学不妨自行研究，尝试证明一下．P
A
R
B C
Q
