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平行四边形的存在性问题
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，
也可以使计算又好又快．
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点：以已
知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3
个交点．
如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．
针对训练
1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M
的坐标．
解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，
得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．
如图，过△PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是
要求的点M．
①因为AM//PC，AM＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M．
1 1 1因为点P(－1，4)先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位可以与点C(0，3)重合，
所以点A(－3，0)先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位就得到点M(－2，－1)．
1
②因为AM//CP，AM＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M．
2 2 2
因为点C(0，3)先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位可以与点P(－1，4)重合，
所以点A(－3，0)先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位就得到点M(－4，1)．
2
③因为PM//AC，PM＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M．
3 3 3
因为点A(－3，0)先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位可以与点C(0，3)重合，
所以点P(－1，4)先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位就得到点M(2，7)．
3
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3 与x轴交于A、B两
点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平
行四边形，求点M的坐标．
解析． 由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．
①如图 1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P
关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为 2．
当x＝2 时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
②如图 2，图 3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4． 所以点M
的横坐标为 4 或－4．
如图 2，当x＝4 时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．
如图 3，当x＝－4 时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3
3．将抛物线c： 沿x轴翻折，得到抛物线c，如图所示．
1 2
现将抛物线c 向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的
1
交点从左到右依次为A、B；将抛物线c 向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛
2
物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点
A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，
请说明理由．
解析、抛物线c： 与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为 ．
1
抛物线c 向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为 ，与x轴的两个交点
1
为 、 ，AB＝2．
抛物线c 在平移的过程中，与抛物线c 关于原点对称．所以四边形 AMEN 是平行
2 1
四边形．如果以点四边形 AMEN 是矩形，那么AE＝MN．所以OA＝OM．
而OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1（如图）．第 3 题图
[另解]探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为 ，所以△ABM是等边三角形．
同理△DEN是等边三角形． 当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．
因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．
4．已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数 的图像与y轴交于点A，点M
在正比例函数 的图像上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点
A、M．
（1）求线段AM的长； （2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一
次函数 的图像上，且四边形ABCD是菱形，求 点 C
的坐标．
解析、（1）当x＝0 时， ，所以点A的坐标为 (0 ，
3)，OA＝3．
如图 1，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平 分 线
上，点M的纵坐标为 ．
将 代入 ，得x＝1．所以点M的坐标为 ．因此 ．
（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M ，所以
解得 ， ．所以二次函数的解析式为 ．
（3）如图 2，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在 Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m． 因此点C的坐标可以表示
为(4m，3－2m)．
将点 C(4m，3－2m)代入 ，得 ．解得 或者m＝0（舍去）． 因此点C的坐标为（2，2）．
5．如图 1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向
点C以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒 2
个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从
点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为
t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明
理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，
求点Q的速度；
（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
解析．（1）QB＝8－2t，PD＝ ．
（ 2）当点Q的速度为每秒 2 个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下：
在 Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
已知PD//BC，当 PQ//AB 时，四边形PDBQ为平行四边形．
所以 ，即 ．解得 ．此时在 Rt△CPQ中， ， ．
所以 ， ．
因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形．
如图 1，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形
PDBQ是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在 Rt△APE中， ，所以 ．
当PQ//AB时， ，即 ．解得 ．
所以点Q的运动速度为 ． 第 5 题图 1
（3）以C为原点建立直角坐标系．
如图 2，当t＝0 时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．
如图 3，当t＝4 时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．
直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图 4，PQ的中点M的坐标可以表示为（ ，t）．经验证，点M（ ，t）在直线EF
上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝ ．
第 5 题图 2 第 5 题图 3 第 5 题图 4
[另解]第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当t＝2 时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．
所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴
的负半轴上．已知|OA|∶|OB|＝1∶5，|OB|＝|OC|，△ABC的面积S ＝15，抛物线y
△ABC
＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线
于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到
矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为 ？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析（ 1）设OA的长为m，那么OB＝OC＝5m． 由△ABC的面积S ＝15，得m
△ABC
＝5．
所以点 A、B、C 的坐标分别为(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－5)，代入点 C(0，－5)，得a＝1．
所以抛物线的解析式为y＝(x＋1) (x－5)＝x2－4 x－5．
（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x2－4 x－5)．
①如图 1，当E在x轴上方时，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4 x－5．
解方程 2(x－2)＝x2－4 x－5，得 或 （舍去）．
此时正方形的边长为 ．②如图 2，当E在x轴下方时，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4 x－5)．
解方程 2(x－2)＝－(x2－4 x－5)，得 或 （舍去）．
此时正方形的边长为 ．
第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图 3
（3）如图 3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，－5)，所以BC与x轴正半轴的夹
角为 45°．
过点B作BM⊥BC，且使得BM＝ ．
过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么△BMN是等腰直角三角形．
在 Rt△BMN中，斜边BM＝ ，所以BN＝MN＝7．
因此点M的坐标为(－2，7)或(12，－7)．
经检验，点(－2，7)在抛物线y＝(x＋1) (x－5)上；点(12，－7)不在这条抛物线上．
所以点M的坐标是(－2，7)．
[另解]第（3）题也可以这样思考：
设抛物线上存在点M，设点M的坐标为(x，x2－4 x－5)．
由于△BMN是等腰直角三角形，BN＝MN，所以 5－x＝x2－4 x－5．
解得x＝－2 或x＝5（与点B重合，舍去）． 所以点M的坐标是(－2，7)．
这种解法不需要分情况讨论点M的位置，这是因为：
当M在点B的右侧时，方程为x－5＝－(x2－4 x－5)，这个方程和点M在点B的左
侧时的方程是同一个方程．
7．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A(－1,0)、B(0,3)两点，
与x轴交于另一点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为
顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）如图 2，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ
的最大面积和此时Q点的坐标．
图 1 图 2
解析．（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，C(3,0)，顶点D(1,4)．
（2）如图 1，直线BD为y＝x＋3，E(－3,0)．
过△ABE的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F．
①点E(－3,0)向左平移 2 个单位得到点A(－1,0)，那么点B(0,3) 向左平移 2 个单
位得到点F(2,3)．经验证，F(2,3)在抛物线上．
1 1
②F 不在抛物线上．
2
③由B(0,3)先向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点E(－3,0)，那么点
A(－1,0) 先向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点F(－4,－3)．经验证，
3
F(－4,－3)不在抛物线上．
3
（3）如图 2，直线AP的解析式为y＝x＋1．过点Q作y轴的平行线交AP于H．
设Q(x, －x2＋2x＋3)，那么H(x, x＋1)．
因此S ＝S ＋S ＝ ．
△APQ △AQH △PQH
所以当 时，△APQ的最大面积为 ．此时Q ．第 7 题图 1 第 7 题图 2
8．已知抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左
侧）．
（1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A、B、C、D为顶点的四边形能否为正方形？若
能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
解析（1）抛物线对称轴是直线x＝2．
（2）点B(0,0)关于对称轴x＝2 对称的点C为(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－
4)．
当△ABC为直角三角形时，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°．
所以点A的坐标为(2,2)或(2,－2)．
①将A(2,2)代入y＝ax(x－4)，得 ．于是 ．因此 ．
②当A(2,－2)代入y＝ax(x－4)，得 ．于是 ．因此 ．
（3）如果四边形ABDC是正方形，那么A、D关于BC（x轴）对称且△ABC为等腰直
角三角形．
由A(2,b)，得 B(2＋b,0)、C(2－b,0)．
于是可得抛物线的解析式为y＝a(x－2－b)(x－2＋b)．
代入A(2,b)，得b＝－ab2．所以 ．
9．如图，已知双曲线 与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．
（1）求证四边形ACBD是平行四边形；
（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？
（3）如果点A的横坐标为 3，点 C 的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，
求S与m的之间的关系式．解析．（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OA＝OB，OC＝
OD．
所以四边形ACBD是平行四边形．
（2）如图 1，当直线AB与直线CD关于直线y＝x对称时，OA＝OB＝OC＝OD，所
以四边形ACBD可以成为矩形．
因为x≠0，y≠0，所以点A、B、C、D不可能落在坐标轴上，因此直线AB与CD不可
能垂直，即平行四边形ACBD的对角线不可能互相垂直，所以四边形ACBD不可能成
为正方形．
（3）如图 2，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，那么S ＝S ．
△AOE △COF
①如图 2，当点C在点A上方时，设OA与CF交于点M，那么S ＝S ．
四边形AEFM △COM
因此S ＝S ＝ ．
△AOC 梯形AEFC
所以S＝S ＝4S ．
平行四边形ACBD △AOC
②如图 3，当点C在点A下方时，S ＝S ＝ ．
△AOC 梯形AEFC
所以S＝S ＝4S ．
平行四边形ACBD △AOC
第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3
