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第13 章 轴对称 测试卷（1）
一、选择题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，
必须保证∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
A．形状没有改变，大小没有改变
B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变
D．形状有改变，大小有改变
4．正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A 、B 、C ，使
1 1 1
AA =BB =CC =1，则△A B C 的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB
的中点D，则AC=（ ）
第1页（共34页）A．5B． C． D．6
7．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
9．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列图案中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
11．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对
称图形的是（ ）
第2页（共34页）A． B． C． D．
13．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边
形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（
）
A． B．2C． D．2
16．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P 、P ，连接OP 、
1 2 1
OP ，则下列结论正确的是（ ）
2
A．OP ⊥OP B．OP =OP
1 2 1 2
C．OP ⊥OP 且OP =OP D．OP ≠OP
1 2 1 2 1 2
17．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于
OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线
上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
第3页（共34页）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
18．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关
于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF
C．∠AEB+22°=∠DEFD．4cos∠AGB=
二、填空题
19．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种
衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图 1，衣架杆
OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是
cm．
20．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在
答题卡上写出这个单词所指的物品 ．
第4页（共34页）21．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分．
A．一个正五边形的对称轴共有 条．
B．用科学计算器计算： +3tan56°≈ （结果精确到0.01）
22．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，在BE上截取
BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为
．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，
DF=DE，则∠E= 度．
24．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，
把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到
图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个
数是 ．
25．如图，点B 是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB 为一边，构造
1 1
等边△OB A（点O，B ，A 按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B 是△OB A
1 1 1 1 2 1 1
的两条中线的交点，再以OB 为一边，构造等边△OB A（点O，B ，A 按逆时针方
2 2 2 2 2
第5页（共34页）向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB A 的边OA 与
n n n
等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面
积是 ．
26．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB 为边作等边三角形，得
1
到第一个等边三角形AB C ，再以等边三角形AB C 的B C 边上的高AB 为边作等
1 1 1 1 1 1 2
边三角形，得到第二个等边三角形AB C ，再以等边三角形AB C 的边B C 边上的
2 2 2 2 2 2
高AB 为边作等边三角形，得到第三个等边AB C ；…，如此下去，这样得到的第n
3 3 3
个等边三角形AB C 的面积为 ．
n n
27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0， ），点A在第一象限且
AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM
对称，则点M的坐标是（ ， ）．
28．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P
第6页（共34页）到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分
别是 ．
三、解答题
29．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
30．如图，O为△ABC内部一点，OB=3 ，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称
轴的对称点．
（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的
长度为何在此时会等于7的理由．
（2）承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会
大于7？并完整说明你判断的理由．
第7页（共34页）参考答案与试题解析
一、选择题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分
完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，
必须保证∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，
则能求出∠1的度数．
【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
第8页（共34页）∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，
∴∠2=60°，
∴∠1=60°．
故选：C．
【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．
3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
A．形状没有改变，大小没有改变
B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变
D．形状有改变，大小有改变
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答．
【解答】解：∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，
∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变．
故选：A．
【点评】本题考虑轴对称的性质，是基础题，熟记轴对称变换不改变图形的形状与
大小是解题的关键．
4．正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据正方形的对称性解答．
【解答】解：正方形有4条对称轴．
故选：D．
第9页（共34页）【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
5．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A 、B 、C ，使
1 1 1
AA =BB =CC =1，则△A B C 的面积是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】依题意画出图形，过点A 作A D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小
1 1
正三角形△AA D；由AC =2，AD=1，得点D为AC 中点，因此可求出S =2S =
1 1 1 △AA1C1 △AA1D
；同理求出S =S = ；最后由S =S ﹣S ﹣S ﹣S
△CC1B1 △BB1A1 △A1B1C1 △ABC △AA1C1 △CC1B1 △BB1A1
求得结果．
【解答】解：依题意画出图形，如下图所示：
过点A 作A D∥BC，交AC于点D，易知△AA D是边长为1的等边三角形．
1 1 1
又AC =AC﹣CC =3﹣1=2，AD=1，
1 1
∴点D为AC 的中点，
1
∴S =2S =2× ×12= ；
△AA1C1 △AA1D
同理可求得S =S = ，
△CC1B1 △BB1A1
∴S =S ﹣S ﹣S ﹣S = ×32﹣3× = ．
△A1B1C1 △ABC △AA1C1 △CC1B1 △BB1A1
故选B．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方法
多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法．
第10页（共34页）6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB
的中点D，则AC=（ ）
A．5B． C． D．6
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】连结CD，直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB，利用半径相等得
到CD=CB=DB，可判断△CDB为等边三角形，则∠B=60°，所以∠A=30°，然后根据
含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC，再计算AC．
【解答】解：连结CD，如图，
∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=DA=DB，
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，
∴△CDB为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC= AB= ×10=5，
∴AC= BC=5 ．
故选C．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角
第11页（共34页）形；等边三角形的三个内角都等于60°．也考查了直角三角形斜边上的中线性质
以及含30度的直角三角形三边的关系．
7．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合．
8．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，
B、不是轴对称图形，
C、不是轴对称图形，
D、是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线
折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
第12页（共34页）9．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据对称轴的概念求解．
【解答】解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个
图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴．
10．下列图案中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选；D．
【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形
的关键是寻找对称轴．
第13页（共34页）11．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合．
12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对
称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合．
13．下列图案是轴对称图形的是（ ）
第14页（共34页）A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，
B、不是轴对称图形，
C、不是轴对称图形，
D、不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
14．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质作出选择．
【解答】解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．
故选：A．
第15页（共34页）【点评】本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思
想．
15．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边
形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（
）
A． B．2C． D．2
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质．
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的
等腰三角形是等边三角形即可求得．
【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= = = ，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC= ．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用
第16页（共34页）勾股定理得出正方形的边长是关键．
16． P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P 、P ，连接OP 、
1 2 1
OP ，则下列结论正确的是（ ）
2
A．OP ⊥OP B．OP =OP
1 2 1 2
C．OP ⊥OP 且OP =OP D．OP ≠OP
1 2 1 2 1 2
【考点】轴对称的性质．
【专题】压轴题．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质求出OP 、OP 的数量与夹角即可得解．
1 2
【解答】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P 、P ，
1 2
∴OP =OP =OP，
1 2
∠AOP=∠AOP ，∠BOP=∠BOP ，
1 2
∴∠P OP =∠AOP+∠AOP +∠BOP+∠BOP ，
1 2 1 2
=2（∠AOP+∠BOP），
=2∠AOB，
∵∠AOB度数任意，
∴OP ⊥OP 不一定成立．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作出
图形更形象直观．
17．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于
OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线
上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）
第17页（共34页）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
【考点】轴对称的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用MN=4cm，得出
NQ的长，即可得出QR的长．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称
点R落在MN的延长线上，
∴PM=MQ，PN=NR，
∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，
∴RN=3cm，MQ=2.5cm，
即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM=MQ，PN=NR是解题关键．
18．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关
于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF
第18页（共34页）C．∠AEB+22°=∠DEFD．4cos∠AGB=
【考点】轴对称的性质；解直角三角形．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利
用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对
各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE= = ，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE= ，
∴AD=1+ ，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故A正确；
CF=BF﹣BC= ﹣1，
∴2BC=2×1=2，
5CF=5（ ﹣1），
∴2BC≠5CF，故B错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE= =67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C错误；
由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（ ）2﹣（ ）2= ，
∴OE= ，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
第19页（共34页）∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB= = = ，4cos∠AGB=2 ，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，
正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容
易理解．
二、填空题
19．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种
衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图 1，衣架杆
OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是
18 cm．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】应用题．
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
第20页（共34页）∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18
【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等
边三角形进行分析．
20．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在
答题卡上写出这个单词所指的物品 书 ．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答．
【解答】解：如图，
这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形．
21．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分．
A．一个正五边形的对称轴共有 5 条．
B．用科学计算器计算： +3tan56°≈ 10.02 （结果精确到0.01）
【考点】轴对称的性质；计算器—数的开方；计算器—三角函数．
【专题】常规题型；计算题．
【分析】A．过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴．
B．先用计算器求出 、tan56°的值，再计算加减运算．
【解答】解：（A）如图，
正五边形的对称轴共有5条．
故答案为：5．
（B） ≈5.5678，tan56°≈1.4826，
则 +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02
故答案是：10.02．
第21页（共34页）【点评】A题考查了轴对称的性质，熟记正五边形的对称性是解题的关键．B题考
查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01．
22．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，在BE上截取
BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为
．
【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角
形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据
面积的和差，可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4 ，得
第22页（共34页）AD=BE= BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．
由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．
由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°
由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．
由GE为边作等边三角形GEF，得
FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，
△MHE是等边三角形；
S = AC•BE= AC×EH×3
△ABC
EH= BE= ×6=2．
由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，
由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，
由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，
由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，
由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，
由锐角三角函数，得FN=1，IN= ．
S =S ﹣S ﹣S
五边形NIGHM △EFG △EMH △FIN
= ×42﹣ ×22﹣ × ×1= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，
直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，
DF=DE，则∠E= 1 5 度．
第23页（共34页）【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等
即可得出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性
质，难度适中．
24．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，
把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到
图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个
数是 40 0 ．
【考点】等边三角形的判定与性质；平移的性质．
【专题】规律型．
【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边
三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的
个数．
【解答】解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
第24页（共34页）∵A′B′∥AB，BB′=B′C= BC，
∴B′O= AB，CO= AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400．
故答案为：400．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是
据图找出规律．
25．如图，点B 是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB 为一边，构造
1 1
等边△OB A（点O，B ，A 按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B 是△OB A
1 1 1 1 2 1 1
的两条中线的交点，再以OB 为一边，构造等边△OB A（点O，B ，A 按逆时针方
2 2 2 2 2
向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB A 的边OA 与
n n n
等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面
积是 ．
第25页（共34页）【考点】等边三角形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】由于点B 是△OBA两条中线的交点，则点B 是△OBA的重心，而△OBA是
1 1
等边三角形，所以点B 也是△OBA的内心，∠BOB =30°，∠A OB=90°，由于每构造
1 1 1
一次三角形，OB 边与OB边的夹角增加30°，所以还需要（360﹣90）÷30=9，即一
i
共1+9=10次构造后等边△OB A 的边OA 与等边△OBA的边OB第一次重合；又
n n n
因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
由△OB A 与△OBA的面积比为 ，求得构造出的最后一个三角形的面积．
1 1
【解答】方法一：
解：∵点B 是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，
1
∴点B 是△OBA的重心，也是内心，
1
∴∠BOB =30°，
1
∵△OB A 是等边三角形，
1 1
∴∠A OB=60°+30°=90°，
1
∵每构造一次三角形，OB 边与OB边的夹角增加30°，
i
∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB A 的边OA 与等
n n n
边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB A ．
10 10
如图，过点B 作B M⊥OB于点M，
1 1
∵cos∠B OM=cos30°= = ，
1
第26页（共34页）∴ = = = ，即 = ，
∴ =（ ）2= ，即S = S = ，
△OB1A1 △OBA
同理，可得 =（ ）2= ，即S = S =（ ）2= ，
△OB2A2 △OB1A1
…，
∴S = S =（ ）10= ，即构造出的最后一个三角形的面积是 ．
△OB10A10 △OB9A9
故答案为 ．
方法二：
∵∠AOA =30°，∠A OA =30°，∠AOB=60°，
1 1 2
∴每构造一次增加30°，
∴n= =10，
∵△OBA∽△OB A ，
1 1
∴ ，
⇒
∵S =1，
△OBA
∴S = ，q= ，
△OB1A1
∴S = ．
△OB10A10
第27页（共34页）【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性
质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB A
10 10
及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB A 与△OBA的面积比
1 1
为 ，进而总结出规律是解题的关键．
26．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB 为边作等边三角形，得
1
到第一个等边三角形AB C ，再以等边三角形AB C 的B C 边上的高AB 为边作等
1 1 1 1 1 1 2
边三角形，得到第二个等边三角形AB C ，再以等边三角形AB C 的边B C 边上的
2 2 2 2 2 2
高AB 为边作等边三角形，得到第三个等边AB C ；…，如此下去，这样得到的第n
3 3 3
个等边三角形AB C 的面积为 （ ） n ．
n n
【考点】等边三角形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】由AB 为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B 为BC的
1 1
中点，求出BB 的长，利用勾股定理求出AB 的长，进而求出第一个等边三角形
1 1
AB C 的面积，同理求出第二个等边三角形AB C 的面积，依此类推，得到第n个等
1 1 2 2
第28页（共34页）边三角形AB C 的面积．
n n
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB ⊥BC，
1
∴BB =1，AB=2，
1
根据勾股定理得：AB = ，
1
∴第一个等边三角形AB C 的面积为 ×（ ）2= （ ）1；
1 1
∵等边三角形AB C 的边长为 ，AB ⊥B C ，
1 1 2 1 1
∴B B = ，AB = ，
1 2 1
根据勾股定理得：AB = ，
2
∴第二个等边三角形AB C 的面积为 ×（ ）2= （ ）2；
2 2
依此类推，第n个等边三角形AB C 的面积为 （ ）n．
n n
故答案为： （ ）n．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的
性质是解本题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0， ），点A在第一象限且
AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM
对称，则点M的坐标是（ 1 ， ）．
【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】根据点 B的坐标求出 OB的长，再连接 ME，根据轴对称的性质可得
OB=OE，再求出AO的长度，然后利用勾股定理列式求出AB的长，利用∠A的余弦
第29页（共34页）值列式求出AM的长度，再求出BM的长，然后写出点M的坐标即可．
【解答】解：∵点B（0， ），
∴OB= ，
连接ME，
∵点B和点E关于直线OM对称，
∴OB=OE= ，
∵点E是线段AO的中点，
∴AO=2OE=2 ，
根据勾股定理，AB= = =3，
cosA= = ，
即 = ，
解得AM=2，
∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，
∴点M的坐标是（1， ）．
故答案为：（1， ）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握轴
对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
28．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P
到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分
别是 1 ， 7 ．
【考点】等边三角形的性质；平行线之间的距离．
【专题】计算题；压轴题．
第30页（共34页）【分析】根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线
NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；
当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为
等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，
以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC﹣BF﹣CG求出FG的长，
求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离
和最大距离．
【解答】解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直
线NG与直线ME都与AC的距离为2，
当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的
最大距离，
根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，
∴DB=FB= = ，CE=CG= = ，
∴DE=DB+BC+CE= + + = ，FG=BC﹣BF﹣CG= ，
∴NH= FG=1，MQ= DE=7，
则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．
故答案为：1，7．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是
解本题的关键．
三、解答题
29．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
第31页（共34页）（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可
求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐
角所对的直角边等于斜边的一半．
30．如图，O为△ABC内部一点，OB=3 ，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称
轴的对称点．
（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的
第32页（共34页）长度为何在此时会等于7的理由．
（2）承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会
大于7？并完整说明你判断的理由．
【考点】轴对称的性质；三角形三边关系．
【分析】（1）连接PB、RB，根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后判断出点
P、B、R三点共线时PR=7，再根据平角的定义求解；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
【解答】解：（1）如图，∠ABC=90°时，PR=7．
证明如下：连接PB、RB，
∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，
∴PB=OB=3 ，RB=OB=3 ，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°，
∴点P、B、R三点共线，
∴PR=2×3 =7；
（2）PR的长度是小于7，
理由如下：∠ABC≠90°，
则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴PB+BR＞PR，
∵PB+BR=2OB=2×3 =7，
∴PR＜7．
第33页（共34页）【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，熟
记各性质是解题的关键．
第34页（共34页）
