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八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D． ＝x+2
2．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． 直角三角形 B． 等腰三角形
C． 平行四边形 D． 菱形
3．下列由左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．x+1＝x（1+ ） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣x＝x（x﹣1） D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
4．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线．若∠A＝25°，则∠DCE
的大小为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
5．能使分式 的值为零的x的值是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝1，x＝﹣1 D．x＝0，x＝1
1 2 1 2
6．若顺次连接四边形 ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD一定是（
）
A．矩形
B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形
7．不等式组 的解集是（ ）
A．﹣2＜x≤2 B．x＜﹣2 C．x≥2 D．无解
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在AD、BC上．若四边形
EBFD为菱形，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．5
9．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与
直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，
则AQ+PQ的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．因式分解：x3y﹣4xy3＝ ．
12．如图，已知正五边形ABCDE，连接BE，则∠CBE的大小为 °．13．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中
两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的
宽为 米．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝1．点P是AB边上
的动点，连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90°得到线段EQ．若在正方形内还存
在一点M，则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，计58分解答应写出过程）
15．解方程：x2﹣4＝6（x+2）．
16．尺规作图：如图，已知△ABC，在BC上求作一点D，使得△ABD与△ACD的面积比
等于AB与AC的比．（保留作图痕迹，不写作法）
17．先化简（ ﹣ ）÷ ，然后选一个你喜欢的x值代入求值．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝
OF．求证：AE＝BF．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x，x，且x+x+x•x＝4，求m的值．
1 2 1 2 1 2
20．近期某地出现疫情．某爱心人士紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种医疗物资送往抗
疫一线，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵 10元，用350元购买甲种
物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同．
（1）求甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元？
（2）该爱心人士计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资共 200件，为
了尽快送到抗疫一线，需要承担一定的运费．已知甲种物资每件运费3元，乙种物资每
件运费5元，那么他将如何购买才能使得运费最低？最低运费多少元？
21．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、
点F分别是▱OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．
22．如图，直线l ：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l 关于坐标原点中
1 1
心对称后得到直线l，l 与x轴交于点C，与y轴交于点D．
2 2
（1）求直线l 的表达式；
2
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）除菱形ABCD外，是否在直线l 上还存在点P，在直线l 上还存在点Q，使得以点
1 2
B、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出符合条件的所有点P坐标，若不存在，说明理由．
23．问题提出
（1）如图 ，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4．若点M为BC的中点，则AM＝
； ①
问题探究
（2）如图 ，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝4，求AC的最大值；
问题解决 ②
（3）如图 ，四边形ABCD是即将开发的休闲广场用地，要求这一块地必须临一条笔
直的公路B③C而建，同时考虑到后期的规划建设，还要求∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，
AB＝AD．已知BC＝4km，那么这个四边形ABCD的对角线AC是否存在最大值？若存
在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D． ＝x+2
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项
系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行
验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
2．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． 直角三角形 B． 等腰三角形
C． 平行四边形 D． 菱形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确．
故选：D．
3．下列由左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．x+1＝x（1+ ） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2﹣x＝x（x﹣1） D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．解：A、项多项式转化成几个式子的积，存在分式，故本选项不合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线．若∠A＝25°，则∠DCE
的大小为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【分析】根据直角三角形的性质得到 CD＝AD＝ AB，根据等腰三角形的性质得到
∠DCA＝∠A＝25°，由三角形外角的性质得到∠CDE＝∠A+∠DCA＝50°，根据三角形
的内角和即可得到结论．
解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，
∴CD＝AD＝ AB，
∴∠DCA＝∠A＝25°，
∴∠CDE＝∠A+∠DCA＝50°，
∵CE是斜边上的高线，
∴CE⊥AB，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
5．能使分式 的值为零的x的值是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝1，x＝﹣1 D．x＝0，x＝1
1 2 1 2
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得 ，
∴x的值是﹣1，
故选：A．
6．若顺次连接四边形 ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD一定是（
）
A．矩形
B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理
知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，
那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD
的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：C．7．不等式组 的解集是（ ）
A．﹣2＜x≤2 B．x＜﹣2 C．x≥2 D．无解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式3（x﹣1）＞x﹣7，得：x＞﹣2，
解不等式2x+2≥3x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在AD、BC上．若四边形
EBFD为菱形，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．5
【分析】由矩形的性质可得∠A＝90°，利用勾股定理计算BD的长，设BE＝x，根据勾
股定理列方程可得x的值，最后菱形的性质和勾股定理可解答．
解：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝4，AD＝8，
∴BD＝ ＝ ＝4 ，
∵四边形EBFD为菱形，∴EF⊥BD，BE＝DE，OD＝ BD＝2 ，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴42+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝5，
Rt△EOD中，OE＝ ＝ ＝ ，
∵四边形EBFD为菱形，
∴EF＝2OE＝2 ．
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与
直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【分析】将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m，求出直线y＝2x+m，
与直线y＝﹣x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
解：将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m
联立两直线解析式得： ，
解得： ，
即交点坐标为（ ， ），
∵交点在第二象限，
∴ ，
解得：m＞4．
故选：D．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，
则AQ+PQ的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【分析】连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最
小值为CP的长度，根据菱形的想知道的AC⊥BD，BO＝ BD＝4，根据勾股定理得到
AO＝ ＝3，求得AC＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．
解：连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，
则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝4，
∴AO＝ ＝3，
∴AC＝6，
∵S ＝ AC•BD＝AB•CP，
菱形ABCD
∴CP＝ ＝ ，
∴AQ+PQ的最小值为 ，
故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．因式分解：x3y﹣4xy3＝ x y （ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） ．
【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：x3y﹣4xy3，
＝xy（x2﹣4y2），
＝xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：xy（x+2y）（x﹣2y）．
12．如图，已知正五边形ABCDE，连接BE，则∠CBE的大小为 7 2 °．
【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，即可求出
∠ABE，进而求出∠CBE的度数．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝ ，
∵BA＝BC，
∴∠ABE＝36°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72．
13．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中
两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的
宽为 2 米．【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，
根据长方形的面积公式列方程即可求解．
解：设道路的宽为x米，由题意有
（20﹣2x）（15﹣x）＝208，
解得x＝23（舍去），x＝2．
1 2
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝1．点P是AB边上
的动点，连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90°得到线段EQ．若在正方形内还存
在一点M，则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为 2 +3 ．
【分析】如图，过点Q作QK⊥BC于K．首先说明等Q的运动轨迹是直线l，将△ADM
绕点D顺时针旋转60°得到△NDP，连接AN，PN，PM，则△ADN，△DM都是等边三
角形，推出MA＝PN，MD＝MP，推出MA+MQ+MD＝QM+MP+PN，过点N作NH⊥
直线 l 于 H，根据垂线段最短可知，当 N，P，M，Q 共线且与 NH 重合时，
MA+MQ+MD的值最小．
解：如图，过点Q作QK⊥BC于K．∵∠B＝∠QKE＝∠PEQ＝90°，
∴∠PEB+∠QEK＝90°，∠QEK+∠EQK＝90°，
∴∠PEB＝∠EQK，
∵EP＝EQ，
∴△PBE≌△EKQ（AAS），
∴BE＝QK＝1，
∴点Q在直线BC的上方到直线BC的距离为1的直线l上运动，
将△ADM绕点D顺时针旋转60°得到△NDP，连接AN，PN，PM，则△ADN，△DM
都是等边三角形，
∴MA＝PN，MD＝MP，
∴MA+MQ+MD＝QM+MP+PN，
过点N作NH⊥直线l于H，
根据垂线段最短可知，当N，P，M，Q共线且与NH重合时，MA+MQ+MD的值最小，
最小值＝2 +3，
故答案为2 +3．
三、解答题（共9小题，计58分解答应写出过程）
15．解方程：x2﹣4＝6（x+2）．
【分析】先进行整理，再根据公式法求解可得．
解：x2﹣4＝6（x+2）．
整理得x2﹣6x﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴△＝36﹣4×1×（﹣16）＝100＞0，
x＝ ＝3±5，
解得x＝﹣2，x＝8．
1 2
16．尺规作图：如图，已知△ABC，在BC上求作一点D，使得△ABD与△ACD的面积比
等于AB与AC的比．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据△ABD与△ACD的面积比等于AB与AC的比可得，D到AB的距离等于
D到AC的距离，即D在∠BAC的角平分线上．
解：如图所示：
所以，D点为所求．
17．先化简（ ﹣ ）÷ ，然后选一个你喜欢的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的
值代入计算可得．
解：原式＝[ ﹣ ]÷
＝ •
＝ ，
∵x≠0且x≠±1，
∴取x＝2，则原式＝ ．
18．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝
OF．求证：AE＝BF．
【分析】根据正方形的性质得到OA＝OB，AC⊥BD，证明△AOE≌△BOF，根据全等
三角形的性质证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，AC⊥BD，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS）
∴AE＝BF．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x，x，且x+x+x•x＝4，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4m2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x+x ＝2m，xx ＝m2+m，则2m+m2+m＝4，然后解关于
1 2 1 2
m的方程，再利用m的范围确定m的值．
解：（1）根据题意得△＝4m2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x+x＝2m，xx＝m2+m，
1 2 1 2
∵x+x+x•x＝4，
1 2 1 2
∴2m+m2+m＝4，
整理得m2+3m﹣4＝0，解得m＝﹣4，m＝1，
1 2∵m≤0，
∴m的值为﹣4．
20．近期某地出现疫情．某爱心人士紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种医疗物资送往抗
疫一线，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵 10元，用350元购买甲种
物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同．
（1）求甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元？
（2）该爱心人士计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资共 200件，为
了尽快送到抗疫一线，需要承担一定的运费．已知甲种物资每件运费3元，乙种物资每
件运费5元，那么他将如何购买才能使得运费最低？最低运费多少元？
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以计算出甲、乙两种物资
每件的价格分别为多少元；
（2）根据题意，可以得到运费与甲种物资件数的函数关系式，再根据计划用不超过
12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资，可以得到甲种物资件数的取值范围，然后根
据一次函数的性质，即可到最低运费，从而可以解答本题．
解：（1）设乙种物资的价格是x元/件，则甲种物资的价格为（x+10）元/件，
，
解得，x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
故x+10＝70，
答：甲、乙两种物资每件的价格分别为70元、60元；
（2）设购买了x件甲种物资，则购买了（200﹣x）件乙种物资，运费为w元，
w＝3x+5（200﹣x）＝﹣2x+1000，
∵计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资，
∴70x+60（200﹣x）≤12500，
解得，x≤50，
∴当x＝50时，w取得最小值，此时w＝900，200﹣x＝150，
答：当购买甲种物资50件，乙种物资150件时，才能使得运费最低，最低运费是900元．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、
点F分别是▱OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，证出OE＝OF，得出四
边形AECF是平行四边形，再证AC＝EF，即可得出结论；
（2）证△OAE是等边三角形，∠OFA＝∠OAF＝30°＝∠ABO，则AE＝OA，AF＝AB
＝3，求出AE＝OA＝ AB＝ ，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E、点F分别是OB、OD的中点，
∴OE＝ OB，OF＝ OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OA＝ OB＝OE，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF为矩形；
（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，
∴△OAE是等边三角形，∠OFA＝∠OAF＝30°＝∠ABO，
∴AE＝OA，AF＝AB＝3，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴AE＝OA＝ AB＝ ，
∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3 ．22．如图，直线l ：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l 关于坐标原点中
1 1
心对称后得到直线l，l 与x轴交于点C，与y轴交于点D．
2 2
（1）求直线l 的表达式；
2
（2）求证：四边形ABCD为菱形；
（3）除菱形ABCD外，是否在直线l 上还存在点P，在直线l 上还存在点Q，使得以点
1 2
B、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出符合条件的所有点P坐标，若不存
在，说明理由．
【分析】（1）求出点C、D的坐标分别为（2，0）、（0，﹣4），即可求解；
（2）由点A、B、C、D的坐标知，AB＝ ＝2 ＝BC＝CD＝DA，即可求解；
（3）分BC为边、BC是对角线两种情况，分别求解即可．
解：（1）直线l：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为
1
（﹣2，0）、（0，4），
将直线l 关于坐标原点中心对称后得到直线l ，则点C、D的坐标分别为（2，0）、
1 2
（0，﹣4），
设直线CD的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得 ，
故直线l 的表达式为：y＝2x﹣4；
2
（2）由点A、B、C、D的坐标知，AB＝ ＝2 ＝BC＝CD＝DA，
故四边形ABCD为菱形；
（3）设点P、Q的坐标分别为（m，2m+4）、（n，2n﹣4）；
而点B、C的坐标分别为（0，4）、（2，0），则BC2＝20；
当BC为边时，
①则点B向右平移2个单位得到点C，同样点P（Q）向右平移2个单位得到点Q（P），
故m+2＝n且BP＝BC或m﹣2＝n且BC＝BQ，
当m+2＝n且m2+（2m+4﹣4）2＝20，解得：m＝2或﹣2（舍去﹣1），故点P（2，
8）；
当m﹣2＝n且n2+（2n﹣8）2＝20，解得：m＝4或 ，故点P（4，12）或（ ，
）；
当BC是对角线时，
②0+2＝m+n 且BP＝BQ，
∵BP＝BQ①，则m2+（2m+4﹣4）2＝n2+（2n﹣8）2 ，
②
联立 并解得：m＝﹣ ，
①②
故点P（﹣ ， ）；
综上，点P的坐标为（4，12）或（ ， ）或（﹣ ， ）．
23．问题提出
（1）如图 ，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4．若点M为BC的中点，则AM＝
2 ； ①
问题探究
（2）如图 ，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝4，求AC的最大值；
问题解决 ②
（3）如图 ，四边形ABCD是即将开发的休闲广场用地，要求这一块地必须临一条笔
直的公路B③C而建，同时考虑到后期的规划建设，还要求∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，
AB＝AD．已知BC＝4km，那么这个四边形ABCD的对角线AC是否存在最大值？若存
在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）取BD中点E，连接AE，CE，由直角三角形的性质可得AE＝ BD＝2＝CE，由
三角形的三边关系可得AE+EC≥AC，则当点E在AC上时，AC有最大值为AE+EC＝
4；
（3）取BD中点N，BC中点H，连接AN，NH，过点C作CF⊥NH，交NH的延长线
于F，可证△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，∠BDC＝90°，由等边三
角形的性质可得 AN⊥BD，BN＝DN＝ ，∠DAN＝30°，由中位线定理可得
NH∥CD，通过证明四边形DCFN是矩形，可得NF＝CD＝b，DN＝CF＝ ，∠F＝
90°，由勾股定理可求解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，BC＝4．点M为BC的中点，
∴AM＝ BC＝2，
故答案为：2；
（2）如图，取BD中点E，连接AE，CE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝4，点E啊BD中点，
∴AE＝ BD＝2，CE＝ BD＝2，
在△AEC中，AE+EC≥AC，
∴当点E在AC上时，AC有最大值为AE+EC＝4，
∴AC的最大值为4；
（3）如图，取BD中点N，BC中点H，连接AN，NH，过点C作CF⊥NH，交NH的
延长线于F，∵∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°，
设BD＝a，CD＝b，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴a2+b2＝16，
∵（a﹣b）2≥0，
∴ab≤ ，
∵△ABD是等边三角形，点N是BD中点，
∴AN⊥BD，BN＝DN＝ ，∠DAN＝30°，
∴AN＝ a，
∵点N是BD中点，点H是BC中点，
∴NH∥CD，
∴∠BNH＝∠BDC＝90°，
∴∠ANB+∠BNH＝180°，
∴点A，点N，点H三点共线，
∵CF⊥NF，∠BDC＝∠DNF＝90°，
∴四边形DCFN是矩形，
∴NF＝CD＝b，DN＝CF＝ ，∠F＝90°，
∵AC2＝AF2+CF2＝（b+ a）2+（ ）2＝b2+a2+ ab＝16+ ab≤16+ •∴AC2的最大值＝16+8 ＝（2+2 ）2，
∴AC的最大值为＝2+2 ．
