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专题24 定点定长构造辅助圆
1．如图，已知 ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
2．如图，在四边形 中， ， 则 的大小是
A． B． C． D．
3．如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边上一动点（点 不与 ， 重
合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为
A．2 B． C．3 D．
4．如图，正方形 中， 为 中点， ， ， 交 于 ，则 的
度数为A． B． C． D．
5．如图，已知等边 的边长为8，以 为直径的圆交 于点 ．以 为圆心， 长为半
径作图， 是 上一动点， 为 的中点，当 最大时， 的长为
A． B． C． D．12
6．如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一点， ，点 为线段
的中点，连接 ， 的最大值为 ．
7．如图，四边形 中， ，且 ，若 ，则
， ．
8．如图所示， ， ，则 ．
9．如图，四边形 中， 、 分别是 ， 的中垂线， ， ，则 ， ．
10．如图， ，如果 是 的 倍，那么 是 的 倍．
11．如图，矩形 中， ， ， 是直线 上的一个动点， ， 沿
翻折形成 ，连接 、 ，则 的最小值是 ，点 到线段 的最短距离是
．
12．如图，在 中， ，过点 作 ， ，连接 交 于点 ．
是 的中点，连接 交 于 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积．
13．如图， ， ， ，求 的度数．14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1， ，请利用圆规画出过 、 ． 三点的圆．若 ，
则 ．
如图， 中， ， ， ．
（2）已知，如图2．点 为 边的中点，将 沿 方向平移2个单位长度，点 、 、 的
对应点分别为点 、 、 ，求四边形 的面积和 的大小．
（3）如图3，将 边沿 方向平移 个单位至 ，是否存在这样的 ，使得直线 上有一
点 ，满足 且此时四边形 的面积最大？若存在，求出四边形 面积的最大
值及平移距离 ，若不存在，说明理由．
15．在 中， ， ， 、 分别平分 和 ，求证：
．
16．如图，在 中， ， 垂直平分 ，且 ，连接
（1）求证： ；
（2）设 交 于点 ，若 是等腰三角形，求 的度数．17．【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅
助线，显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若 ，则点 在经过 ， ， 三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知 ．
求证： ．
（2）如图③，点 ， 位于直线 两侧．用尺规在直线 上作出点 ，使得 ．（要求：
要有画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形 中， ， ，点 在 的延长线上，连接 ，
．
求证： 是 外接圆的切线．
18．在 中， ， ， ， 分别是边 ， 的中点，若等腰
绕点 逆时针旋转，得到等腰 △ ，设旋转角为 ，记直线 与
的交点为 ．
（1）如图1，当 时，线段 的长等于 ，线段 的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当 时，求证： ，且 ；
（3）求点 到 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
19．如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，并且 ，点
为 边上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，求点 到边 距离的最小值．
20．如图， 中， ， ，过点 任作一条直线 ，将线段 沿直线
翻折得线段 ，直线 交直线 于点 ．
（1）小智同学通过思考推得当点 在 上方时， 的角度是不变的，请按小智的思路帮助
小智完成以下推理过程：
，
、 、 三点在以 为圆心以 为半径的圆上．
．
（2）若 ，求 的长．
（3）线段 最大值为 ；若取 的中点 ，则线段 的最小值为 ．
