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专题 24 四边形中动点问题
解题思路
考点一 ：四边形中的动点问题
考点二：特殊平行四边形的存在性
1．坐标系中的平行四边形：
（1）对边平行且相等：
（2）对角线互相平 分： 即 A、C 中点与 B、D 中点
重合．
以上两条可统一为：典例分析
【典例1】（2021春•荔湾区校级期中）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，
∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s
的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规
定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点 P、Q运动
的时间为ts．
（1）CD边的长度为 cm，t的取值范围为 ；
（2）从运动开始，当t＝ 时，PQ∥CD，当t＝ 时，PQ＝CD．
（3）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
（4）从运动开始，当t取何值时，△DQC是等腰三角形？
【变式1】（2019春•崇川区校级月考）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，
∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P从点A出发，以1cm/s
的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规
定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 t
秒．
（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；
（2）当PQ＝CD时，求t的值．【典例2】在平面直角坐标系中，有点O（0，0），A（﹣1，1），B（2，2）
（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（2）如图，连接 OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点
E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶
点的四边形是菱形．
【变式2-1】（2020春•昂昂溪区期末）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系
中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的
中点．
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．夯实基础
1．（2021春•渝中区校级期中）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正
半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱
形，则点D的坐标为 ．
2．（2021秋•凤翔县期中）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝
60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动
同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点 P、Q运动的时
间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝ ；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的 t值；
如果不存在，说明理由．3．（2020春•个旧市期中）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D
运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动
点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底
角相等）
能力提升
4．（2021春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四
边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的
中点．
（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
