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第二十三章 旋转（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2023春·七年级单元测试）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）．
A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车
C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】A
【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点 旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进
而分别判断得出答案．
【详解】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项符合题意；
B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项不符合题意；
C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项不符合题意；
D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键．
2．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图
形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1
个单位；③先绕着点O旋转 ，再向右平移一个单位；④绕着 的中点旋转 即可．其中能得到图
（2）的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ；
图（1）先绕着点 旋转 ，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ；
图（1）绕着 的中点旋转 即可得到图（2），故④符合题意 ；
图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的
关键．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，两个全等正方形 和 ，旋转正方形 能和正方形
重合，则可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】根据正方形的性质，旋转的性质，可得 以及 的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解．
【详解】解：依题意， 以及 的中点，可以作为旋转中心
故选：C．
【点睛】本题考查了找旋转中心，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在等边三角形 中， 是边 上一点，
连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，若 的周长是15， ，则
等边 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由旋转可知， 为等边三角形，再利用等量代换求出等边 的边长，利用面积公式求解
即可．【详解】 将 绕点 逆时针旋转 的得到
∵， ,
∴ 为等边三角形
∴
∴ 的周长是15
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 是等边三角形
∵
∴
故选：B
【点睛】本题综合考查旋转，等边三角形的性质，面积公式，用等量代换是解题的关键．
5．（2023·河南郑州·校考三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将 固定在坐标
系中，其中 ，接着他将 绕原点O逆时针转动 至 ，称为第一次转动，然后
将 绕原点O逆时针转动 至 ，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023
次后，点A的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每次转动 可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点 的坐标，利用规律解决问
题即可．
【详解】解：第一次转动后，点A的坐标为 ；
第二次转动后，点A的坐标为 ；
第三次转动后，点A的坐标为 ；
第四次转动后，点A的坐标为 ；
每次转动 可知，4次一个循环，
∵ ，
∴转动2023次后，点A的坐标为 ，
故选：A
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于
中考常考题型．
6．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，点 坐标为 ，点 坐标为 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 至 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】分别过 作 轴的垂线，垂足分别为 ，则 ，证明 ，
结合坐标性即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过 作 轴的垂线，垂足分别为 ，则
∵点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴
∵将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
7．（2022秋·四川泸州·九年级统考期中）如图，已知在正方形内有一点 ，连接 、 、 ，将
顺时针旋转 得到 ，连接 ，点 恰好在线段 上，若 ， ，则 的
长度为（ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得 ，从而可得
，进而可得 ，然后利用勾股定理求出 ，即可解答．
【详解】解：由旋转得：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，将点
绕着原点 按逆时针方向旋转 得到点 ，延长 到 ，使得 ；再将点 绕着原点 按
逆时针方向旋转 得到 ，延长 到 ，使得 ……·如此继续下去，点 的坐标为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据每次旋转后线段的长度是原来的2倍求出 ，根据旋转角为 求出每12次旋转，24个
点为一个循环组依次循环，然后用2023除以24，再根据商和余数的情况确定出点 在第二象限与 轴
正半轴夹角为 ，然后解答即可．
【详解】解： 点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，
，
，
点 是第85循环组的第7个点，在第二象限，与 轴正半轴夹角为 ，点 的坐标为 ， ，即 ， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，点的坐标的变化规律，读懂题目信息，理解点的规律变化是
解题的关键．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知在 中， ， ，将 绕点
逆时针旋转．得到 ．点 是边 的中点，点 为边 上的动点，在 绕点 逆时针旋转的
过程中，点 的对应点是点 ，则线段 长度的最大值与最小值的差是（ ）．
A． B． C． D．18
【答案】C
【分析】如图，连接 ，作 于 ， 于 ．求出 的最小值以及最大值即可解
决问题．
【详解】解：如图，连接 ，作 于 ， 于 ，
∵ 绕点 逆时针旋转得到 ， ， ，
∴点 的对应点是点 ， ，
， ，
又∵点 是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在旋转过程中，当点 与 重合时， 的值最小，最小值为： ，
当点 与 重合时， 的值最大，最大值为： ，∴线段 长度的最大值与最小值的差是： ．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，等积变换，动点问题等知识．解题的关
键是理解和掌握旋转变换的性质，学会用转化的思想思考问题．
10．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，分别在四边形 的各边上取中点 ， ，
， ，连接 ，在 上取一点 ，连接 ，过 作 ，交 于 ，将四边形 中
的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形 和 ，延长 ， 相交于点 ，
得到四边形 ．下列说法中正确的是（ ）
①
②
③
④四边形 是平行四边形
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】顺次连接 ，连接 交 于点 ，得 ，于是 ，证明 ，
即可判断①；由对称性可得： ，则 ，由 ，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形 是平行四边形，则 ，无法证明 ，
即可判断②；四边形 四边形 ，四边形 四边形 ，四边形 四边形 ，
得到 ，则 ，即可判断③．
【详解】解：如图，
顺次连接 ，连接 ，连接 交 于点 ，
∵分别在四边形 的各边上取中点 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
由对称性可得： ，
，
，
四边形 是平行四边形，
故④正确；
四边形 是平行四边形，
，无法证明 ，
故②不正确；
依题意，四边形 四边形 ，四边形 四边形 ，
由题意得，四边形 是由 移动得到的，
∵ ，
∴四边形 可以看成是四边形 以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转 得到的，
∴ ，
即 在同一条直线上， ， ，
∴ ，
又∵四边形 是由四边形 移动后得到的，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 四边形 ，
，
∴ ，
故③正确；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问
题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点 在斜边
的延长线上，如果将 按顺时针方向旋转一定角度后能与 重合，那么旋转角的度数是【答案】130
【分析】先利用互余计算出 ，再根据旋转的性质得到 等于旋转角，根据平角的定义得
到 ，即可得到旋转角的度数．
【详解】解： ， ，
，
绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，
等于旋转角，
，
旋转角的度数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，互余，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转一定的角
度至 处，此时点E， ， 恰好在同一条直线上，连接 ，若 ，则 ．
【答案】2
【分析】根据旋转的性质得出 ，设 与 交于点O，证明 ，得到
和 的长度，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 中， ，
∴
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
如图，设 与 交于点O，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴ ， ，
由勾股定理可得 ，
即 ，
∴ ， ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等，求出 的长是解题的
关键．
13．（2023春·上海徐汇·七年级统考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，那么将点M
绕原点O逆时针旋转 后与点N重合，那么点N的坐标是 ．
【答案】
【分析】分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，证明 ，得到 ，
，从而可得点N的坐标．
【详解】解：如图，分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，
由旋转可知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的旋转问题，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题关键在于能正确画出图
形，构造全等三角形．
14．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，在 中， ， ． 将 绕点C
逆时针旋转n度得到 ，点D落在 边上，则 度．
【答案】60
【分析】先根据三角形的内角和定理求出 的度数，然后根据旋转的性质得出 ，再根据等边对
等角得出 的度数，最后根据三角形内角和定理求出 的度数即可．【详解】解：
，
旋转到 ，
，
，
，
即旋转角n是 ，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确求出 的度数
是解题的关键．
15．（2023·宁夏·统考中考真题）如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，点 ， ， ， ， ，
， 均在格点上．下列结论：
①点 与点 关于点 中心对称；
②连接 ， ， ，则 平分 ；
③连接 ，则点 ， 到线段 的距离相等．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据描述，作图，逐一进行判断即可；
【详解】解：①如图：点 与点 关于点 中心对称；故①正确；
②如图：
由图可知： ，
∴ 为等腰三角形，
∵ 经过 的中点，
∴ 平分 ，故②正确；
③如图， 点到 的距离为 ， 点到 的距离为 ，
∴ ，
∴点 ， 到线段 的距离相等，故③正确；
综上，正确的有①②③；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关
键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．【答案】 /
【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ，
连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即
，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：∵ 为高 上的动点．
∴
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为 的等边三角形，
∴
∴
∴ ，
∴ 点在射线 上运动，
如图所示，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则
在 中， ，则 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即
∵ ， ，
∴
∴在 中， ,
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·河北保定·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为
．
(1)点 关于坐标原点 对称的点的坐标为_____________；
(2)将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ；并求出此时 的长度．（结果保留根
号）
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案；
（2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转 以后的对应点 ，然后顺次连接即可得出旋转后的图
形 ；连接 则可利用勾股定理求得 的长度．
【详解】（1）解：∵ ，∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为 ．
故答案为 ；
（2）如图所示， 即为所求作的图形．
连接 ，在 中
【点睛】此题考查了旋转作图，关于原点对称的点的坐标特征，用勾股定理求斜边长，解答本题的关键是
熟练掌握各个知识点，注意规范作图，难度一般．
18．（2023·全国·九年级专题练习）在如图所示的正方形网格中有六个格点A，B，C，M，N，P，网格中
每个小正方形的边长均为1．
(1)在图①中找到一个格点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中找到一个格点Q，使得以点M，N，P，Q为顶点的四边形不是轴对称图形，且 与
全等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）画正方形 即可；
（2）画 即可．【详解】（1）解：如答图①中，四边形ABCD即为所求．
（2）解：如答图②中，四边形MNPQ即为所求．
．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计方案、全等三角形的判定、正方形的性质，正方形是中心对称图形，
也是轴对称图形，熟练掌握轴对称和中心对称的性质和判定是解题的关键．
19．（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图将 绕着点A逆时针旋转得到 ．当点D恰好落
在 上时，连接 ．当 ， 时，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】三角形的内角和定理求出 ，根据旋转的性质，得到 ， ，进而得到
，三角形的内角和定理求出 ，进而求出 ，再利用三角形的内角和定理求出
的度数，即可得证．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，
是解题的关键．
20．（2020秋·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，矩形 如图所示放置，点 在x轴
上，点 的坐标为（2，1）．将此矩形绕点 逆时针旋转90°，得到矩形 ．
（1）求过点 、 、 的抛物线的解析式；
（2）将矩形 沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．
【答案】（1） （2，0）、 （0，2）、 （－1，0）; ；（2）
【分析】（1）先根据图象和题意求得点 、 、 的坐标，再利用待定系数法代入抛物线一般式
求得解析式；
（2）设线段BC与抛物线的交点为P（m，1），将点P（m，1）代入抛物线解析式可得关于m的一元二
次方程，解方程即可求解.
【详解】解：（1）∵四边形OABC和四边形 都是矩形，
∴OA＝OB， ,
∵B（2，1）
∴A（2,0）
∵矩形 是矩形OABC旋转90°得到的
∴矩形 ≌矩形OABC
∴ ，故 ，
设抛物线解析式为 ，将点 、 、 的坐标代入得：
解得：
故抛物线解析式为：
（2）设线段BC与抛物线的交点为P（m，1）
将点P（m，1）代入抛物线解析式可得： 即
解得 （负数舍去）
故矩形 沿x轴正方向平移 个单位使点C落在抛物线上.
【点睛】本题主要考查图形的旋转、二次函数图象及其性质、二次函数解析式、矩形的性质，解题的关键
是熟练掌握所学知识.
21．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是四边形 的一条对角线， ，
，将 绕点 顺时针旋转到 的位置（点 是点 的对应点）．
(1)试说明： ；
(2)在所给图中画出 ，并求出 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)作图见解析，【分析】（1）由四边形的内角和等于 可得结论；
（2）根据旋转的性质说明 为等腰直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 的内角和等于 ， ，
∴ ，
即 ；
（2）解：如图所示，
由旋转可知： ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， 三点共线，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，四边形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质．掌握旋转的性质是解题
的关键．
22．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，线段 绕点 顺时针旋转一定的角度得到线段 ．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心 （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接 、 、 、 ，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．（3）如图，在 中， ， ，点 的坐标是 ， ，将 旋转
到 的位置，点 在 上，则旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）见解析；（2）① ， ；② ；（3）
【分析】（1）分别连接AA，BB，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O；
1 1
（2）根据图形写出2条不同类型的结论；
（3） 与 的垂直平分线的交点即为旋转中心 ，连接 ，过 作 轴于F，求出BD和PD，
知道 求出 ，得到 和点D，算出OF，最后用勾股定理 即可求解．
【详解】（1）如图， 点即为所求．
（2）如图；① ，
②
（3）解：如图， 与 的垂直平分线的交点即为旋转中心 ，连接 ，过 作 轴于 ，
∵点 在 上，
∴点 到 、 的距离相等，都是 ，
即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵点 的坐标是 ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴旋转中心的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心．
23．（2023春·浙江·八年级专题练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转 （
）得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”．
特例感知：
(1)在图2中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．如图2，当 为等
边三角形时，且 时， 的长为 ；
猜想论证：
(2)在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明
思路，可以考虑倍长 或倍长 ，……）
拓展应用：
(3)如图3，在四边形 ， ， ， ，以 为边在四边形内部作等边 ，
连接 ， ，若 是 的“旋补三角形”，请直接写出 的“旋补中线”长及四边形
中 边的长．【答案】(1)3
(2) ，理由见解析
(3) ，
【分析】（1）利用旋补三角形的定义可知 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及
即可求出 ．
（2）倍长 ，易证四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明 ，即
可得到 ．
（3）由等边三角形和旋补三角形的性质结合含 的直角三角形的三边关系先求出 的长，再利用
求出 ，利用勾股定理求出 ，利用旋补中线的性质求出旋补中线长，再利用
也是 的“旋补三角形”，通过求出 的中线反求 ．
【详解】（1）∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3；
（2）结论： ．
理由：如图1中，延长 到 ，使得 ，连接 ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，过点 作 于 ，取 的中点 ，连接 ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ 的“旋补中线”长： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 也是 的“旋补三角形”，
∴ ．
【点睛】本题主要考查对新定义的概念的理解和应用，等边三角形和等腰三角形的性质和勾股定理，熟练
掌握等腰及等边三角形的性质和勾股定理是解决本题的关键．
