文档文本内容
八年级上册第 2 章 轴对称图形
第一课时 轴对称与轴对称图形
一、基础练习
1．杭州第19届亚运会（The 19th Asian Games）又称“2022年杭州亚运会”，杭州亚运会
竞赛项目设置为：40个大项，61个分项，481个小项．下列分别表示游泳、举重、足球
和击剑项目的运动图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手
绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称
图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．从对称性角度看，下列图形与其它三个图形不同的是（ ）
A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．正方形
5．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是 ．
6．我们知道圆、线段都是轴对称图形，请再写出一个是轴对称图形的几何图形名称 ．
7．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C 均在格点
上．请在给定的网格中，找一格点 D，使以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是轴对称图
形，满足条件的点D的个数是 个．
（第7题） （第8题）
8．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称
的三角形共有 对．
9．指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．10．在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，
使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
二、拓展提升
11．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称
的图形．
12．已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试
问怎样撞击球 A，才能使 A 先碰到台边 FC 反弹后再击中球 B？在图中画出 A 球的运动
线路．13．如图，在4×4的正方形网格中，有5个黑色小正方形．
（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的 4×4 的正方形网格图形是轴对称
图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另一种做法是将 号小正方形移至 号
（填写标号即可）；
（2）请你移动个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将
号小正方形移至 号、将 号小正方形移至 号（填写标号即可）．
三、综合实践
14．学校的舞蹈教室东西墙壁有平面镜AC、BD，如图小华在平面镜AC、BD之间练习舞蹈，
她在每个平面镜中都能看到自己的一列身形，且越来越小．若 AC、BD 都垂直于地面，
AB＝6米．试问：
（1）小华在每个平面镜中看到的第二个身形之间的距离是多少？
（2）猜想小华在每个平面镜中的第10个身形之间的距离是多少米？并说明理由．
（3）你能提出其它的问题并解答吗？第二课时 轴对称的性质（1）
一、基础练习
1．下列选项中，点M与点N关于直线l对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使
点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．18° B．19° C．20° D．21°
（第2题） （第3题） （第4题）
3．如图，点P是∠ACB外一点，点D，E分别是CB，CA上的点，点P关于BC的对称点
P1 落在线段ED的延长线上，点P关于AC的对称点P2 恰巧落在ED上．若PE＝4，PD
＝4.5，ED＝5.5，则线段P1P2 的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
4．小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有
间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆a，b，
c，d，e，f．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧
想用绳子在南侧的两条木杆e，f和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小
梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）
A．a B．b C．c D．d
5．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
（第5题） （第7题） （第8题）
6．已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作△ADC，若∠BAD+∠BCD＝100°，
则∠B的度数为 ．
7．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝
7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 ．8．如图，△ABE、△BDC和△ABC分别是关于AB，BC边所在直线对称的轴对称图形，若
∠1：∠2：∠3＝9：2：1，则∠4的度数为 ．
9．小王用电脑设计图案时，先设计图案的一半，如图，然后点击对称键得到整个图案．请
你在图中以直线l为对称轴，画出他设计的图案的另一半．
10．根据图中标示的角度，求∠EAF的度数．
二、拓展提升
11．如图△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝
5，FC＝2，∠BAC＝75°，∠EAC＝56°．
（1）求BF的长度；
（2）求∠CAD的度数．
12．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝8cm，DE＝10cm，
BC＝6cm．
（1）线段AD与MN的关系是什么？
（2）求∠F的度数；
（3）求△ABC的周长和△DEF的面积．13．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点
D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝ °（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
三、综合实践
14．数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿MN与PQ是否平行，把纸片
沿着AC折叠（如图1），并用量角器测出∠1、∠2的度数．
（1）若∠1＝∠2，则MN∥PQ．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
（2）在（1）的条件下小聪同学在PQ边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接AD
并折叠纸片使得射线AB与射线AD重合，折痕交PQ于点E，过E作EF⊥AC于点F，
设∠AEF＝α，∠ADP＝β．
①当点D在点C、B之间时，若β＝120°，求α 的度数；
②当点D在PQ上运动过程中，α 和β 之间有怎样的数量关系？并说明理由．第三课时 轴对称的性质（2）
一、基础练习
1．作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
2．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①②
4．．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能
画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第4题） （第5题） （第8题）
5．如图，请你画出这个图形的一条对称轴．答： 是它的一条对称轴（用图中已有的字
母回答）
6．对于一个轴对称图形，我们只要找到任意一组对应点，再作出由它们所连成的线段的 ，
就能得到该轴对称图形的对称轴．
7．画出下列各轴对称图形的对称轴．其中，对称轴有4条或4条以上的图形有 个．8．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对
称图形，共有 种补法．
9．把图中的图形补成关于直线m对称的图形．（不写作法，保留作图痕迹）
10．已知在同一平面内的两条相等线段，通过一次或两次轴对称变化就可以重合，如图方格
纸中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，点 A、B、C、D 都在格点上，请
分别在下面两个图中画出对称轴，使得线段AB通过轴对称变化与线段CD重合；若需两
次轴对称的，则要画出第一次轴对称后的对称线段．
二、拓展提升
11．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网
格线的交点）．
（1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1 ；
（2）求三角形A1B1C1 的面积；
（3）在直线MN上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形PAC的面积．12．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，为网格中的格点．仅用无刻度的直尺在给定网
格中利用格点连线画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列
问题：
（1）请画出△ABC关于直线DE的对称图形△A′B′C′（其中点A的对称点用A′表
示，点B的对称点用B′表示，点C的对称点用C′表示）；
（2）请作出△ABC的中线BM：
（3）在直线DE上找出一点P，使得∠APD＝∠CPE．
13．如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC，用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作
图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是 ，并证明你的结论．三、综合实践
14．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡
查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他
时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线/交于点C，点C就是所求的位置．请
你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：
（1）证明：如图3，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，
∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，
∴CB＝ ，C'B＝ ，
∴AC+CB＝AC+CB'＝ ．
在△AC'B'中，
∵AB'＜AC'+C'B'，
∴AC+CB＜AC'+C'B'．
∴AC+CB＜AC'+C'B'，即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两
侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解
决（在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线
外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．
（2）问题解决
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，
试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程，即△PEF的周长最小．（保留
画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）第四课时 设计轴对称图案
一、基础练习
1．如图所示，北京2022年冬奥会会徽的创意来自汉字“冬”．下列四个选项中，能由该图
经过一次轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影
表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，
则平移的方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
（第3题） （第4题）
4．在“3×3”的网格中，可以用有序数对（a，b）表示这9个小方格的位置．如图，小方
格①用（2，3）表示，小方格②用（3，2）表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和
小方格①、②组成轴对称图形的是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（3，1）
5．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，
则把阴影涂在图中标有数字 的格子内．
（第5题） （第7题）
6． 如图①是 3×3 的小方格构成的正方形 ABCD，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑
后的整个ABCD图案（含阴影）是轴对称图形，且规定沿正方形ABCD对称轴翻折能重
合的图案都视为同一种，比如图②中四幅图就视为同一种，则得到不同的图案共有 种．（第6题）
7．如图，由4个小正方形组成的田字格，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上
能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有 个．
8．四个单位正方形以边对边方式相连接而成，可以拼成如图的五种不同形状．用一片“L”
形（图中第一个）分别于其余四个中的一片拼成轴对称图形，所有的可能共有 种．
（第8题）
9．小明设计了这样一个游戏：在4×4方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在
下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形．
10．下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．
（1）如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
（2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
（3）如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
二、拓展提升
11．认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注
意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）12．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称
为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）作出四边形ABCD关于直线BD对称的四边形A′B′C′D′；
（2）求图（一）中四边形ABCD的面积；
（3）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的
面积且△EFG为轴对称图形．
13．按要求作图
（1）利用网格作图，
①请你在图1中画出线段CD关于线段AB所在直线成轴对称的图形；
②请你在图 2 中添加一条线段，使图中的 3 条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情
形；
③如图3作出四边形关于直线m对称的图形．
（2）如图4所示以AB为对称轴，画出已知图形的轴对称图形．
（3）如图5是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上
角的三角形为基本图形，通过平移、对称变换，设计一个精美图案，使其满足；（设计两
幅）
①轴对称图形；
②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．三、综合实践
14．用剪刀裁剪轴对称窗花．
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠
久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村的生活地理环
境、农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的汉族民俗情趣和
艺术特色．
裁剪轴对称的窗花方法与步骤如下：
准备工具和材料：制作轴对称窗花需要准备一些工
具和材料，如剪刀、石膏板、彩纸等．需要根据自己的
需要选择合适的材料和工具．
设计图案：设计轴对称窗花的图案，可以选择传统的
图案，也可以根据自己的创意设计新的图案．需要注意图
案的对称性和美感．
剪刀剪裁：根据设计的图案，在石膏板或其他材料上用剪刀剪裁出形状，注意剪裁时需
要保持对称和平衡．
彩纸粘贴：将剪好的形状用彩纸粘贴在一起，形成完整的轴对称窗花。需要注意粘贴时
需要保持对称和平衡．
加工和润色：制作完成后，可以对轴对称窗花进行加工和润色，如打磨、涂漆等，使其
更加光滑和美观．
（1）根据上述的方法与步骤裁剪出自己理想的窗花；
（2）针对自己剪出的窗花，提出一个关于轴对称性质的问题，并解答；
（3）注意事项：
剪裁时小心：制作轴对称窗花需要用剪刀剪裁，需要小心操作，避免伤害自己．
注意对称和平衡：轴对称窗花的制作需要注意对称和平衡，尤其是图案和颜色的搭配需
要精心设计．
选用质量好的材料：选择质量好的材料可以制作出更加美观和持久的轴对称窗花，需要
注意材料的质量和来源．第五课时 线段、角的轴对称性（1）
一、基础练习
1．如图， M N 是线段 A B 的垂直平分线， C 在 M N 外，且与 A 点在 M N 的同一侧， B C 交MN
于 P 点，则 ( )
A．BCPC+AP B．BCPC+AP C．BC=PC+AP D． B C P C + A P
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图， D E 是 A B C 的边 B C 的垂直平分线，若 A C = 8 ， A B = 6 ，BC =4，则 A D B 的
周长为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
3．如图，在 A B C 中， A B 的垂直平分线分别交 A B ， B C 于点 D ， E ，AC的垂直平分线
分别交 A C ， B C 于点 F ，G，且 A E G 的周长是20，则线段 B C 的长为 ( )
A．40 B．20 C．15 D．10
4．如图，在 A B C 中， A B 的垂直平分线 D E 与边 A B ， A C 分别交于点 D ， E ．已知 A B C
与 B C E 的周长分别为22cm和14cm，则 B D 的长为 ( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
（第4题） （第5题） （第6题）
5．如图， A B 垂直平分 C D ， A C = 6 ， B D = 4 ，则四边形 A D B C 的周长是 ．
6．如图：ABC中DE是 A C 的垂直平分线， A E = 3 c m ，ABD的周长为13cm，则ABC
的周长为 ．
7．如图，在 A B C 中， D E 是AC的垂直平分线，分别交 B C ，AC于点 D ， E ，连接 A D ，
若ABD的周长 C
A B D
= 1 6 c m ，AB=5cm，则线段 B C 的长度等于 cm．
（第7题） （第8题）8．如图，在 A B C 中， A B 的垂直平分线DE与边 A B ，AC交于点 D ， E ，已知 A B C 与
B C E 的周长分别是28cm和16cm，则 B D 的长为 cm．
9．河边有两个村庄 A 、 B ，要在河岸 C D 上建一自来水厂 P ，使水厂到 A 、B两村的距离
相等，请找出 P 的位置．
10．如图，在ABC中， A C 的垂直平分线 M N 分别交AB， A C 于 D ， E ．若 A E = 5 ， B C D
的周长为17，求 A B C 的周长．
二、拓展提升
11．利用网格线画线段 B C 的垂直平分线．
12．如图，在ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于点D，
1
A C 边的垂直平分线 l2 交BC
于点 E ，l 与
1
l2 相交于点O，连接 O A ， O B ， O C ．
（1）若ADE的周长为8cm，OBC的周长为20cm．
①求线段 B C 的长；
②求线段 O A 的长．
（2）若 B A C = 1 2 0 ，求DAE的度数．13．已知：如图， A B = A E ， B C = E D ， A F ⊥ C D 且 F 是 C D 的中点，求证： B = E ．
三、综合实践
14．教材呈现：如图是某版八年级上册数学教材的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的
证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在 A B C 中，直线 m 、n分别是边 B C 、AC的垂直平分线，直线 m 、n
交于点O，过点O作OH ⊥ AB于点 H ．求证：AH =BH．
（2）如图③，在 A B C 中，AB=BC，边 A B 的垂直平分线交AC于点 D ，边 B C 的垂
直平分线交 A C 于点E．若 A B C = 1 2 0 ，AC=24，则 D E 的长为 ．第六课时 线段、角的轴对称性（2）
一、基础练习
1．如图所示的图形中， A C = A D ， B C = B D ，那么（ ）
A． C D 垂直平分 A B B．AB垂直平分 C D
C． C D 平分ACB D． C A D = C B D
（第1题） （第3题） （第4题）
2．到三角形三顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点
3．如图，将长方形纸片沿 A C 折叠后点B落在点E处，则下列关于线段 B E 与AC的关系
描述正确的是（ ）
A． A C = B E B． A C 和 B E 相互垂直平分
C． A C ⊥ B E 且AC=BE D． A C ⊥ B E 且 A C 平分 B E
4．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于
1
2
B C 长为半径画弧，两弧相交于
点M．N作直线MN，交 A C 于点D，交BC于点E，连接 B D ．若AB＝8，AC＝14，
BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25 B．22 C．20 D．14
5．如图，△ABC周长为16cm，AC=6cm， A D ⊥ B C ， E F 垂直平分 A C ， B D = D E ，则
D C = cm．
（第５题） （第６题） （第７题） （第８题）
6．小军做了一个如图所示的风筝，其中 E H = F H ， E D = F D ，则 D H 是 E F 的 线．
7．如图，在△ABC中，MD，ME分别是AB，AC的垂直平分线，过点M作MF⊥BC，垂
足为F，则BF CF.(填“＞”“＜”或“＝”)
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延
长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为 ．
9．老师布置了一道尺规作图的作业：如图，已知△ABC，求作△ABC边BC上的高
AM．下面是小红同学的尺规作图过程：
如图，①延长线段 B C ；②以点 A 为圆心， A C 长为半径
作弧交BC的延长线于点D；③分别以点 C ，D为圆心，大于
1
CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；④连接
2A E ，交 C D 于点 M ．则线段 A M 就是△ A B C 边 B C 上的高．
根据小红同学的尺规作图过程和图形，请将下面的证明过程补充完整：
由②可得：AD=________，
由③可得：CE=________，
∴ A E 是 C D 的垂直平分线（________________________）．（填推理的依据）
∴AM是△ABC边BC上的高．
10．已知：如图，AB＝AC，EB＝EC，点D在AE的延长线上．求证：DB＝DC．
二、拓展提升
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，
EF与AD相交于点G．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线；
（2）若△ABC的面积等于16，AB+AC＝8，求ED．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l 交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平
1
分线l 交AC于点N，交BC于点E，l 与l 相交于点O，△ADE的周长为10．请你
2 1 2
解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．13．如图，在△ABC中，边 A B , B C 的垂直平分线相交于点P．
（1）求证PA=PB=PC；
（2）点P是否也在边 A C 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
三、综合实践
14．如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公
路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走
才能使总路程最短？画出图形并说明做法．第七课时 线段、角的轴对称性（3）
一、基础练习
1．如图， O P 平分 M O N ， P A ⊥ O N 于点 A ，点Q是射线 O M 上一个动点，若 P A = 3 ，则
P Q 的最小值为 ( )
A． 3 B．2 C．3 D． 2 3
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，RtABC中， C = 9 0 ， A D 平分 B A C ，交 B C 于点D， A B = 1 0 ，S =15，
ABD
则 C D 的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，直线 l 、 l 、 l 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公
路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可
以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线 O B ，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点 P ，小
明说：“射线 O P 就是 B O A 的角平分线．”他这样做的依据是 ( )
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．如图，∠C＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，若 BC＝8，BD＝5，
则DE的长为 ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图， A D 是ABC中BAC的角平分线， D E ⊥ A B 于点 E ，DF ⊥ AC于点F ，S =7，
ABC
DE=2，AB=4，则 A C 长是 ．
7．如图所示，AB//CD，O为A、 C 的平分线的交点，OE⊥ AC于E，且OE=1，则
A B 与 C D 之间的距离等于 ．
8．如图所示， A B C 的三边 A B ，BC，CA的长分别是6，10，12，三条角平分线的交点为
o，则S :S :S = ．
ABO BCO CAO9．如图， D 是 E A F 平分线上的一点，若 A C D + A B D = 1 8 0 ，请说明 C D = D B 的理由．
10．如图， B D 平分ABC交AC于点 D ， D E ⊥ A B 于 E ，DF ⊥BC于 F ， A B = 6 ， B C = 8 ，
若 S
A B C
= 2 8 ，求 D E 的长．
二、拓展提升
11．B=C=90， E B = E C ，DE平分ADC，求证：AE是 D A B 平分线．12．如图，在 A B C 中， C = 9 0 ．
（1）作 B A C 的平分线 A D ，交 B C 于D；
（2）若 A B = 1 0 c m ，CD=4cm，求 A B D 的面积．
13．如图所示， A B C 两个外角的平分线 B P 、 C P 相交于点 P ．
求证：点 P 在 A 的平分线上．
三、综合实践
14．如图：已知 O A 和 O B 两条公路，以及 C 、D两个村庄，建立一个车站 P ，使车站到两
个村庄距离相等即PC=PD，且 P 到OA，OB两条公路的距离相等．第八课时 线段、角的轴对称性（4）
一、基础练习
1．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离
相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点
2．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错
误的是（ ）
A．∠COP＝∠DOP B．PC＝PD
C．OC＝OD D．∠COP＝∠OPD
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
3．如图，OD平分AOB， D E ⊥ A O 于点E， D E = 5 ，点F是射线OB上的任意一点，
则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆
弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于
1
2
MN的长为半
径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，
AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
5．如图2， P M ⊥ O A ， P M = 1 ，当点 P 到 O B 的距离为 时， P O A = P O B ．
6．如图，点 D 为BG上任意一点，且DE⊥AB于点E， D F ⊥ B C 于点 F ， D F = D E ，若
A B C = 4 0 ，则 A B D = ．
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市
到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处?(阴影部分不能修建超市)
8．如图，点I在 ABC内，且到三边的距离相等，若 A = 5 0 ，则BIC= ．
9．如图，在△ABC中， AC＝6， BC＝4．
（1）用直尺和圆规作∠ACB的角平分线CD，交AB于点D；
（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）所作的图形中，若△ACD的面积为3，求△BCD的面积．10．如图， A P 、CP分别是 ABC外角MAC，NCA的平分线，它们交于点 P ，PD⊥
BM， P F ⊥ B N ，垂足分别为 D 、 F ，则 B P 是 M B N 的平分线吗？请说明理由．
二、拓展提升
11．如图， O P 是 M O N 的平分线， O A = O B ，点 C 在 O P 上，连接 A C 、 B C ，分别过点
D 作 A C 、 B C 的垂线 D E 、 D F ，垂足分别为 E 、 F ．
（1）求证： A C = B C ；
（2）求证： D E = D F ．
12．如图，点D， E 分别在OA， O B 上，点 P 在OC上，且 P D = P E ．若∠ODP＋∠OEP
＝180°，求证： O C 平分 A O B ．13．如图，A、B两点分别在射线 O M , O N 上，点C在 M O N 的内部，且AC=BC，
C D ⊥ O M , C E ⊥ O N ，垂足分别为D，E，且 A D = B E ．
(1)求证： O C 平分 M O N ；
(2)若 A D = 3 , B O = 4 ，求 A O 的长．
三、综合实践
14．校园的一角如图所示，其中线段 A B ， B C ， C D 表示围墙，围墙内是学生的一个活动
区域，小明想在图中的活动区域中找到一点 P ，使得点 P 到三面围墙的距离都相
等．请在图中找出点 P ．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）第9课时 等腰三角形的轴对称性（1）
一、基础练习
1．木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水
平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．等腰三角形的“三线合一”
C．角平分线的性质定理 D．线段垂直平分线的性质定理
（
第
（第1题） （第2题）
2．如图， A B C 中， A B = A C ， D 是 B C 中点，下列结论中不正确的是( )
A． B = C B． A D ⊥ B C C． A D 平分 B A C D． A B = 2 B D
3．如果等腰三角形两边长是 6 c m 和 3 c m ，那么它的周长是 ( )
A． 9 c m B． 1 2 c m C． 1 5 c m 或 1 2 c m D． 1 5 c m
4．等腰三角形的顶角为 8 0 ，则它的底角是 ( )
A．20 B．50 C．60 D．80
5．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______.
6．等腰三角形的两边长为3和4，那么这个三角形的周长是_____________．
7．在 A B C 中， A B = A C ．
（1）如果 A = 7 0 ，那么 C = ，B= ；
（2）如果有一个角等于 1 2 0 ，那么 A = ，B= ，C = ．
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 3 0 ，则它的顶角为 ．
9．如图，在ABC中，AB= AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AB=10cm，
且ABD的周长为23cm．求ABC的周长．（第9题）
10．如图，点D、E在BC上，AB= AC，AD= AE．BAD和CAE有怎样的关系？
请说明理由．
（
（第10题）
二、拓展提升
11．如图等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的中线，且BD将这个等腰三角形周 长
分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
（第11题）
12．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．13.如图，在ABC中，AB= AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分ABC交AC
于点 E ，过点 E 作 E F / / B C 交 A B 于点 F ．
（1）若 C = 3 6 ，求 B A D 的度数；
（2）求证： F B = F E ．
（第13题）
三、综合实践
14．【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB=AC，若∠A=110°，则∠B=_____；若∠B=70°，
则∠A=______．
【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，若连接CA，则CA
平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE=BC，连接
AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写
出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，
AB=AE，BC+DE=CD，∠B+∠AED=180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由．第10课时 等腰三角形的轴对称性（2）
一、基础练习
1．下列条件能判定ABC为等腰三角形的是 ( )
A． A = 3 0 ， B = 6 0 B． A B = 5 ， A C = 1 2 ， B C = 1 3
C． A = 5 0 ， B = 8 0 D．A:B:C =3:4:5
2．如图 A B C 是等边三角形， D ， E ， F 为各边中点，则图中共有正三角形 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（第2题） （第3题）
3．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 F，过点F 作DF∥BC，交AB
于点D，交AC于点E，若BD+CE=6，则线段DE的长为 ( )
A．3 B．6 C．8 D．10
4．如图，已知： M O N = 3 0 ，点 A
1
、 A
2
、 A
3
在射线 O N 上，点 B
1
、 B
2
、 B
3
在射线
OM 上，△ A
1
B
1
A
2
、△ A
2
B
2
A
3
、△ A
3
B
3
A
4
均为等边三角形，若 O A
1
= 1 ，则△ A
6
B
6
A
7
的
边长为( )
（第4题）
A．6 B．12 C．32 D．64
5．在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，则△ABC是_________三角形．
6．下列三角形：①有两个角等于 6 0 ；
②有一个角等于 6 0 的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有_____________.
7．如图， A 、 B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点 C 也在
格点上，且 A B C 为等腰三角形，则符合条件的点 C 共有________个．
8．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：△ADE是等腰三角形．
（（第8题）
9．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且∠1=∠B，∠2=∠C，BC=10 cm，求△ADE的
周长．
（第9题）
10．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，那么AB=AC吗?
为什么?
（
（（第10题）二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC．
求证：△CEB为等边三角形．
（第11题）
12．如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=CD，AB=10
cm．
(1)求BE的长；
(2)BD=ED吗?为什么?
（第12题）
13．如图，在△ABC 中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将一个足够大的直角三角尺 PMN
（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图方式放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角 边
PM始终经过点C，且与CB边的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC边于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并加以说明．
（2）当点 P 在滑动时，是否存在△PCD 是等腰三角形的情形？若存在，请求出夹角 α 的
值；若不存在，请说明理由．
（第13题）三、综合实践
14．如图，在等边△ABC 中，AB=AC=BC=10cm，DC=4cm．如果点 M以 3cm/s 的速度运
动．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它
们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动
速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s点M与点N第一次相遇，则
点N的运动速度是___________cm/s．（直接写出答案）
（第14题）第11课时 等腰三角形的轴对称性（3）
一、基础练习
1．如图，在 R t A B C 中， A C B = 9 0 ， A B = 1 0 ，CD是 A B 边上的中线，则 C D 的长是 (
)
A．20 B．10 C．5 D．
5
2
（第1题） （第2题）
2．如图所示，RtABC中，C=90，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E．当
B = 3 0 时，下列结论不正确的是 ( )
A． A C = A E = B E B． A D = B D C． C D = B D D． C E = B E
3．如图，在 A B C 中， C = 9 0 ， B = 3 0 ，AD是 B A C 的平分线，若CD=2，那么 B D
等于( )
A．6 B．4 C．3 D．2
（第3题） （第4题） （第5题）
4．如图， A B C 中， A B = A C = 1 0 ， B C = 8 ，AD平分 B A C 交 B C 于点 D ，点 E 为 A C 的
中点，连接 D E ，则 C D E 的周长为 ( )
A．20 B．12 C．14 D．13
5．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm，则它的面积是 ．
6．在 A B C 中，C=90，D是 A B 的中点，若 C D = 1 8 c m ，则 A B = ．
7．在ABC中， C = 9 0 ，A=30，AB=10，则BC= ．
8．如图所示，已知：在ABC中，ACB=90，CD⊥ AB，A=30，AB=12cm，则BD=
__________cm．9．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于 260°，求这个等腰三角形各内
角的度数．
10．AC为等腰三角形ABD的腰BD上的高，且∠CAB=60°．求这个三角形各内角的度数．
二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．
求证：△AEF是等腰三角形．
（第11题）
12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3cm,∠B=30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D
不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s,连接AD，作∠ADE=30°，DE交线段AC于点
E．在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA
等于多少度？
（第12题）13．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm,动点P从点A出发沿AB以
2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出
发，请问是否存在某一时刻t,使得△POQ是等腰三角形．
（第13题）
三、综合实践
14．【材料】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半．根据材料，解决下列问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=12cm.动点P从点A出发，沿射线AB运
动，动点Q从点B出发，沿射线BC运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出
发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t=2时，BP=_________cm；
（2）t为多少时，△PBQ是等腰三角形？请说明理由；
（3）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角
形？请说明理由.
（第14题）八年级上册第 2 章 轴对称图形
小结与思考（第一课时——思中学）
一、基础练习
1. 2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布原定于2022年9月10日至25日举行的
杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，赛事名称和标志保持不
变。下列四幅图案是几届亚运会的徽标，其中除文字和太阳元素以外的图案是轴对称图形的
．．．．．．．．．．
是（ ）
A． B． C． D
2．2000年代以来，随着新能源技术的不断发展，环保型交通工具——电动汽车得到了广
泛应用。某小区的三个出入口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划
的建设下，在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出入口的距离都相
等，则充电桩应该安装在 △ A B C （ ）
A．三条中线的交点处 B．三条高所在直线的交点处
C．三个内角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
（第2题） 第3题图（1） 第3题图（2）
3．图（1）是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线
KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠KOP．图（2）中，光线自点
P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
4.如图（1）是苏州园林拙政园的“宜两亭”，“宜两”取唐代诗人白居易诗意“明月好同三
径夜，绿杨宜作两家春”（《欲与元八卜邻，先有是赠》）这是白居易想与元姓朋友（元宗
简）结邻而居，先作诗相赠中的两句话。“宜两亭”的顶端可看作图（2）的等腰三角形
A B C ，AB= AC， D 是边 B C 上的一点．下列条件不能说明 A D 是 △ A B C 的角平分线的
是（ ）
A．ADB=ADC B．BD=CD C．BC=2AD D．S =S
△ABD △ACD第4题图（1） 第4题图（2） （第6题）
5．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则该三角形的腰长为 ．
6．如图，在 △ A B C 中， D E 是 B C 的垂直平分线．若 A B = 5 ， A C = 8 ，则 △ A B D 的周长
是 ．
7．如图，点D是 △ A B C 中BC边上的一点，且 A B = A C = C D ，AD=BD，则BAC
的度数为 °．
（第7题 ） （第8题） 第9题图（1） 第9题图（2）
8．如图， △ A B C 中，C=90， A B = 1 0 ， A C = 8 ， B C = 6 ，线段 D E 的两个端点 D ，
E 分别在边 A C ， B C 上滑动，且 D E = 4 ，若点M ， N 分别是 D E ， A B 的中点，则 M N
的最小值为 ．
9．图（1）为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”
的思想，这一铸钱形状在中国古代延用了二千多年．请你用直尺，在图（2）中作出圆心O
（不写作法，保留作图痕迹）.
10．如图，在 △ A B C 中， A B 的垂直平分线EF 交 B C 于点 E ，交 A B 于点 F ，点 D 为线
段 C E 的中点，且 B E = A C ．
(1)求证：AD⊥ BC；
(2)若C =70，求BAC的度数．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图，已知△ABC，点P为 ∠ B A C 的平分线上一点，PE⊥ AB，PF ⊥ AC，垂足
分别为E，F.
(1)求证： P E = P F(2)若BE=CF，求证：点P在 B C 的垂直平分线上．
（
（第11题）
12．如图，在 △ A B C 中， A C B = 9 0 ， C D 是 A B 边上的高， A E 是 ∠ B A C 的角平分
线， A E 与 C D 交于点 F ，求证： △ C E F 是等腰三角形．
（第12题）
13．如图，在 △ A B C 中，O为 ∠ A B C ， ∠ A C B 的平分线的交点， O D ⊥ A B ，
OE⊥ AC，OF ⊥BC，垂足分别为D,E,F ．
(1) O D 与OE是否相等，请说明理由；
(2)若△ABC的周长是30，且 O F = 4 ，求 △ A B C 的面积．
（第13题）三、综合实践
14．中国共举办过3次亚运会，分别是：1990年，北京亚运会；2010年，广州亚运会；
2023年，杭州亚运会.
你支持哪一座城市代表中国申办下一次亚运会呢？请设计一份调查报告，面向全班同学
进行调查，并根据你调查的结果，确定一个希望的城市，并设计徽标.要求：（1）除文字和太
．．．．．
阳元素外，其他图案是轴对称图形；（2）说明你设计的徽标的寓意.
．．．．小结与思考（第二课时——做中学）
一、基础练习
1.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是
（ ）
A．180° B．220° C．240° D．300°
（第1题） （第2题）
2．已知 △ A B C ( A C B C ) ，用尺规作图的方法在BC上确定一点 P ，使
P A + P C = B C ，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个 4 5 的角，甲、乙两人的折法
如下，下列说法正确的是（ ）
甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，
使点B落在 A D 上的点 B 处， E A D 即为
所求．
乙：如图2，将纸片沿折痕 A E , A F 折
叠，使B，D两点分别落在点B,D处，且
AB与AD在同一直线上，EAF 即为
所求．
A．甲和乙的折法都正确 B．只有甲的折法正确
C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确
4．如图，折叠后， A D 是 △ A B C 的中线的是（ ）
A． B．C． D．
5．为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿AB折叠后，如图，测量得到：①
1=4；② B C = B A ；③ C A = C B ；④ ∠ 3 = ∠ 4 ．其中能够判定两条边线 E F 、 G H 互相
平行的序号是 ．
6．如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜 O B 、 O A 反射后，沿EF方向射出，已知
AOB=120，CDB=20，则 A E F = °．
（第5题） （第6题） （第7题）
7．如图，在三角形纸片 A B C 中， A C = B C ．把 △ A B C 沿着 A C 翻折，点 B 落在点 D
处，连接 B D ．如果 B A C = 3 5 ，则CBD的度数是 ．
（第8题） （第9题） （第10题）
8. 如图，在 △ A B C 中， ∠ A C B = 9 0 ，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于
1
2
A B 的
长为半径画弧，交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为
半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为12，则BC的长为 ．
9.已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A，B两球分别位于图中所在位置，试
问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线
路．
10.小明学习了轴对称知识后，忽然想起了参加数学兴趣小组时老师布置的一道题，当时
小明没做出来，题目是这样的：有一组数据排列成方阵，如图，试用简便方法计算这组数
据的和.小明想：不考虑每个数据的大小，只考虑每个数据的位置，这个图形是个轴对称图
形，能不能用轴对称思想来解决这个问题呢?小明顺着这个思路很快解决了这个题目，请你
写出他的解题过程.二、拓展提升
11．已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作
．．．．．
图痕迹，不写作法）：
(1)在图①中，作出该图形的对称轴l；
(2)在图②中，作出点P的对称点P．
（第11题）
12．在 △ A B C 中， A B A C ，点E在 B C 边上，连结 A E ，将△AEC沿AE翻折使得点
D落在 A B 边上得△AED，连结 D C ．
(1)如图1，ABC=50， A C B = 9 0 ，求 B C D 的度数．
(2)如图2，若 A B = B C ，BD=DE，求BCD的度数．
（第12题）
13.折纸中的数学
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过
程还蕴含着丰富的数学知识．将长方形纸片（长方形的对边平行且相等，四个内角都是直
角），按下列要求折叠．（第13题）
(1)如图1，将长方形纸条沿直线 E F 折叠，点C落在 C 处，点D落在 D ¢ 处， C F 交AD
于点G．
①若 1 = 3 5 ，则 A G C = ________；
②若AGC=31，求AGC的度数．
(2)在图1的基础上，将四边形 A B F G 沿某一直线折叠，使得AG或BF落在直线GF
上，折痕为 M N ，则折痕MN、EF有怎样的位置关系，并说明理由．
(3)若 A B = 3 , B C = 1 2 ，按图2方式折叠，点C、G、F、A在一条直线上．若四边形
B A F H 的面积记为 S
1
，四边形 D E G C 的面积记为S ，则
2
S
1
+ S
2
的值是否有最大值？
若有，求出这个值；若没有，请说明理由．
三、综合实践
14．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物
‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？
请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝
“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收
集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________．
A． B． C． D．
任务二：设计风筝
设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接
下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架
的另一半．
任务三：制作风筝传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准
备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知 A D ⊥ B C 于点D， B D = C D ， A B = 6 0 c m ，则
竹条 A C 的长为________ c m ．
任务四：放飞风筝
同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完
善．
项目反思：
同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一
条在项目实施的过程中用到的数学知识________________．
