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第12 章 全等三角形 测试卷（3）
一、选择题
1．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，
DE⊥BC 于 E，FG⊥BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：① BE=CG；
②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①②④
二、填空题
2．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中
点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
3．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交
BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是 ．
4．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且
DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 ．
第1页（共56页）5．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= ．
6．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B
1
在y轴上且坐标是（0，2），点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上，C 的坐标是（1，0）．
1 1 2 2 3 4 3 1
B C ∥B C ∥B C ，以此继续下去，则点A 到x轴的距离是 ．
1 1 2 2 3 3 2014
7．如图，在边长为6 的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一
点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则
FG= ．
8．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点 O，点D在CA的延长线上，且
DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 ．
第2页（共56页）9．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为
．
10．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、
△BCE、△ABC的面积分别是S 、S 、S ，现有如下结论：
1 2 3
①S ：S =AC2：BC2；
1 2
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S •S = S 2．
1 2 3
其中结论正确的序号是 ．
三、解答题
11．如图，已知点 E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，
∠1=∠2．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
第3页（共56页）12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．
得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
（3）求证：四边形ABFE是菱形．
13．如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，
连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点
F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．
14．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长
线上分别取点E，F，连结BE，CF．
（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ，并证明．
第4页（共56页）（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
15．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于
点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，
过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重
合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证
明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结
论，无需证明．
第5页（共56页）17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，
且DE=CF，连接OE，OF．求证：OE=OF．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F
恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．
19．探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点
E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CBD．
应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使
BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．
20．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，
使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．
第6页（共56页）21．如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连
AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
22．（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均
在格点上．
①sinB的值是 ；
②画出△ABC关于直线l对称的△A B C（A与A ，B与B ，C与C 相对应），连接
1 1 1 1 1 1
AA ，BB ，并计算梯形AA B B的面积．
1 1 1 1
23．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求
证：
（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．
第7页（共56页）24．如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧
相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交 BE，CE于点F，G．若BC=4，
∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
25．如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交
射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；
（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）
（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的
延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系
不需要证明；
（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S =4 ，则BE= ，CD= ．
△ABC
26．如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=AC．
第8页（共56页）（1）你添加的条件是 ；
（2）请写出证明过程．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，
∠BDC=90°．
（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；
下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：
证明：设AB与CD相交于点O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠① ．
∵M是DC的中点，
∴CM= CD=② ．
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC．
（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以DN为斜边的
等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，
请说明理由；
（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．
第9页（共56页）28．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．
29．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC
于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
第10页（共56页）参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，
DE⊥BC 于 E，FG⊥BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：① BE=CG；
②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③ D．①②④
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出 BE=CG，
DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就
可以得出PE=1，从而得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，
，
∴△DEB≌△FGC（AAS），
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
，
第11页（共56页）∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1．故④正确．
正确的有①②④，
故选D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，
解答时证明三角形全等是关键．
二、填空题
2．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中
点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 1 或 2
cm．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得
到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而
利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角
形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 DE=NQ，
∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂
直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP
的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
第12页（共56页）∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°= ，即DE= cm，
根据勾股定理得：AE= =2 cm，
∵M为AE的中点，
∴AM= AE= cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°= ，
∴AP= = =2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
综上，AP等于1cm或2cm．
故答案为：1或2．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角
形的判定与性质是解本题的关键．
第13页（共56页）3．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交
BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是 7 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性
质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据线段中点的定义可得 CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和
△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得 DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出
BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到
两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据
矩形的对边相等可得BC=AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG= ×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG= = ，
∴EF=2 ，
∵FH垂直平分BE，
第14页（共56页）∴BF=EF，
∴4+2x=2 ，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的
点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程
是解题的关键．
4．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且
DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【专题】计算题；几何图形问题．
【分析】在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，证明△OBG≌△OCF，则 OG=OF，
∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根据射影定理求得GF
的长，即可求得OF的长．
【解答】解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中
第15页（共56页）∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE= = =2 ，
∵BC2=BF•BE，
则62=BF ，解得：BF= ，
∴EF=BE﹣BF= ，
∵CF2=BF•EF，
∴CF= ，
∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ，
在等腰直角△OGF中
OF2= GF2，
∴OF= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、
第16页（共56页）勾股定理的应用．
5．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= 6 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得
AC=DF=6．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF=6．
故答案是：6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形
的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全
等时，关键是选择恰当的判定条件．
6．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B
1
在y轴上且坐标是（0，2），点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上，C 的坐标是（1，0）．
1 1 2 2 3 4 3 1
B C ∥B C ∥B C ，以此继续下去，则点A 到x轴的距离是 ．
1 1 2 2 3 3 2014
第17页（共56页）【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质；相似三角形
的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】根据勾股定理可得正方形A B C D 的边长为 = ，根据相似三角
1 1 1 1
形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的 ，依次得到第2014
个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A 到x轴的距离．
2014
【解答】解：如图，∵点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C 在x轴上，B C ∥B C ∥B C ，
1 1 2 2 3 4 3 1 1 2 2 3 3
∴△B OC ∽△B E C ∽B E C …，△B OC ≌△C E D ，…，
1 1 2 2 2 3 4 3 1 1 1 1 1
∴B E =1，B E = ，B E = ，B E = …，
2 2 3 4 4 6 5 8
∴B E = ，
2014 4016
作A E⊥x轴，延长A D 交x轴于F，
1 1 1
则△C D F∽△C D E ，
1 1 1 1 1
∴ = ，
在Rt△OB C 中，OB =2，OC =1，
1 1 1 1
第18页（共56页）正方形A B C D 的边长为为 = ，
1 1 1 1
∴D F= ，
1
∴A F= ，
1
∵A E∥D E ，
1 1 1
∴ = ，
∴A E=3，∴ = ，
1
∴点A 到x轴的距离是 × =
2014
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各
边长是解题关键．
7．如图，在边长为6 的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一
点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则
FG= 5 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形
的判定与性质．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角
形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到
第19页（共56页）四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形
Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．
【解答】解：如图所示，连接CG．
在△CGD与△CEB中
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH．
过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN．
在△HEM与△HCN中，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM=HN，
∴四边形MBNH为正方形．
∵BH=8，
∴BN=HN=4 ，
∴CN=BC﹣BN=6 ﹣4 =2 ．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2 ．
∴GH=CH=2 ．
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
第20页（共56页）又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴ ，即 ，
∴FG=5 ．
故答案为：5 ．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三
角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三
角形，是解决本题的关键．
8．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点 O，点D在CA的延长线上，且
DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 60 ° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得
∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可
得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°
【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
第21页（共56页），
∴△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角
形全等是解决此题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为
．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与
△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可
得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
第22页（共56页）在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，
勾股定理，作出全等图形是解题关键．
10．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、
△BCE、△ABC的面积分别是S 、S 、S ，现有如下结论：
1 2 3
①S ：S =AC2：BC2；
1 2
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S •S = S 2．
1 2 3
其中结论正确的序号是 ①②③ ．
第23页（共56页）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；
②根据SAS即可求得全等；
③根据面积公式即可判断．
【解答】①S ：S =AC2：BC2正确，
1 2
解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S ：S =AC2：BC2．
1 2
②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．
③若AC⊥BC，则S •S = S 2正确，
1 2 3
解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高= a，
△BCE的高= b，
∴S = a a= a2，S = b b= b2，
1 2
第24页（共56页）∴S •S = a2 b2= a2b2，
1 2
∵S = ab，
3
∴S 2= a2b2，
3
∴S •S = S 2．
1 2 3
【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三
角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键．
三、解答题
11．如图，已知点 E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，
∠1=∠2．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠F，再利用“角角边”证明
△AED和△CFB全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得 AD=BC，∠DAE=∠BCF，再求出
∠DAC=∠BCA，然后根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一
个角是直角的平行四边形是矩形解答．
【解答】（1）证明：∵DE∥BF，
∴∠E=∠F，
在△AED和△CFB中，
第25页（共56页），
∴△AED≌△CFB（AAS）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．
理由如下：∵△AED≌△CFB，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD⊥CD，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定以
及平行四边形与矩形的联系，熟记各图形的判定方法和性质是解题的关键．
12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．
得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
（3）求证：四边形ABFE是菱形．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和
△ACE全等．
第26页（共56页）（2）根据全等三角形对应角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得．
（3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然
后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，
∴∠ACE= （180°﹣∠CAE）= （180°﹣100°）=40°；
（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质以
及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
13．如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，
连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点
F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
第27页（共56页）（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转可得∠BAE=∠CAD，从而SAS证明△ACD≌△ABE，得出答案
BE=CD；
（2）由AD⊥BC，SAS可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，
再由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，从而得出∠EBF=∠EFB，则EB=EF，证明得出四边形
BDFE为菱形．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A
顺时针旋转α到AE，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE=CD；
（2）∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD，
在△ABD和△ABE中，
，
第28页（共56页）∴△ABD≌△ABE（SAS），
∴∠EBF=∠DBF，
∵EF∥BC，
∴∠DBF=∠EFB，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴BD=BE=EF=FD，
∴四边形BDFE为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质．
14．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长
线上分别取点E，F，连结BE，CF．
（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 EH=FH ，并证明．
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】几何综合题；分类讨论．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH
时，都可以证明△BEH≌△CFH，
（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为
矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
【解答】（1）答：添加：EH=FH，
证明：∵点H是BC的中点，
∴BH=CH，
在△BEH和△CFH中，
第29页（共56页），
∴△BEH≌△CFH（SAS）；
（2）解：∵BH=CH，EH=FH，
∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
∵当BH=EH时，则BC=EF，
∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，
难度不大．
15．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于
点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知
∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内
角和定理求得∠BPC=120°．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
第30页（共56页）∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°﹣60°=120°．
即：∠BPC=120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的
判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等
时，关键是选择恰当的判定条件．
16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，
过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重
合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证
明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结
论，无需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）如答图2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明
BD=DP；
第31页（共56页）（2）如答图3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP．
【解答】题干引论：
证明：如答图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．
∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，
∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．
（1）答：BD=DP成立．
证明：如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．
∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，
第32页（共56页）∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．
（2）答：BD=DP．
证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．
在△BDF与△PDA中，
∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的
性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，
且DE=CF，连接OE，OF．求证：OE=OF．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题．
【分析】欲证明OE=OF，只需证得△ODE≌△OCF即可．
第33页（共56页）【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
AC=BD，OD= BD，OC= AC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD，
即∠EDO=∠FCO，
在△ODE与△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质．全等三角形的判定是
结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关
键是选择恰当的判定条件．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F
恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的
第34页（共56页）定义．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定
理求得三角形全等．
（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根
据勾股定理可求得，tan∠B= = ，CE=EF= ，在RT△ACE中，tan∠CAE= =
= ；
【解答】（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；
（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC= = = m，
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴ = ，
∵CE=EF，
∴ = = ；
解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B= = = ，
在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B= ，
第35页（共56页）∴CE=EF= ，
在RT△ACE中，tan∠CAE= = = ；
∴tan∠CAE= ．
【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据
已知条件表示出线段的值是解本题的关键．
19．探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点
E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CBD．
应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使
BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】探究：先判断出△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；
应用：连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据
全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．
【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
第36页（共56页）即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；
应用：如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，
由探究可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的
性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出
探究的条件是解题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，
使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
第37页（共56页）【专题】证明题．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得 BC=CD，对角线平分一组对角可得
∠BCP=∠DCP，再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应
角相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证．
【解答】证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，
熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．
21．如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连
AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；证明题．
【分析】（1）以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，
再以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆
第38页（共56页）心，以大于它们 长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与
BE的交点即为所求的点F；
（2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明
△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分线，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠E=∠ACF．
【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等
于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．
22．（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均
在格点上．
①sinB的值是 ；
②画出△ABC关于直线l对称的△A B C（A与A ，B与B ，C与C 相对应），连接
1 1 1 1 1 1
AA ，BB ，并计算梯形AA B B的面积．
1 1 1 1
第39页（共56页）【考点】全等三角形的判定与性质；作图-轴对称变换；锐角三角函数的定义．
【专题】网格型．
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根据梯
形的面积公式，可得答案．
【解答】（1）证明：BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF．
即BF=CE．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴∠A=∠D；
（2）解：①∵AC=3，BC=4，
∴AB=5．
sinB= ；
②如图所示：
第40页（共56页）由轴对称性质得AA =2，BB =8，高是4，
1 1
∴ = =20．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的
判定与性质．
23．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求
证：
（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出
∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对
应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定
理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．
【解答】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
第41页（共56页）∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE（SAS），
∴BH=DE；
（2）∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
又∵∠CGB=∠MGD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出
全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
24．如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧
相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交 BE，CE于点F，G．若BC=4，
∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
第42页（共56页）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC
为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得
BE=CE；
（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和
定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD= BC=2，∠EBD=30°，根据含30°的直
角三角形三边的关系得到ED= BD= ，然后根据扇形的面积公式求解．
【解答】（1）证明：∵点D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BE=CE；
（2）解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD= BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=BD•tan30°= BD= ，
∴阴影部分（扇形）的面积= = π．
第43页（共56页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三
角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、
相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式．
25．如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交
射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；
（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）
（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的
延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系
不需要证明；
（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S =4 ，则BE= 8 ，CD= 4 或 8 ．
△ABC
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；
平行四边形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）通过△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因为通过证四边形BCFM是平
行四边形可以得出BM=CF，从而证得CF+BE=CD；
（2）作FM∥BC，得出四边形BCFM是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA
即可求得，
第44页（共56页）（3）根据△ABC的面积可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，图
②CD=4图③CD=8，
【解答】（1）证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，
∵CF∥AB，
∴四边形BMFC是平行四边形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF与△CDA中，
，
∴△MEF≌△CDA（AAS），
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF．
（2）如图②，CF+CD=BE，如图③，CF﹣CD=BE；
（3）∵△ABC是等边三角形，S =4 ，
△ABC
∴易得AB=BC=AC=4，
如图②，
第45页（共56页）∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由（2）知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8．
如图③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
综上，BE=8，CD=4或8．
第46页（共56页）【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的
判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半等．
26．如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=AC．
（1）你添加的条件是 ∠ B = ∠ C ；
（2）请写出证明过程．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如∠B=∠C或∠ADB=∠ADC
等；
（2）根据全等三角形的判定定理AAS推出△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的
性质得出即可．
【解答】解：（1）添加的条件是∠B=∠C，
故答案为：∠B=∠C；
第47页（共56页）（2）证明：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定
理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，
∠BDC=90°．
（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；
下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：
证明：设AB与CD相交于点O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠① ∠ MCA ．
∵M是DC的中点，
∴CM= CD=② BD ．
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC．
（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以DN为斜边的
等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，
请说明理由；
第48页（共56页）（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和中点的性质就可以的得出结论；
（2）存在．在BD上截取BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，
∠DAC=∠NAB，得出∠NAD=90°而得出结论；
（3）当 BD＞CD 时，如图 3，在 BD 上截取 BN=CD，由条件可以得出，
△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出△AND是等腰直角三角形，就
可以得出ND= AD，就可以得出BD﹣CD= ．当BD＜CD事实，如图4，在CD
上取一点 N，使 CN=BD，由条件可以得出，△ACN≌△ABD，就有 AN=AD，
∠DAB=∠NAC，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND= AD，就可以得
出CD﹣BD= ．
【解答】解：（1）由题意，得
①根据直角三角形的性质就可以得出∴∠DBO=∠MCA（或∠ACO）；
②由等式的性质就可以得出CM=BD；
故答案为：∠MCA，BD；
（2）存在
理由：如图3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，
，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形；
（3）①当CD＜BD时， AD=BD﹣CD．
理由：如图3，在BD上截取BN=CD，
第49页（共56页）∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，
，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形；
∴ND= AD．
∵ND=BD﹣BN，
∴ND=BD﹣CD，
∴ AD=BD﹣CD
②当CD＞BD时， AD=CD﹣BD；
理由：如图4，在CD上取一点N，使CN=BD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA，
∴∠ABD=∠ACD．
在△ACN和△ABD中，
，
∴△ACN≌△ABD（SAS），
∴AN=AD，∠DAB=∠NAC．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAB+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形，
∴DN= AD．
第50页（共56页）∵DN=CD﹣CN，
∴DN=CD﹣BD，
∴ AD=CD﹣BD．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与
性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全
等是关键．
28．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．
求证：AE=BF．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直
线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的
关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG 与∠CBF 的关系，根据 ASA，可得
△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．
第51页（共56页）【解答】证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAG=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形
的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．
29．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．
（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
第52页（共56页）∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE=CF．
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．
【点评】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关
键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．
30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC
于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
第53页（共56页）（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题；几何综合题．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，
从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边
角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得
到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得 AC=CE，再利用“HL”证明
Rt△ ACM 和 Rt△ ECM 全 等 ， 根 据 全 等 三 角 形 对 应 角 相 等 可 得
∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得
AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相
等证明即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
第54页（共56页）在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；
②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
第55页（共56页）∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN（ASA），
∴DE=DN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角
平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角
三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的
角．
第56页（共56页）
