文档文本内容
圆的辅助线作法
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题
目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性
思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的
作法。下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距
在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于
垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图 1, ⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P，
且 AC=BD。求证：PO 平分∠APD。
分析 1：由等弦 AC=BD 可得出等弧 =
AB 进一步得出 = ，从而可证等弦 AB=CD，由同圆中
等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线 OE⊥AB，
OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出 PO 平分∠APD。
证法 1：作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F
AC=BD => = => = => AB=CD
=> OE=OF
∠OEP=∠OFP=90° => △OPE≌△OPF
0OP=OP
=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD
分析 2：如图 1-1，欲证 PO 平分∠APD，即证
(
BD， (
CD (
O
A E F D
P B
P
B
C
图 1
AC (
AC ( BD ( AB ( CD (∠OPA=∠OPD，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个
三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线
即半径 OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得 AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。
O
A D
P B
P
B
C
图1-1
证法 2：连结 OA，OD。
∠CAP=∠BDP
∠APC=∠DPB =>△ACP≌△DBP
AC=BD
=>AP=DP
OA=OD =>△OPA≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD
OP=OP
2.有直径，可作直径上的圆周角
对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周
角是直角这个性质。
A
例 2 如图 2，在△ABC 中，AB=AC，
以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D ，过 D
O
A.1 2
作⊙O 的切线 DM 交 AC 于 M。求证 DM⊥AC。
M
B D C
图 2
分析：由 AB 是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。于是可连结 AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性质可得
∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而
DM⊥AC。
证明 连结 AD。
AB 为⊙O 的直径 =>∠ADB=Rt∠ =>∠1=∠2
AB=AC
DM 切⊙O 于 D => ∠ADM=∠B
=> ∠1+∠B=∠2+∠ADM =>∠AMD=∠ADB= Rt∠ => DM⊥AC
说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦
例 3 如图 3,AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BD=OB，DC 切⊙O 于
C 点。求∠A 的度数。
分析：由过切点的半径垂直于切线，
于是可作辅助线即半径 OC，得 Rt△，
再由解直角三角形可得∠COB 的度数，
从而可求∠A 的度数。
C
D
. B
A O
图 3
解：连结 OC。
DC 切⊙O 于 C =>∠OCD=90°
=> COS∠ COD=OC/OD=1/2
OC=OB=BD =>∠COB=60°
=> ∠A=1/2∠COB=30°
说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。
例 4 如图 4，已知△ABC 中，∠1=∠2，圆 O 过 A、D 两点，且与 BC 切于 D 点。
求证 EF//BC。
A
1 2
O
F
E
C
D
B
图 4
分析：欲证 EF//BC，可找同位角或内错角
是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结 DE，得一对内错角∠BDE 与∠DEF，由
圆的性质可知这两个角分别等于∠1 和∠2，故易证 EF//BC。
证明 连结 DE。
BC 切⊙O 于 D =>∠BDE= ∠1
∠2= ∠DEF =>∠BDE= ∠DEF =>EF//BC
∠1= ∠2
说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。
4.当两圆相切，可作公切线或连心线
例 5 已知：如图 5，⊙O 与⊙O 外切
1 2
于点 P，过 P 点作两条直线分别交⊙O 与
1
⊙O 于点 A、B、C、D。求证 PB•PC=PA•PD。
2
分析：欲证 PB•PC=PA•PD，即证 PA∶PB=PC∶PD，
由此可作辅助线 AC、BD，并证 AC//DB，要证平行，需证一对内错角相等，如
∠C=∠D，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线
MN，从而问题迎刃而解。
A
M D
O . P O 2 .
1
B
C N
图 5证明 连结 AC、BD，过 P 点作两圆的内公切线 MN
=>∠APM=∠C，∠BPN=∠D
=> ∠C=∠D
∠APM=∠BPN
=> AC//DB => PA∶PB=PC∶PD => PB•PC=PA•PD
说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。
例6 已知：如图 6，⊙O 与⊙O 内切于点 T，经过
1 2
切点 T 的直线与⊙O 与⊙O 分别相交于点 A 和 B。
1 2
求证 TA∶TB=O A∶O B。
1 2
B
A
2
1
T
O O
1 2
图 6
分析：欲证 TA∶TB=O A∶O B，可考虑证这四条线段
1 2
所在的三角形相似，即证△TO A∽△TO B，于是只需连结 O O ，并延长，必过切点，则
1 2 2 1
产生△TO A 和△TO B，由∠1= ∠2=∠T，则 O A// O B，易证线段比相等。
1 2 1 2
证明 连结并延长 O O
2 1 => O O 必过切点T
2 1
⊙O 和⊙O 内切于点 T
1 2
O A=O T =>∠1= ∠T
1 1
=> ∠1= ∠2 => O A// O B
1 2
O T= O B =>∠2= ∠T
2 2
=>△TO A∽△TO B => TA∶TB=O A∶O B
1 2 1 2
说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
例 7 如图 7，⊙O 与⊙O 相交于 A、B
1 2
两点，过 A 点作⊙O 的切线交⊙O 于点 C，
2 1
直线 CB 交⊙O 于点 D，DA 延长线交⊙O
2 1
于点 E，连结 CE。求证 CA=CE。
F
A
D
E
O
1 . O .
2
B
C 图 7
分析：欲证 CA=CE，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即∠E=∠CAE，又由
∠DAF=∠CAE，想到弦切角∠DAF 与所夹弧对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦
AB，得∠E=∠DBA，易证 CA=CE。
证明 连结 AB。
CA 切⊙O 于 A =>∠DAF=∠DBA
2
四边形 ABCE 内接于⊙O =>∠E=∠DBA
1
∠DAF=∠CAE
=>∠E=∠CAE => CA=CE
说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
C
DE
M
O O
1 2
G
N
A F B
图 8例8 如图 8，在梯形 ABCD 中，以两腰
AD、BC 分别为直径的两个圆相交于 M、N 两点，
过 M、N 的直线与梯形上、下底交于 E、F。
求证： MN⊥AB。
分析：因为 MN 是公共弦，若作辅助线 O O ，
1 2
必有 MN⊥O O ，再由 O O 是梯形的中位线，得 O O //AB，从而易证 MN⊥AB。
1 2 1 2 1 2
证明 连结 O O 交 EF 于 G => MN⊥O O
1 2 1 2。
DO =O A，CO =O B => O O 是梯形 ABCD 的中位线 => O O //AB
1 1 2 2 1 2 1 2
=>∠EFA=∠EGO =Rt∠ => MN⊥AB
1
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
6．有半圆，可作整圆
例 9 如图 9，BC 为⊙O 的直径，AD⊥BC 于 D，
B=A , AD 交 BF 于 E。求证 AE=BE
分析：欲证 AE=BE，可考虑在三角形中证这两边
所对角相等。即∠ABF=∠BAE，再考虑证这两个圆周角
所对的弧相等，故需补全⊙O，可证 = ，故有 = 易证 AE=BE.
证明 补全⊙O，延长 AD 交⊙O 于 H，
直径 BC⊥AD => =
=> = =>∠ABF=∠BAH => AE=BE
说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线
是连结过交点的半径
例 10 如图 10，⊙O 与⊙O 相交于
1 2
A、B 两点，且 O 在⊙O 上，点 P 在⊙O 上，
2 1 1
点 Q 在⊙O 上，若∠APB=40°，求∠AQB 的度数。
2
( AF (
BA (
BH
(
(
AF ( BH (
F
A
O
E
B . C
D
H
图 9
BA ( BH ( AF， (
BH (
BA= AF， (P A
O 1 . O 2 Q
B
图 10
分析 连结 O A、O B，在⊙O 中利用
2 2 1
圆内接四边形性质求得∠AO B=140°，在⊙O 中，
2 2
∠AQB=1/2∠AO B=70°。
2
证明过程略。
说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半
径。
几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结
论的桥梁，也是解题的重要手段。学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如
何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。因此，恰当添加辅
助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技
能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。
