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专题 24 四边形中动点问题
解题思路
考点一 ：四边形中的动点问题
考点二：特殊平行四边形的存在性
1．坐标系中的平行四边形：
（1）对边平行且相等：
（2）对角线互相平 分： 即 A、C 中点与 B、D 中点
重合．
以上两条可统一为：典例分析
【典例1】（2021春•荔湾区校级期中）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，
∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s
的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规
定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点 P、Q运动
的时间为ts．
（1）CD边的长度为 cm，t的取值范围为 ；
（2）从运动开始，当t＝ 时，PQ∥CD，当t＝ 时，PQ＝CD．
（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
（4）从运动开始，当t取何值时，△DQC是等腰三角形？
【答案】（1）10， 0≤t≤9（2）t＝4时；t＝8或4 （3）t＝6时（4）t＝5
或6或
【解答】解：（1）如图 1，过点 D作DE⊥BC 于E，则∠DEB＝∠DEC＝
90°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝8，BE＝AD＝12，
∵BC＝18，
∴CE＝18﹣12＝6，由勾股定理得：CD＝ ＝10（cm）
∵点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，AD＝12cm，
∴点P运动到D的时间为：12s，
同理得：点Q运动到点B的时间为： ＝9s，
∴0≤t≤9；
（2）如图2，∵AD∥BC，
∴PD∥CQ，
当PD＝CQ时，四边形DPQC是平行四边形，
∴PQ＝CD，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4，
即当t＝4时，PQ∥CD，此时PQ＝CD；
如图3，过点P作PF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC于E，
当PQ＝CD时，
∵PF＝DE，∴Rt△PQF≌Rt△DCE（HL），
∴FQ＝CE＝6，
∵∠PFE＝∠DEF＝∠ADE＝90°，
∴四边形DPFE矩形，
∴PD＝EF＝12﹣t，
∴CQ＝QF+EF+CE，即6+6+12﹣t＝2t，
∴t＝8，
当t＝8或4时，PQ＝CD；
（3）如图4，∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即t＝18﹣2t，
解得：t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；
（4）分三种情况：
①如图5，当CD＝CQ时，即2t＝10，
∴t＝5；
②如图6，DQ＝CD，过点D作DE⊥BC于E，∴CQ＝2CE，
∴2t＝2×6，
∴t＝6；
③如图7，DQ＝CQ，过点D作DE⊥BC于E，
∵CQ＝2t，
∴DQ＝2t，EQ＝6﹣2t，
由勾股定理得：DE2+EQ2＝DQ2，即82+（6﹣2t）2＝（2t）2，
解得：t＝ ，
综上，当t＝5或6或 时，△DQC是等腰三角形
【变式1】（2019春•崇川区校级月考）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，
∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A出发，以1cm/s
的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规
定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 t
秒．
（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；
（2）当PQ＝CD时，求t的值．【答案】（1）t＝ ﹣2 （2）t＝6s或9s
【解答】解：（1）作PE⊥BC于E，
由题意得，AP＝t，QC＝3t，
则BE＝AP＝t，
∴QE＝30﹣4t，
∵∠PQC＝150°，
∴∠PQE＝30°，
∴QE＝ PE，即30﹣4t＝8 ，
解得，t＝ ﹣2 ；
（2）∵当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
则PQ＝CD，
∴24﹣t＝3t，
解得，t＝6（s）；
当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．
设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝30﹣3t，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
则NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC＝QM＝6，
∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，
∴当AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，
∴t＝9s时，四边形PQCD为等腰梯形．
综上所述t＝6s或9s时，PQ＝CD．【典例2】在平面直角坐标系中，有点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）
（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（2）如图，连接 OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点
E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶
点的四边形是菱形．
【答案】（1） C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3）（2）（2 ，﹣2
）或（﹣2 ，2 ）或（2，﹣2）或（4，4）
【解答】解：（1）如图所示：∵点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2），
∴C（﹣3，﹣1），C （3，1），C （1，3），
1 2
∴当点C（﹣3，﹣1）或（3，1）或（1，3），使以O、A、B、C为顶点的
四边形是平行四边形；
（2）如图所示，
∵A（﹣1，1），
∴OA的解析式为：y＝﹣x，
∵OA∥ED，
∴设ED的解析式为：y＝﹣x+b，
把B（2，2）代入y＝﹣x+b中，b＝4，
∴ED的解析式为：y＝﹣x+4，
∴D（4，0），
①当OD为边，P在第四象限时，四边形OPQD是菱形，则OP＝OD＝4，
过P作PG⊥x轴于G，
∵∠POG＝45°，
∴OG＝PG＝2 ，∴P（2 ，﹣2 ）；
②当OD为边，P 在第二象限时，四边形OP Q D是菱形，
1 1 1
同理得P （﹣2 ，2 ）；
1
③当 OD 为对角线时，四边形 OP DQ 是菱形，此时 Q 与 B 重合，点 P
2 2 2 2
（2，﹣2）；
④当 OD 为边，Q 与 E 重合时，四边形 ODP Q 是菱形，此时点 P （4，
3 3 3 3
4）；
综上，点 P 的坐标为（2 ，﹣2 ）或（﹣2 ，2 ）或（2，﹣2）或
（4，4）．
【变式2-1】（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系
中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的
中点．
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（3，0） （2）（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵B、点C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，
∴D（6，4），
∵OB＝3，
∴OC＝BC﹣OB＝3，∴C（3，0）；
（2）存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如
下：
∵D（6，4），E为线段OD的中点，
∴E（3，2），且A（0，4），
设点N的坐标为（x，y），
如图，分情况讨论：
①当AE为对角线时， ＝ ， ＝ ，
解得：x＝﹣3，y＝2，
∴N（﹣3，2）；
②当DE为对角线时， ＝ ， ＝ ，
解得：x＝9，y＝2，
∴N'（9，2）；
③当AD为对角线时， ＝ ， ＝4，
解得：x＝3，y＝6，
∴N''（3，6）；
综上所述，平面内存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四
边形，点N的坐标为（﹣3，﹣2）或（9，2）或（3，6）．
夯实基础
1．（2021春•渝中区校级期中）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正
半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
【答案】 （ 5 ， 4 ）或（ 4 ， 4 ）
【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，4），B（8，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝8﹣m，
在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，
∴D（5，4）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB＝ ＝4 ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝AD＝4 ，AD∥BC，
∴D（4 ，4），
综上所述，D点坐标为（5，4）或（4 ，4）．
故答案为（5，4）或（4 ，4）．2．（2021秋•凤翔县期中）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝
60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动
同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点 P、Q运动的时
间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝ ；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的 t值；
如果不存在，说明理由．
【答案】（1）t，40﹣2t，t （2）t＝
【解答】解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度
向点C匀速运动，
∴AQ＝t，
∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝40，
∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，
∵PM⊥BC，
∴∠PMB＝90°，∴PM＝ PB＝t．
故答案为：t，40﹣2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知：AQ＝PM，
∵AC⊥BC，PM⊥BC，
∴AQ∥PM，
∴四边形AQMP是平行四边形，
当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，
即40﹣2t＝t，
解得t＝ ，
则存在t＝ ，使得平行四边形AQMP成为菱形．
3．（2020春•个旧市期中）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D
运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底
角相等）
【答案】（1） t＝6s （2）7s
【解答】解：（1）运动时间为ts．
AP＝t，PD＝24﹣t，CQ＝3t，
∵经过ts四边形PQCD平行四边形
∴PD＝CQ，即24﹣t＝3t，解得t＝6．
当t＝6s时，四边形PQCD是平行四边形；（2）如图，过点D作DE⊥BC，则CE＝BC﹣AD＝2cm
∵当CQ﹣PD＝4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）＝4，
∴t＝7．
∴经过7s四边形PQCD是等腰梯形．
能力提升
4．（2021春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四
边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的
中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）D（﹣6，4），E（﹣3，2） (2)（3，2），（﹣9，2），
（﹣3，6）．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
又C（0，4），
∴D的坐标为（﹣6，4），
∵E是OD的中点，
∴E的坐标为（﹣3，2），
即D（﹣6，4），E（﹣3，2）；
（2）存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图1，
∴EN∥CD，EN＝CD＝6，
∵CD∥AB，
∴EN∥AB，
又E的坐标为（﹣3，2），EN＝6，
∴N的坐标为（3，2），
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图2，
∴EN∥CD∥AB，EN＝CD＝6，
∴N的坐标为（﹣9，2），
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图3，
则DE∥CN，DE＝CN，
由坐标与平移关系可得，N（﹣3，6），
∴N点坐标为（3，2），（﹣9，2），（﹣3，6）．
