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第十二章 全等三角形 (B·能力提升)
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列各组两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误．
B、两个图形能够完全重合，故本选项正确；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；
D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
故选：B．
2．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．
故选：C．
3．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．72° B．60° C．50° D．58°
【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝58°．故选：D．
4．（4分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故 A
选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故 D选
项错误．
故选：C．
5．（4分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角
的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的
判定方法是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：在△ADC和△ABC中，{AD=AB
DC=BC，
AC=AC
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
6．（4分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE
＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
1 1
∴S△BCE = BC•EF= ×5×2＝5，
2 2
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明
△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
8．（4分）下列各组条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F
B．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E
D．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90°
【解答】解：A．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理 AAS，能推出
△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项
不符合题意；
C．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选
项符合题意；
D．∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，符合两直角三角形全等的HL，能推出Rt△ABC≌△RtDEF，
故本选项不符合题意；
故选：C．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，延长中线AD至E，使DE＝AD，连结CE，则△CDE的
周长可能是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：在△ADB和△EDC中，
{
AD=ED
∠ADB=∠CDE，
BD=CD
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB＝EC＝4，
∵AD+CD＞AC＝7，
∴CD+DE＞7，∴△CDE的周长大于4+7＝11，
故选：D．
10．（4分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
{
AB=DE
∠ABC=∠DEA=90°，
BC=AE
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：C．
11．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是
BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
12．（4分）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角
形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）
A．28 B．29 C．30 D．31
【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）已知：△ABC≌△DEF，若∠ABC＝65°，则∠DEF＝ 65 ° ．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠ABC＝65°，
∴∠DEF＝∠ABC＝65°，
故答案为：65°．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 5
．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
1 1
∴△ABD的面积= ×AB×DE= ×5×2＝5，
2 2
故答案为5．
15．（4分）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由 C走到D的过程中，通过隔离带的空
隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行
线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 1 6 米 ．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
{∠ABP=∠CDP
PB=PD ，
∠APB=∠CPD
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16（米），
故答案为：16米．
16．（4分）如图，在第1个△ABA 中，∠B＝40°，∠BAA ＝∠BA A，在A B上取一点C，延长AA 到
1 1 1 1 1
A ，使得在第2个△A CA 中，∠A CA ＝∠A A C；在A C上取一点D，延长A A 到A ，使得在第3个
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3
△A DA 中，∠A DA ＝∠A A D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A 为顶点的内角的度数为
2 3 2 3 2 3 3
70°
17.5° ；第n个三角形中以A 为顶点的底角的度数为 ．
n 2n−1
【解答】解：∵在△ABA 中，∠B＝40°，AB＝A B，
1 11 1
∴∠BA A= （180°﹣∠B）= （180°﹣40°）＝70°，
1
2 2
∵A A ＝A C，∠BA A是△A A C的外角，
1 2 1 1 1 2
1 1
∴∠CA A = ∠BA A= ×70°＝35°；
2 1 1
2 2
1 1
同理可得，∠DA A = ×70°＝17.5°，∠EA A = ×70°，
3 2 4 3
4 8
70°
以此类推，第n个三角形的以A 为顶点的底角的度数= ．
n 2n−1
70°
故答案为：17.5°， ．
2n−1
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．（8 分）如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，BD＝CF，AB＝EF，AC＝ED．求证：
△ABC≌△EFD．
【解答】证明：∵BD＝CF，
∴BD+DC＝CF+DC．
∴BC＝FD．
在△ABC和△EFD中，
{AB=EF
AC=ED，
BC=FD
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
18．（8分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
{∠A=∠FCE
∵ ∠ADE=∠F，
DE=EF
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
19．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．
求证：AB＝AC．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
{BD=CD
在△BED和△CFD中， ，
BE=CF
∴△BED≌△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝
DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
{DF=DB
，
DC=DE
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
{AD=AD
，
CD=DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
21．（12分）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，
∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，
∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB＝AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
{DM=DM
EM=CM
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD＝DE，
同理AE＝AB，
∵AE+DE＝AD，
∴CD+AB＝AD．
22．（12分）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且
∠BEC＝∠CFA＝ ．
（1）若直线CD经α过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°， ＝90°，则BE ＝ CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜1α80°，请添加一个关于 与∠BCA关系的条件 + ∠ BCA ＝ 180 ° ，使①
中的结论仍然成立，并说明理由； α α
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部， ＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的
合理猜想，并简述理由． α
【解答】解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝ ＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．α
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，
{∠BEC=∠CFA，
∠CBE=∠ACF，
BC=AC．∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（2） +∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BαEC＝∠CFA＝ ，
∴∠BEF＝180°﹣∠αBEC＝180°﹣ ．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE， α
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣ ．
又∵ +∠BCA＝180°， α
∴∠αBCA＝180°﹣ ．
∴∠BCA＝∠BCE+α∠ACF＝180°﹣ ．
∴∠EBC＝∠FCA． α
在△BCE和△CAF中，
{∠CBE=∠ACF，
∠BEC=∠CFA，
BC=CA．
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（3）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝ ，
∴∠BCE+∠αACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣ ．
又∵∠BEC＝ ， α
∴∠EBC+∠BαCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣ ．
∴∠EBC＝∠FCA． α
在△BEC和△CFA中，
{∠EBC=∠FCA，
∠BEC=∠FCA，
BC=CA．
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．
∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
23．（12分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD ：S△ACD ＝ 1 ： 1 ；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD ：S△ACD 的值（用含m，n的代
数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE ＝
6，那么S△ABC ＝ 9 ．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
1 1
∴S
ABD
：S△ACD ＝（ ×BD×AE）：（ ×CD×AE）＝1：1，
2 2
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
1 1
∴S
ABD
：S△ACD ＝（ ×AB×DE）：（ ×AC×DF）＝m：n；
2 2（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD ：S△EBD ＝1：1，
∵S△BDE ＝6，
∴S△ABD ＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD ：S△ACD ＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD ＝3，
∴S△ABC ＝3+6＝9，
故答案为：9．
24．（14分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度
沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC＝ （ 1 0 ﹣ 2 t ） cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在
这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，
BP＝2t，
则PC＝（10﹣2t）cm；
故答案为：（10﹣2t）；
（2）当△ABP≌△DCP时，
则BP＝CP＝5，故2t＝5，
解得：t＝2.5；
（3）①如图1，当△ABP≌△QCP，则BA＝CQ，PB＝PC，
∵PB＝PC，
1
∴BP＝PC= BC＝5，
2
2t＝5，
解得：t＝2.5，
BA＝CQ＝6，
v×2.5＝6，
解得：v＝2.4（cm/秒）．
②如图2，当△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC．
∵AB＝6，
∴PC＝6，
∴BP＝10﹣6＝4，
2t＝4，
解得：t＝2，
CQ＝BP＝4，
v×2＝4，
解得：v＝2；
综上所述：当v＝2.4cm/秒或2cm/秒时△ABP与△PQC全等．
