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期中难点特训（二）二次函数综合压轴题
1．如图，直线AB与抛物线y＝ x2+bx+c交于点A（﹣4，0），B（2，6），与y轴交于点C，且
OA＝OC，点D为线段AB上的一点，连结OD，OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若OD将△AOB的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使以点A，O，B，P为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（-2，2）或（0，4）
(3)存在，点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．
【分析】（1）根据待定系数法，将A(−4，0)、B(2，6)代入 ，计算即可；
（2）先确定点A点C坐标，再运用待定系数法先求出直线AB的解析式，设点D的坐标为（m，
m+4），然后根据OD将△AOB的面积分成1：2的两部分计算即可；
（3）设点P的坐标为（xp，yp），分3种情况分析解答即可．
（1）
解：将A(−4，0)、B(2，6)代入 可得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；（2）
解：∵ A点坐标为（-4，0），OA＝OC
∴C点坐标为（0,4）
设直线AB的解析式为： ，则
，解得： ，
∴直线AB的解析式为： ，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△AOB的面积分成1：2的两部，即 或 ，
∴ 或 ，解得： 或m=0
∴点D的坐标为（-2，2）或（0，4）；
（3）
解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p 在第二象限时，
1
轴， ，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p 在第一象限时，
2
点P的横坐标为2+4=6，点P的,纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p 在第三象限时，
3
， ，
∴ ， ，
即 ， ，
解得： ， ，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）．【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、三角形面
积、平行四边形等知识点，正确求出二次函数、一次函数的解析式并掌握分类讨论思想成为解答
本题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，
5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作
PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边
形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P（ ， ）时，S = ；（3）当M点的坐标为
四边形APCD最大（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．
【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析
式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S =﹣2x2+10x，根据二次函数求出极
四边形APCD
值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a +9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣ +9=- +4x+5，
（2）当y=0时，- +4x+5=0，∴x=﹣1，x=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
1 2
设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣ +4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=- +4x+5+x﹣5=- +5x， ∵AC=4， ∴S = ×AC×PD=2（- +5x）=-2 +10x，
四边形APCD
∴当x= 时， ∴S = ，
四边形APCD最大
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M（1，8）或M（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为
1 2y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M（1，8）或M（3，8）， ∴点M，M 关于抛物线对称轴x=2对称，
1 2 1 2
∵点N在抛物线对称轴上， ∴MN=MN， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
1 2
∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判
定
3．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S AOM＝2S BOC，求点M的坐标；
△ △
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大
值．
【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（ ，﹣2）或（ ，
﹣2）；（3）1．
【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求
得系数的值；
（2）设M点坐标为（m，n），根据S AOM=2S BOC列出关于m的方程，解方程求出m的值，
进而得到点P的坐标； △ △
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设N点坐标为（x，x+2），则D点坐
标为（x，-x2-x+2），然后用含x的代数式表示ND，根据二次函数的性质即可求出线段ND长度的
最大值．
【详解】解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据
S AOM=2S BOC列方程可得：
△ △
•AO×|n|=2× ×OB×OC，
∴ ×2×|﹣m2﹣m+2|=2，
∴ m2+m=0或m2+m﹣4=0，
解得m=0或﹣1或 ，
∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（ ，﹣2）或（ ，﹣
2）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入
得到 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），
ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴x=﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的性质并结合已知条件及图象进行分析
是解题的关键．
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，求∠ABC的度数；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P到x轴的距离等于4时，求动点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）∠ABC=45°；（3）点P的坐标为（ ，4）或（ ，
4）或（1，4）
【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出点C的坐标，从而可以求出OB=OC，由此即可得到答案；
（3）由点P到x轴的距离等于4，得到P点的坐标轴为4或-4，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵点C是抛物线 与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，-3），
∴OC=3，
∵B点坐标为（3，0），
∴OB=3，
∴OB=OC，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，即∠ABC=45°；（3）∵点P到x轴的距离等于4，
∴P点的坐标轴为4或-4，
当P点纵坐标为4时，则 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为（ ，4）或（ ，4）；
当点P的纵坐标为-4时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为（1，4），
∴综上所述，点P的坐标为（ ，4）或（ ，4）或（1，4）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数上点的坐标特点，等腰直角三
角形的性质与判定，点到坐标轴的距离，熟知相关知识是解题的关键．
5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点A（﹣1，0）．
（I）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）D为抛物线对称轴上一点，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（Ⅲ）在抛物线上是否存在一点P，使CP恰好将以A，B，C，P为顶点的四边形的面积分为相等
的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）点D（1，2）；（Ⅲ）点P（5，﹣12）．
【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），则抛物线的表达式为：＝﹣x2+bx+3，将点
A的坐标代入上式，即可求解；（2）抛物线的对称轴为：x＝1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0），连接BC交抛物
线的对称轴于点D，则点D为所求，即可求解；
（3）当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四
边形的面积，当点P在第三、四象限时，设点P（m，﹣m2+2m+3），将点P、C的坐标代入一次
函数表达式：y＝sx+n并解得：
直线PC的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，过点A、B分别作CP的等距离的平行线m、n，分别交y
轴于点M、N，则点C是MN的中点，即6＝3m﹣6+2﹣m，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，3），则抛物线的表达式为：y═﹣
x2+bx+3，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线的对称轴为：x＝1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0），
连接BC交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
故点D（1，2）；
（3）当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四
边形的面积，
当点P在第三、四象限时，设点P（m，﹣m2+2m+3），
将点P、C的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+n并解得：
直线PC的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，
过点A、B分别作CP的等距离的平行线m、n，分别交y轴于点M、N，则直线m的表达式为：y＝（2﹣m）x+k，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝3m﹣6，即点M（0，3m﹣6），
同理可得：点N（0，2﹣m），
则点C是MN的中点，即6＝3m﹣6+2﹣m，
解得：m＝5，
故点P（5，﹣12）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质等，其中（3），要
注意分类求解，避免遗漏．
6．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于
点C．
（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．
①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；
②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①m= ；
②P′A2取得最小值时，m的值是 ，这个最小值是 ．
【分析】（1）根据A（﹣1，0），C（0，﹣3）在抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的图象上，可
以求得b、c的值；
（2）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线
BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；
②根据题意可以表示出P′A2，从而可以求得当P′A2取得最小值时，m的值及这个最小值．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点
C，A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴ ，解得： ，∴该抛物线的解析
式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m2﹣2m﹣3．∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=0时，0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1，x=3，由
1 2
已知可得：点B（3，0）．
∵点B（3，0），点C（0，﹣3），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d， ，解得：
，∴直线BC的直线解析式为y=x﹣3．
∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣3，即t=m+3，∴m2﹣2m﹣3=m+3，解得：m= ；
②由题意可知，点P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞0，﹣t＞0，∴m＜0，t＜0．
∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜0．
∵点P（m，t）在抛物线上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴t+3=m2﹣2m，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有
H（﹣m，0）．
又∵A（﹣1，0），则P′H2=t2，AH2=（﹣m+1）2．在Rt P′AH中，P′A2=AH2+P′H2，∴P′A2=（﹣
△
m+1）2+t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+ ）2+ ，∴当t=﹣ 时，P′A2有最小值，此时P′A2= ，∴
=m2﹣2m﹣3，解得：m= ．
∵m＜0，∴m= ，即P′A2取得最小值时，m的值是 ，这个最小值是 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
7．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于
点 ，已知 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求出
点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当四边形
的面积最大时，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）存在， ， ， ；（3）点
【分析】（1）把 ， 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求解抛物线的对称轴 再求解CD的长，由 是以CD为腰的等腰三角形，可得
．再作 对称轴于点H，从而可得答案；
（3）先求解 ．再求解直线BC的解析式为 ．过点C作 于M，设
， ，根据
列函数关系式，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵抛物线 经过 ， ，
∴ 解得
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线 ．∴ ．
∵ ，∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
∵ 是以CD为腰的等腰三角形，
∴ ．
作 对称轴于点H，
∴ ．∴ ．
∴ ， ， ．
（3）当 时，由 ，解得 ， ，
∴ ．
设直线BC的解析式为 ，得
解得
∴直线BC的解析式为 ．
过点C作 于M，设 ， ，∴ ．
∵
．
∴根据题意 ，
∴当 时， 的最大值为 ，此时点 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与等腰三角形，图形面积
的最值问题，灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.
8．已知：抛物线 ： 交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛
物线 经过点A，与x轴的另一个交点为 ，交y轴于点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2）如图1， 为抛物线 的对称轴上一动点，连接PA，PC，当 时，求点 的坐标；
（3）如图2，M为抛物线 上一动点，过点M作直线 轴，交抛物线 于点N，求点M自
点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．【答案】（1） ；（2） 点的坐标为 或 ；（3）21
【分析】（1）通过解方程 得 设交点式 ，然后把 点坐标
代入求出 的值即可得到得抛物线 的解析式；
（2）先求出 和抛物线 的对称轴为直线 ，则设 ，利用两点间的距
离公式和勾股定理得到 ，然后解方程求出 即可得到点 的坐标；
（3）抛物线 与抛物线 经过的另一个交点为 ，如图2，先通过解方程
得 ，设 ，则 ，讨论：当 时， ；
当 时， ，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的
的最大值，再比较大小即可得到点 自点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值．
【详解】解：（1）当 时， ，解得 ， ，则
设抛物线 的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线 的解析式为 ，即 ；（2）当 时， ，则
抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，则 ， ， ，
，
，即 ，
整理得 ，解得 ， ，
点 的坐标为 或 ；
（3）抛物线 与抛物线 经过的另一个交点为 ，如图2，
解方程 得 ， ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，此时 时，
有最大值 ；
当 时， ，此时 时， 有最
大值21；
所以点 自点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值为21．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和
二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理
解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．
9．已知抛物线 ，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C．
（Ⅰ）求点A，B和点C的坐标；
（Ⅱ）已知P是线段 上的一个动点．
①若 轴，交抛物线于点Q，当 取最大值时，求点P的坐标；
②求 的最小值．
【答案】（Ⅰ）A ，B ，C ；（Ⅱ）① ；②
【分析】（Ⅰ）令 ，代入抛物线解析式即可求出A、B的坐标，令 从而得出C点坐标；
（Ⅱ）①设 代入B、C坐标即可得出直线解析式，设 ， ，则
，且Q在P上方，分别表示出PQ，BP即可得出PQ+BP的表达式，对表达式
进行配方即可得出结果，②如图，延长 至点D，使得 ，连接 ，作 轴于点
E，过点P作 于点H，可证的 是等腰直角三角形，由垂线段最短可知，当 ， ，
共线时 取得最小值，根据题目已知条件得出D点坐标，表示出
即可得出结果．
【详解】解：（Ⅰ）令 ，则 ，解得 ， ．
∴A点坐标为 ，B点坐标为 ．
令 ，则 ．∴C点坐标为 ．
（Ⅱ）①设： ，将 ， 分别代入得，
，解得 ，故 ．
可设 ， ，则 ，且Q在P上方．
所以 ．
又 ．
故 ．
当 时取得最大值，此时 ．
②如图，延长 至点D，使得 ，连接 ，作 轴于点E，过点P作 于
点H．
由 ， ， ，
所以 ， ．
则 是等腰直角三角形， ．，由垂线段最短可知，当 ， ， 共线时
取得最小值．
∵ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
可得点D的坐标为 ．
∴ ，
，代入可得 ，
解得 ，故有 ．
所以 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数与几何的综合应用，掌握二次函数的性质以及用配方法求得
最大值是解题的关键．
10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN
的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝ x−3；（3）F（1，-3）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连接OD，根据S＝S OND＋S ONH−S OHD计算即可．
△ △ △
（3）如图2中，延长FG交OB于M，只要证明△MAF≌△MGB，得FM＝BM．设M（m，0），
列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），
代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；
（2）如图1中，连接OD．
∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1
∴顶点D坐标（3，1），
∵A（2，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得
解得
∴直线AD的解析式为y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，−2）．∵设N点的横坐标为t，
∴△DHN的面积S＝S OND＋S ONH−S OHD＝ ×t×1＋ ×t×2− ×2×3＝ t−3．
△ △ △
∴S＝ x−3；
（3）如图2中，延长FG交OB于M．
∵H（0，−2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FM OH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵ ，
∴△MAF≌△MGB，∴FM＝BM．设M（m，0），
∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，
解得m＝1或4（舍弃），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，
∴F（1，-3）．
【点睛】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键
是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
11．二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线
上方的抛物线上一动点.
(Ⅰ)求该二次函数的解析式；
(Ⅱ)连接 ， ，将 沿 轴翻折，得到 .当四边形 为菱形时，求点 的坐标；
(Ⅲ)当四边形 的面积 最大时，求点 的坐标.
【答案】(Ⅰ)y=-x2+2x+3；(Ⅱ) 点P坐标为（ ， ）；（Ⅲ）点P的坐标为（ ， ）.
【分析】(Ⅰ)把C（0，3），B（3，0）代入二次函数y=ax2+2x+c，解方程组求出a、c的值即可得答
案；(Ⅱ)如图，连接PP′，交y轴于点E，根据翻折性质及菱形的性质可得PP′是OC的垂直平分线，
可得点P的纵坐标，代入二次函数解析式求出x的值即可得点P坐标；(Ⅲ)设P（m，-
m2+2x+3），直线BC的解析式为y=kx+b，把B、C坐标代入y=kx+b可得直线BC的解析式，过P
作PF⊥x轴于F，交BC于Q，设点Q的坐标为（m，-m+3）可用m的代数式表示出PQ的长，根
据二次函数的解析式可求出A点坐标，即可得OA、AB的长，根据S =S +S +S
四边形ACPB ABC PCQ PBQ
可得关于m的二次函数，配方可求出四边形ACPB的面积最大时m的值，代入-△m2+2m△+3即可△得点
P坐标.
【详解】(Ⅰ)∵二次函数 的图象经过点C（0，3）和B（3，0），
∴ ，
解得： ，∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3.
(Ⅱ)如图，连接PP′，交y轴于点E，
∵ P′OC是由 POC沿y轴翻折得到，
∴△PP′⊥OC， △
∵四边形POP′C是菱形，
∴PP′是线段OC的垂直平分线，
∵C（0，3），
∴E（0， ）
当y= 时，-x2+2x+3= ，
解得：x= ，x= （舍去），
1 2
∴点P坐标为（ ， ）.
(Ⅲ)设P（m，-m2+2x+3），直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B、点C在直线BC上，
∴ ，
解得：
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
如图，过P作PF⊥x轴于F，交BC于Q，设点Q的坐标为（m，-m+3）
∴PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得：x=-1，x=3，
1 2
∴A（-1，0），∴OA=1，AB=4，
∴S =S +S +S = AB OC+ PQ OF+ PQ BF，
四边形ACPB ABC PCQ PBQ
△ △ △
∴S = ×4×3+ （-m2+3m）×3= (m )2+ ，
四边形ACPB
∴m= 时，四边形ACPB的面积最大，
当m= 时，-m2+2m+3= ，
∴此时点P的坐标为（ ， ）.
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、
菱形的性质及翻折的性质，熟练掌握相关性质是解题关键.
12．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S PAB=8，并求出此时P点的坐标．
△
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（ ，4）或（ ，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方
程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
△
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，
∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S PAB=8，
△
∴ AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1±2 ，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）时，满足S PAB=8．
△
【点睛】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特
征．
13．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 经过点 ，点
，且交 轴于另一上点 ．（1）直接写出点 ，点 ，点 的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线 上方的抛物线上有一点 ，求三角形 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）将线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一
个公共点，请结合函数图象，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）当 时，三角形
面积最大，其最大值为2，此时 的坐标为 ；（3） 或 ．
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后把 、 两点代入
求解即可；
（2）过 点作 轴，与 交于点 ，设 ，则 ，然后
根据铅垂法进行求解即可；
（3）当 时，分旋转后点 与 落在抛物线上时，分别画出图形，然后代入求出点 和点
的坐标，进而代入解析式求解即可，当 时，利用同样的方法可求出m的另一个范围，从而得
到答案．
【详解】解：（1）令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，解得： ，
∴ ，
把 、 两点代入 得：，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得： 或 ，
∴ ；
（2）过 点作 轴，与 交于点 ，如图1，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时，三角形 面积最大，其最大值为2，
此时 的坐标为 ；
（3）当 ，若旋转后点 落在抛物线上时，如图所示：
∵点 ，
∴ ，解得： （舍去）；
当旋转后点 落在抛物线上时，如图示：线段 与抛物线只有一个公共点，∵点 ，
∴ ，解得： （舍去）；
∴当 时，若线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为 ；
当 时，当旋转后点 落在抛物线上时，如图示：线段 与抛物线只有一个公共点，
∵点 ，
∴ ，解得： （舍去）；
若旋转后点 落在抛物线上时，如图所示：线段 与抛物线只有一个公共点，
∵点 ，
∴ ，解得： （舍去）；∴当当 时，若线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为 ；
综上所述：当 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．已知抛物线 ．
（1）求它的对称轴与 轴交点 的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴的交点为 ， ，与 轴的交
点为 ，若 =90°，求此时抛物线的解析式；
（3）若点 （ ， ）在抛物线上，则称点 为抛物线的不动点．将抛物线 进行平
移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线 上，请说明理由．
【答案】（1）D（3,0）；（2） ；（3）在.
【详解】试题分析：（1）根据对称轴的求法求出对称轴，得出点D的坐标；（2）首先设出平移
后的解析式，求出点A、点B的坐标，根据直角△ABC的勾股定理列出方程求出k的值；（3）设
出平移后的解析式，根据不动点的定义列出方程，根据只有一个交点说明根的判别式为零求出h
和k的关系式.
试题解析：（1）由y=－ ，得x=－ =3 ∴点D的坐标为（3,0）
（2）设平移后的抛物线解析式为y=－ +k（k＞0） 则C（0，k） OC=k
令y=0，即－ +k=0 解得：
∴ ， ．
∴ ．
．
∵ =90°， ∴ ．
即 ． ．解得 ， （舍去）．
∴抛物线的解析式为 ．
（3）设平移后的抛物线的解析式为 ，由不动点的定义，得方程
，
整理，得 ． ∵平移后的抛物线只有一个不动点，
∴此方程有两个相等的实数根． ∴判别式 ，
有 ， ． ∴顶点（ ， ）在直线 上．
考点：二次函数图象的平移、勾股定理、根的判别式
15．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数
的解析式；
（Ⅲ）当c＝5时，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣5，求
b的值
【答案】（Ⅰ）-4；（Ⅱ）y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）利用配方法得到y＝（x+1）2﹣4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（Ⅱ）二次函数解析式为y＝x2+bx+5，把问题转化为x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，然后根据
判别式的意义确定b的值，从而得到此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）利用配方法得到y＝（x+ ）2+5﹣ ，则抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ，讨论：若﹣≤1，根据二次函数的性质得到x＝1时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式求得的b不满足条件；
若1＜﹣ ＜3，利用二次函数的性质当x＝﹣ 时5﹣ ＝﹣5，求得的b不满足条件；若﹣
≥3，解得b≤﹣6，利用二次函数的性质得到x＝3时，y＝﹣5，把这组对应值代入解析式可求出b
的值．
【详解】解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，
∵在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，
∴x2+bx+5＝1有两个相等的实数解，
方程整理为x2+bx+4＝0，
∵△＝b2﹣4×4＝0，解得b＝4或﹣4，
∴此时二次函数的解析式为y＝x2+4x+5或y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝5时，二次函数解析式为y＝x2+bx+5，
∵y＝（x+ ）2+5﹣ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ，
若﹣ ≤1，解得b≥﹣2，在1≤x≤3范围内y随x的增大而增大，则x＝1时，y＝﹣5，
∴1+b+5＝﹣5，解得b＝﹣11（舍去）；
若1＜﹣ ＜3，即﹣6＜b＜﹣2，在1≤x≤3范围内，当x＝﹣ 时y有最小值﹣5，即5﹣ ＝﹣
5，解得b＝﹣2 （舍去）或b＝2 （舍去）；
若﹣ ≥3，解得b≤﹣6，在1≤x≤3范围内y随x的增大而减下，则x＝3时，y＝﹣5，
∴9+3b+5＝﹣5，解得b＝﹣ ；
综上所述，b的值为﹣ .
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，
要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
16．如图，已知顶点为 的抛物线 与 轴交于 ， 两点，且 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求二次函数 的解析式；
（3）作直线 ，问抛物线 上是否存在点 ，使得 ．若存在，求出
点 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B的坐标为(6，0)；（2）二次函数的解析式为 ；（3）点M的坐标为
或
【分析】（1）由条件可知OC＝6，根据OB＝OC，可求出点B的坐标；
（2）将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋b，求出a，b的值，即可求得二次函数的解析式；
（3）根据题意，分M在BC上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数
的性质和锐角三角函数可以求得点M的坐标．
【详解】解：（1）∵C(0，－6)
∴
∵
∴
∴点B的坐标为(6，0)
（2）∵抛物线 （ ≠0）经过点C(0，－6)和点B(6，0)，
∴ ，解得
∴该二次函数的解析式为（3）存在
①若点M在BC上方，设MC交 轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°．
∴∠OCD=30°.
∴设OD= ，则CD=2 .
∵在Rt OCD中，∠COD=90°，OC=6，
△
∴ ,
即 ，
解得 （舍）， .
∴点D的坐标为( ，0).
设直线DC的函数解析式为
∴ ，解得
∴直线DC的函数解析式为
∴ ，解得 （舍），
∴ ( ,12)
②若点M在BC下方，设MC交 轴于点E，则∠OEC=45°－15°=30°．
∵OC=6，则CE=12.
∵在Rt OCE中，∠COE=90°，
△
∴ =108,∴ .
∴点E的坐标为( ，0).
设直线EC的函数解析式为 ，
∴ ，解得
∴直线EC的函数解析式为∴ ，解得 （舍）， .
∴
综上所述，点M的坐标为 或 .
【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、锐角三角
函数等知识．熟练运用方程思想是解题的关键．
