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2019 年 九年级数学中考二轮 旋转 压轴题 专题复习
一、选择题
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其
两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
（1）PM=PN恒成立； （2）OM+ON的值不变；
（3）四边形PMON的面积不变； （4）MN的长不变.
其中正确的个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4．若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，在旋转过程
中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕
点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A．2﹣ B． +1 C． D． ﹣1
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC=4,M为AB中点,D是射线BC上一动点,连接AD，将线段AD绕点A逆时
针旋转90°得到线段AE,连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为（ ）
第 1 页 共 13 页A.2 B.2 C.4 D.4
如图,在直角坐标系中放置一个矩形OABC,其中AB=2,AO=1,若将矩形OABC沿x轴的负方向无滑动地在x轴
上翻滚，则当点O离开原点后第一次落在x轴上时,点O运动的路径与x轴围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
二 、填空题
如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕直角顶点BB顺时针旋转900到BP/,已知∠AP/B=1350，P/A:P/C=1:3，
则PB:P/A的值为 .
如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋 转中心逆
时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；&
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB=150°；
④四边形AOBO′的面积为6＋3；
3
⑤S ＋S =6＋4.
△AOC △AOB
其中正确的结论是 _ _．
已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，A(－2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴
正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是
如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△ABC 的位置，点B、O分别落在点B、C 处，点B
1 1 1 1 1
在x轴上，再将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△ABC 的位置，点C 在x轴上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转到
1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
△ABC 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去…．若点A（1.5，0），B（0，2），则点B 的坐标为 ．
2 2 2 2 2016
第 2 页 共 13 页如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转
60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=2，若AC=AD且∠ACD=60°，则对角线BD的长最大值为 ．
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得
到△ACE,若AB=3,BC=4,则BD=
如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，
连接PQ，则PQ的最小值为 ．
如图在Rt△ACB中，C为直角顶点，∠ABC=25°，O为斜边中点．将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）
至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 ．
第 3 页 共 13 页三 、解答题
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；
（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；
（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．
如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2
CM+ BN．
第 4 页 共 13 页在△ABC中，AB=AC，∠BAC=ɑ(0°<ɑ<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求ɑ的值．
探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得
EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2 ,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE长．
第 5 页 共 13 页如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点.
（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN的周长的最大值.
在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△ABC.
1 1
(1)如图①，当点B 在线段BA延长线上时．①求证：BB∥CA；②求△ABC的面积；
1 1 1 1
(2)如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点
是F，求线段EF 长度的最大值与最小值的差．
1 1
第 6 页 共 13 页第 7 页 共 13 页参考答案
B
B
解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， = ，∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO= = = ，OM= AC=1，则BM=BO﹣OM= ﹣1．故选：D．
解：连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．
在△ADK与△ABE中， ∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4 ，BM=2 ，∴MG=2，∠G=90°
∴BM≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2故选：A
解：点O运动的路径如图所示，见图：
则点O运动的路径与x轴围成的面积
= + + + +
= + ×1×2+ ×1×2+
=π+1+ π+1+ = π+2．故选A．
答案为：1:2
第 8 页 共 13 页答案为：①②③⑤.
答案为： (403 1 ， )_
答案为：（6048，2）．
解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD= BC，∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中， ，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD= ×60°=30°，AG= AC= ×42，∴EG= AG= ×2=1，∴DF=1．故答案为：1．
解：如图，在AB的右侧作等边三角形△ABK，连接DK．
∵AD=AC，AK=AB，∠DAC=∠KAB，∴∠DAK=∠CAB，
在△DAK和△CAB中， ，∴△DAK≌△CAB，∴DK=BC=2，
∵DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5．
解：连接BE，如右图所示，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB=3，BC=4，∠ABC=30°，
∴∠BCE=60°，CB=CE，AE=BD，∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60°，BE=BC=4，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，
∴AE= ，又∵AE=BD，∴BD=5，故答案为：5．
第 9 页 共 13 页答案为：2.4．
解：∵△BCP恰为轴对称图形，∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，∵O为斜边中点，OP=OA，∴BO=OP=OA，∴∠APB=90°，
当BC=BP时，∴∠BCP=∠BPC，∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，∴AC=AP，∴AB垂直平分PC，∴∠ABP=∠ABC=25°，∴θ=2×25°=50°，
当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC=CP，BO=PO，∴CH垂直平分PB，∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，∴∠BCH=∠ABC=25°，∴∠CBH=65°，∴∠OBH=40°，∴θ=2×40°=80°，
当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OB=OC，∴PG垂直平分BC，∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=25°，∴θ=∠BOG=65°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，∵AB=AC，∴ = ，∴△ADF∽△ABC；
（2）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；
（3）DE2=BD2+CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，
第 10 页 共 13 页∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2．
（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，有 ，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，
∴∠CDM=∠CEM= ×（180°﹣120°）=30°．
∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2× =2 CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE= = BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE= BN+2 CM．
(1)30°-0.5α.(2)△ABE为等边三角形．
证明：连接AD、CD、ED.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC=BD，∠DBC=60°.
∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°－∠DBE=∠EBC=30°－0.5α.
又∵BD=CD，∠DBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD=CD.
又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD=∠CAD=0.5∠BAC=0.5α.
∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°－(30°－0.5α)－150°=0.5α.∴∠BAD=∠BEC.
在△ABD与△EBC中，△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB=BE.又∵∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形．
第 11 页 共 13 页(3)∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°.
∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴CD=CE=BC.
∵∠BCE=150°，∴∠EBC=15°.又∵∠EBC=30°－0.5α=15°，∴α=30°
解：
第 12 页 共 13 页解：(1)①证明：∵AB=AC，BC=BC，∴∠1=∠B，∠B=∠ACB，∵∠2=∠ACB(旋转角相等)，∴∠1＝∠2，
1
∴BB∥CA；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：
1 1
∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BF=3，∴BC=6，∴BC=BC=6，
1
∵CE⊥AB，∴BE=BE=×6=，∴BB=，CE=×6=，∴AB＝－5=，
1 1 1
∴△ABC的面积为：××＝
1
(2)如图②，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F，EF 有最小值，此时在Rt△BFC中，CF
1 1
＝，∴CF＝，∴EF 的最小值为－3＝；如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F，EF 有最大值；此
1 1 1 1
时EF＝EC＋CF＝3＋6＝9，∴线段EF 的最大值与最小值的差为9－＝
1 1 1
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